La disciplina del origami o plegado de papel ha recibido una cantidad considerable de estudio matemático . Los campos de interés incluyen la capacidad de plegado plano de un modelo de papel determinado (si el modelo se puede aplanar sin dañarlo) y el uso de pliegues de papel para resolver ecuaciones matemáticas de hasta cúbicas . [1]
El origami computacional es una rama reciente de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos que resuelven problemas de plegado de papel. El campo del origami computacional también ha crecido significativamente desde sus inicios en la década de 1990 con el algoritmo TreeMaker de Robert Lang para ayudar en el plegado preciso de las bases. [2] Los resultados del origami computacional abordan el diseño del origami o la capacidad de plegado del origami. [3] En los problemas de diseño de origami, el objetivo es diseñar un objeto que pueda doblarse en papel dada una configuración de destino específica. En los problemas de plegado del origami, el objetivo es doblar algo utilizando los pliegues de una configuración inicial. Los resultados en los problemas de diseño de origami han sido más accesibles que en los problemas de plegado de origami. [3]
En 1893, el funcionario indio T. Sundara Row publicó Ejercicios geométricos en plegado de papel , que utilizaba el plegado de papel para demostrar pruebas de construcciones geométricas. Este trabajo se inspiró en el uso del origami en el sistema de jardín de infantes . Row demostró una trisección aproximada de ángulos e implicó que la construcción de una raíz cúbica era imposible. [4]
En 1922, Harry Houdini publicó "Houdini's Paper Magic", que describía técnicas de origami que se basaban informalmente en enfoques matemáticos que luego se formalizaron. [5]
En 1936, Margharita P. Beloch demostró que el uso del ' pliegue de Beloch ', utilizado más tarde en el sexto de los axiomas de Huzita-Hatori , permitía resolver la ecuación cúbica general utilizando origami. [1]
En 1949, el libro de RC Yeates "Métodos geométricos" describió tres construcciones permitidas correspondientes al primero, segundo y quinto de los axiomas de Huzita-Hatori. [6] [7]
El sistema de instrucción mediante diagrama Yoshizawa-Randlett se introdujo en 1961. [8]
En 1980 se informó de una construcción que permitía trisecar un ángulo. Las trisecciones son imposibles según las reglas euclidianas. [9]
También en 1980, Kōryō Miura y Masamori Sakamaki demostraron una novedosa técnica de plegado de mapas mediante la cual los pliegues se realizan en un patrón de paralelogramo prescrito, lo que permite que el mapa se pueda expandir sin pliegues en ángulo recto de la manera convencional. Su patrón permite que las líneas de plegado sean interdependientes y, por lo tanto, el mapa puede descomprimirse con un solo movimiento tirando de sus extremos opuestos y también plegarse juntando los dos extremos. No se requieren series de movimientos excesivamente complicadas y Miura-ori plegado se puede empaquetar en una forma muy compacta. [10] En 1985, Miura informó sobre un método de empaquetado y despliegue de grandes membranas en el espacio exterior, [11] y ya en 2012 esta técnica se había aplicado a paneles solares en naves espaciales . [12] [13]
En 1986, Messer informó sobre una construcción mediante la cual se podía duplicar el cubo , lo que es imposible con las construcciones euclidianas. [14]
La primera declaración completa de los siete axiomas del origami por el matemático y carpeta francés Jacques Justin fue escrita en 1986, pero se pasaron por alto hasta que Humiaki Huzita redescubrió los primeros seis en 1989. [15] La primera Reunión Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami ( (ahora conocida como Conferencia Internacional sobre Origami en Ciencias, Matemáticas y Educación) se celebró en 1989 en Ferrara, Italia. En esta reunión, Scimemi dio una construcción para el heptágono regular . [dieciséis]
Alrededor de 1990, Robert J. Lang y otros intentaron por primera vez escribir un código informático que resolviera problemas de origami. [17]
En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que el problema de asignar un patrón de pliegues de montaña y valle para producir una estructura de origami plana a partir de una hoja de papel plana es NP-completo . [18]
En 1999, un teorema de Haga proporcionó construcciones utilizadas para dividir el lado de un cuadrado en fracciones racionales. [19] [20]
