El problema del plegado de servilletas es un problema de geometría y matemáticas del plegado de papel que explora si doblar una servilleta cuadrada o rectangular puede aumentar su perímetro . El problema se conoce con varios nombres, incluido el problema de la servilleta de Margulis , lo que sugiere que se debe a Grigory Margulis , y el problema del rublo de Arnold, que se refiere a Vladimir Arnold y el plegado de un billete en rublo ruso . Algunas versiones del problema fueron resueltas por Robert J. Lang , Svetlana Krat, Alexey S. Tarasov e Ivan Yaschenko. Una forma del problema sigue abierta.
Existen varias formas de definir la noción de plegado , dándose diferentes interpretaciones. Por convención, la servilleta es siempre un cuadrado unitario .
Considerando el plegado como un reflejo a lo largo de una línea que refleja todas las capas de la servilleta, el perímetro siempre es no creciente, por lo que nunca excede 4. [1] [2]
Al considerar pliegues más generales que posiblemente reflejan sólo una única capa de la servilleta (en este caso, cada pliegue es un reflejo de un componente conectado de la servilleta doblada en un lado de una línea recta), todavía está abierto si una secuencia de estos Los pliegues pueden aumentar el perímetro. [3] En otras palabras, aún se desconoce si existe una solución que pueda plegarse usando alguna combinación de pliegues de montaña, pliegues de valle, pliegues inversos y/o pliegues de sumidero (con todos los pliegues en los dos últimos casos formados a lo largo de una sola línea). Por supuesto, también se desconoce si tal pliegue sería posible usando el origami puro, más restrictivo .
Se puede pedir una construcción realizable dentro de las limitaciones del origami rígido donde la servilleta nunca se estira mientras se dobla. En 2004, A. Tarasov demostró que es posible realizar construcciones de este tipo. Esto puede considerarse una solución completa al problema original. [4]
Uno puede preguntarse si existe una servilleta plana doblada (sin tener en cuenta cómo se dobló para darle esa forma).
Robert J. Lang demostró en 1997 [2] que varias construcciones clásicas de origami dan lugar a una solución sencilla. [5] De hecho, Lang demostró que el perímetro se puede hacer tan grande como se desee haciendo la construcción más complicada, sin dejar de dar como resultado una solución plana y plegada. Sin embargo, sus construcciones no son necesariamente origami rígido debido al uso de pliegues de fregadero y formas relacionadas. Aunque no es necesario estirar en los pliegues hundidos y no hundidos, a menudo (aunque no siempre) es necesario curvar las facetas y/o barrer uno o más pliegues continuamente a través del papel en pasos intermedios antes de obtener un resultado plano. Si existe una solución general rígidamente plegable basada en pliegues tipo fregadero es un problema abierto. [ cita necesaria ]
En 1998, I. Yaschenko construyó un plegado 3D con proyección sobre un plano que tiene un perímetro mayor. [6] Esto indicó a los matemáticos que probablemente había una solución plana y plegada al problema. [ cita necesaria ]
A la misma conclusión llegó Svetlana Krat. [7] Su enfoque es diferente, ofrece una construcción muy simple de un "arrugado" que aumenta el perímetro y luego demuestra que cualquier "arrugado" puede aproximarse arbitrariamente mediante un "plegado". En esencia, ella muestra que los detalles precisos de cómo hacer los pliegues no importan mucho si se permite el estiramiento en pasos intermedios. [ cita necesaria ]
Lang ideó dos soluciones diferentes. [5] [8] Ambos involucraban solapas que se hundían y, por lo tanto, no eran necesariamente plegables de manera rígida. El más simple se basó en la base del pájaro de origami y dio una solución con un perímetro de aproximadamente 4,12 en comparación con el perímetro original de 4.
La segunda solución se puede utilizar para hacer una figura con un perímetro tan grande como se desee. Divide el cuadrado en una gran cantidad de cuadrados más pequeños y emplea la construcción de origami tipo " erizo de mar " descrita en su libro de 1990, Origami Sea Life . [8] El patrón de pliegue que se muestra es el caso n = 5 y se puede usar para producir una figura plana con 25 solapas, una para cada uno de los círculos grandes, y se usa el hundimiento para adelgazarlas. Cuando sean muy delgados, los 25 brazos darán una estrella de 25 puntas con un centro pequeño y un perímetro cercano a N 2 /( N − 1). En el caso de N = 5 , esto es aproximadamente 6,25 y la longitud total aumenta aproximadamente como N.
Arnold afirma en su libro que formuló el problema en 1956, pero la formulación se dejó intencionalmente vaga. [1] [9] Lo llamó "el problema del rublo arrugado", y fue el primero de muchos problemas interesantes que planteó en seminarios en Moscú durante 40 años. En Occidente, se conoció como el problema de las servilletas de Margulis después de la publicación de Jim Propp en un grupo de noticias en 1996. [2] A pesar de la atención, recibió un estatus de folklore y su origen a menudo se refiere como "desconocido". [6]