A finales de 2001 y principios de 2002, Britney Gallivan demostró la longitud mínima de papel necesaria para doblarlo por la mitad un cierto número de veces y dobló doce veces un trozo de papel higiénico de 4000 pies de largo (1200 m). [21] [22]
En 2002, Belcastro y Hull llevaron al origami teórico el lenguaje de las transformaciones afines , con una extensión de 2 a 3 sólo en el caso de construcción de un solo vértice. [23]
En 2002, Alperin resolvió el problema de la óptica esférica de Alhazen . [24] En el mismo artículo, Alperin mostró una construcción para un heptágono regular. [24] En 2004, se demostró algorítmicamente el patrón de pliegue de un heptágono regular. [25] Alperin utilizó bisecciones y trisecciones en 2005 para la misma construcción. [26]
En 2003, Jeremy Gibbons, investigador de la Universidad de Oxford, describió un estilo de programación funcional en términos de origami. Acuñó este paradigma como "programación origami". Él caracteriza el pliegue y el despliegue como patrones naturales de cálculo sobre tipos de datos recursivos que pueden enmarcarse en el contexto del origami. [27]
En 2005, se aplicaron principios y conceptos del origami matemático y computacional para resolver Countdown , un juego popularizado en la televisión británica en el que los competidores utilizaban una lista de números de origen para construir una expresión aritmética lo más cercana posible al número objetivo. [28]
En 2009, Alperin y Lang ampliaron el origami teórico a ecuaciones racionales de grado arbitrario, con el concepto de pliegues múltiples. [29] [30] Este trabajo fue una extensión formal de la demostración inédita de Lang de quintisección de ángulos de 2004. [30] [31]
La construcción de modelos de origami a veces se muestra como patrones de pliegues. La pregunta principal acerca de estos patrones de pliegues es si un patrón de pliegues determinado se puede doblar para formar un modelo plano y, de ser así, cómo doblarlos; este es un problema NP-completo . [32] Los problemas relacionados cuando los pliegues son ortogonales se denominan problemas de plegado de mapas . Hay tres reglas matemáticas para producir patrones de pliegues de origami plegables y planos : [33]
El papel exhibe curvatura gaussiana cero en todos los puntos de su superficie y solo se pliega naturalmente a lo largo de líneas de curvatura cero. Las superficies curvas que no se pueden aplanar se pueden producir utilizando un pliegue no doblado en el papel, como se hace fácilmente con papel mojado o con una uña.
Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que asignar un patrón de pliegues de montaña y valle para producir un modelo plano es NP-completo . [18] Se analizan más referencias y resultados técnicos en la Parte II de Algoritmos de plegado geométrico . [34]
Se ha demostrado que algunos problemas de construcción clásicos de la geometría , como trisecar un ángulo arbitrario o duplicar el cubo , no se pueden resolver usando un compás y una regla , pero se pueden resolver usando solo unos pocos pliegues de papel. [35] Se pueden construir tiras de pliegues de papel para resolver ecuaciones hasta el grado 4. Los axiomas de Huzita-Justin o los axiomas de Huzita-Hatori son una contribución importante a este campo de estudio. Estos describen lo que se puede construir usando una secuencia de pliegues con como máximo dos alineaciones de puntos o líneas a la vez. Los métodos completos para resolver todas las ecuaciones hasta el grado 4 aplicando métodos que satisfacen estos axiomas se analizan en detalle en Origami geométrico . [36]
Como resultado del estudio del origami mediante la aplicación de principios geométricos, métodos como el teorema de Haga han permitido a las carpetas de papel doblar con precisión el lado de un cuadrado en tercios, quintos, séptimos y novenos. Otros teoremas y métodos han permitido a las carpetas de papel obtener otras formas a partir de un cuadrado, como triángulos equiláteros , pentágonos , hexágonos y rectángulos especiales como el rectángulo áureo y el rectángulo plateado . Se han desarrollado métodos para plegar la mayoría de los polígonos regulares hasta el polígono regular de 19 inclusive. [36] Un n -gón regular puede construirse doblando papel si y sólo si n es un producto de números primos de Pierpont distintos , potencias de dos y potencias de tres .
El lado de un cuadrado se puede dividir en una fracción racional arbitraria de diversas formas. Los teoremas de Haga dicen que se puede utilizar un conjunto particular de construcciones para tales divisiones. [19] [20] Sorprendentemente, son necesarios pocos pliegues para generar grandes fracciones impares. Por ejemplo, 1 ⁄ 5 se puede generar con tres pliegues; primero divida un lado por la mitad, luego use el teorema de Haga dos veces para obtener primero 2 ⁄ 3 y luego 1 ⁄ 5 .
El diagrama adjunto muestra el primer teorema de Haga:
La función que cambia la longitud AP a QC es autoinversa . Sea x AP , entonces varias otras longitudes también son funciones racionales de x . Por ejemplo:
Los teoremas de Haga se generalizan de la siguiente manera:
Por lo tanto, BQ:CQ=k:1 implica AP:BP=k:2 para un número real positivo k. [37]
El clásico problema de duplicar el cubo se puede resolver utilizando origami. Esta construcción se debe a Peter Messer: [38] Primero se dobla un cuadrado de papel en tres tiras iguales como se muestra en el diagrama. Luego, el borde inferior se coloca de modo que el punto de la esquina P esté en el borde superior y la marca de pliegue en el borde se encuentre con la otra marca de pliegue Q. La longitud PB será entonces la raíz cúbica de 2 veces la longitud de AP. [14]
El borde con la marca del pliegue se considera una regla marcada, algo que no está permitido en construcciones con compás y regla . Usar una regla marcada de esta manera se llama construcción neusis en geometría.
La trisección de ángulos es otro de los problemas clásicos que no se pueden resolver con un compás y una regla sin marcar, pero que se pueden resolver con origami. [39] Esta construcción, de la que se informó en 1980, se debe a Hisashi Abe. [38] [9] El ángulo CAB se triseca haciendo los pliegues PP' y QQ' paralelos a la base con QQ' a medio camino entre ellos. Luego se dobla el punto P para que quede sobre la línea AC y al mismo tiempo se hace que el punto A quede sobre la línea QQ' en A'. El ángulo A'AB es un tercio del ángulo original CAB. Esto se debe a que PAQ, A'AQ y A'AR son tres triángulos congruentes . Alinear los dos puntos de las dos rectas es otra construcción neusis como en la solución para duplicar el cubo. [40] [9]
El problema del origami rígido , que trata los pliegues como bisagras que unen dos superficies planas y rígidas, como una lámina de metal , tiene una gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue del mapa Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes conjuntos de paneles solares para satélites espaciales.
El problema del plegado de servilletas es el problema de si un cuadrado o un rectángulo de papel se puede doblar de manera que el perímetro de la figura plana sea mayor que el del cuadrado original.
La colocación de un punto en un pliegue curvo del patrón puede requerir la solución de integrales elípticas. El origami curvo permite que el papel forme superficies desarrollables que no son planas. [41] El origami de plegado húmedo es una técnica desarrollada por Yoshizawa que permite que los pliegues curvos creen una gama aún mayor de formas de mayor complejidad.
Se ha deducido el número máximo de veces que se puede plegar un material incompresible. Con cada pliegue se pierde una cierta cantidad de papel en el posible plegado. La función de pérdida para doblar papel por la mitad en una sola dirección fue , donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el espesor del material y n es el número de pliegues posibles. [42] Las distancias L y t deben expresarse en las mismas unidades, como pulgadas. Este resultado lo obtuvo Britney Gallivan, una estudiante de secundaria de California , en diciembre de 2001. En enero de 2002, dobló un trozo de papel higiénico de 1.200 m (4.000 pies) de largo doce veces en la misma dirección, desacreditando una vieja tradición. Mito de que el papel no se puede doblar por la mitad más de ocho veces. [21] [22]
El problema de doblar y cortar pregunta qué formas se pueden obtener doblando una hoja de papel y haciendo un solo corte recto y completo. La solución, conocida como teorema de plegar y cortar, establece que se puede obtener cualquier forma con lados rectos.
Un problema práctico es cómo doblar un mapa para que pueda manipularse con el mínimo esfuerzo o movimiento. El pliegue Miura es una solución al problema y se han propuesto varios otros. [43]
El origami computacional es una rama de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos para resolver problemas de plegado de papel. A principios de la década de 1990, los origamistas participaron en una serie de concursos de origami llamados Bug Wars en los que los artistas intentaban superar a sus pares agregando complejidad a sus insectos de origami. La mayoría de los competidores del concurso pertenecían a los Detectives de Origami, un grupo de aclamados artistas japoneses. [44] Robert Lang , un investigador científico de la Universidad de Stanford y el Instituto de Tecnología de California , también participó en el concurso. El concurso ayudó a iniciar un interés colectivo en el desarrollo de modelos y herramientas universales para ayudar en el diseño y plegado del origami. [44]
Los problemas de plegado de papel se clasifican como problemas de diseño de origami o problemas de plegado de origami. Existen predominantemente tres categorías actuales de investigación del origami computacional: resultados de universalidad, algoritmos de decisión eficientes y resultados de intratabilidad computacional . [45] Un resultado de universalidad define los límites de posibilidad dado un modelo particular de plegado. Por ejemplo, una hoja de papel lo suficientemente grande se puede doblar en cualquier base de origami en forma de árbol, silueta poligonal y superficie poliédrica. [46] Cuando no se pueden obtener resultados de universalidad, se pueden utilizar algoritmos de decisión eficientes para probar si un objeto es plegable en tiempo polinómico. [45] Ciertos problemas de plegado de papel no tienen algoritmos eficientes. Los resultados de intratabilidad computacional muestran que actualmente no existen algoritmos de tiempo polinomial para resolver ciertos problemas de plegado. Por ejemplo, es NP-difícil evaluar si un patrón de pliegue determinado se pliega en cualquier origami plano. [47]
En 2017, Erik Demaine del Instituto Tecnológico de Massachusetts y Tomohiro Tachi de la Universidad de Tokio publicaron un nuevo algoritmo universal que genera patrones prácticos de plegado de papel para producir cualquier estructura tridimensional. El nuevo algoritmo se basó en el trabajo que presentaron en su artículo en 1999, que introdujo por primera vez un algoritmo universal para doblar formas de origami que garantiza un número mínimo de costuras. El algoritmo se incluirá en Origamizer, un software gratuito para generar patrones de pliegues de origami que Tachi lanzó por primera vez en 2008. [48]
Existen varias herramientas de diseño de software que se utilizan para el diseño de origami. Los usuarios especifican la forma o funcionalidad deseada y la herramienta de software construye el patrón de plegado y/o el modelo 2D o 3D del resultado. Investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts , Georgia Tech , la Universidad de California Irvine , la Universidad de Tsukuba y la Universidad de Tokio han desarrollado y publicado herramientas disponibles públicamente en origami computacional. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw y Origamizer se encuentran entre las herramientas que se han utilizado en el diseño de origami. [50]
Existen otras soluciones de software asociadas con la construcción de modelos de origami computacional utilizando materiales que no son papel, como Cadnano en origami de ADN . [51]
El origami computacional ha contribuido a aplicaciones en robótica, biotecnología y medicina, y diseño industrial. [52] También se han desarrollado aplicaciones para el origami en el estudio de lenguajes de programación y paradigmas de programación, particularmente en el contexto de la programación funcional. [53]
Robert Lang participó en un proyecto con investigadores de EASi Engineering en Alemania para desarrollar diseños de plegado de airbags para automóviles. [54] A mediados de la década de 2000, Lang trabajó con investigadores del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore para desarrollar una solución para que el Telescopio Espacial James Webb , en particular sus grandes espejos, encajara en un cohete utilizando principios y algoritmos del origami computacional. [55]
En 2014, investigadores del Instituto de Tecnología de Massachusetts, la Universidad de Harvard y el Instituto Wyss de Ingeniería de Inspiración Biológica publicaron un método para construir máquinas autoplegables y atribuyeron el éxito del proyecto a los avances en el origami computacional. Se informó que su robot inspirado en el origami se plegaba en 4 minutos y se alejaba sin intervención humana, lo que demostraba el potencial del ensamblaje autónomo y autocontrolado en robótica. [56]
Otras aplicaciones incluyen origami de ADN y origami de ARN , plegado de instrumentos de fabricación y cirugía mediante pequeños robots de origami. [57]
Varias productoras y comerciales han presentado aplicaciones del origami computacional. Lang trabajó con Toyota Avalon para presentar una secuencia animada de origami, Mitsubishi Endeavor para crear un mundo completamente a partir de figuras de origami y McDonald's para formar numerosas figuras de origami a partir de envoltorios de hamburguesas con queso. [58]
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