El teorema de Kawasaki o teorema de Kawasaki-Justin es un teorema de las matemáticas del plegado de papel que describe los patrones de pliegue con un solo vértice que puede doblarse para formar una figura plana. Afirma que el patrón es plegable si y sólo si sumando y restando alternativamente los ángulos de pliegues consecutivos alrededor del vértice da una suma alterna de cero. Los patrones de pliegue con más de un vértice no obedecen a un criterio tan simple y son NP-difíciles de plegar.
El teorema lleva el nombre de uno de sus descubridores, Toshikazu Kawasaki . Sin embargo, varios otros también contribuyeron a su descubrimiento, y a veces se le llama teorema de Kawasaki-Justin o teorema de Husimi en honor a otros contribuyentes, Jacques Justin y Kôdi Husimi . [1]
Un patrón de pliegue de un vértice consiste en un conjunto de rayos o pliegues dibujados en una hoja plana de papel, todos emanando del mismo punto interior de la hoja. (Este punto se llama vértice del patrón). Cada pliegue debe doblarse, pero el patrón no especifica si los pliegues deben ser pliegues de montaña o de valle . El objetivo es determinar si es posible doblar el papel de modo que cada pliegue quede doblado, no se produzcan pliegues en ningún otro lugar y toda la hoja de papel doblada quede plana. [2]
Para doblarlo, el número de pliegues debe ser par. Esto se desprende, por ejemplo, del teorema de Maekawa , que establece que el número de pliegues de montaña en un vértice plegado plano difiere del número de pliegues de valle en exactamente dos pliegues. [3] Por lo tanto, supongamos que un patrón de pliegue consiste en un número par 2 n de pliegues, y sean α 1 , α 2 , ⋯, α 2 n los ángulos consecutivos entre los pliegues alrededor del vértice, en el sentido de las agujas del reloj, comenzando en cualquiera de los ángulos. Entonces, el teorema de Kawasaki establece que el patrón de pliegue se puede doblar plano si y sólo si la suma y diferencia alternas de los ángulos suman cero:
Una forma equivalente de expresar la misma condición es que, si los ángulos se dividen en dos subconjuntos alternos, entonces la suma de los ángulos en cualquiera de los dos subconjuntos es exactamente 180 grados. [4] Sin embargo, esta forma equivalente se aplica sólo a un patrón de pliegue en una hoja de papel plana, mientras que la forma de suma alterna de la condición sigue siendo válida para patrones de pliegue en hojas de papel cónicas con un defecto distinto de cero en el vértice. [2]
El teorema de Kawasaki, aplicado a cada uno de los vértices de un patrón de pliegue arbitrario, determina si el patrón de pliegue es localmente plegable , lo que significa que la parte del patrón de pliegue cerca del vértice se puede plegar de forma plana. Sin embargo, existen patrones de pliegue que son plegables localmente pero que no tienen un plegado plano global que funcione para todo el patrón de pliegue a la vez. [3] Tom Hull (1994) conjeturó que la capacidad de plegado plano global podría probarse verificando el teorema de Kawasaki en cada vértice de un patrón de pliegue y luego probando también la bipartición de un gráfico no dirigido asociado con el patrón de pliegue. [5] Sin embargo, esta conjetura fue refutada por Bern y Hayes (1996), quienes demostraron que las condiciones de Hull no son suficientes. Más claramente, Bern y Hayes demostraron que el problema de probar la capacidad de plegado plano global es NP-completo . [6]
Para demostrar que la condición de Kawasaki se cumple necesariamente para cualquier figura plegada, basta observar que, en cada pliegue, la orientación del papel se invierte. Por lo tanto, si el primer pliegue de la figura plegada se coloca en el plano paralelo al eje x , el siguiente pliegue debe rotarse desde allí en un ángulo de α 1 , y el siguiente pliegue en un ángulo de α 1 − α 2 (porque el segundo ángulo tiene la orientación inversa al primero), etc. Para que el papel vuelva a encontrarse consigo mismo en el ángulo final, se debe cumplir la condición de Kawasaki. [3] [4] [7] [8]
Demostrar que la condición también es suficiente es cuestión de describir cómo doblar un patrón de pliegue determinado para que quede plano. Es decir, hay que mostrar cómo elegir si hacer pliegues de montaña o de valle, y en qué orden deben disponerse las solapas de papel una encima de otra. Una forma de hacer esto es elegir un número i tal que la suma alterna parcial
es lo más pequeño posible. O i = 0 y la suma parcial es una suma vacía que también es cero, o para alguna elección distinta de cero de i la suma parcial es negativa. Luego, doble el patrón en acordeón, comenzando con el ángulo α 2 i + 1 y alternando entre pliegues de montaña y de valle, colocando cada cuña angular del papel debajo de los pliegues anteriores. En cada paso hasta el pliegue final, un pliegue en acordeón de este tipo nunca se cruzará por sí solo. La elección de i garantiza que la primera cuña sobresalga a la izquierda de todos los demás trozos de papel doblados, permitiendo que la última cuña se conecte nuevamente a ella. [5]
Se puede utilizar una prueba de suficiencia alternativa para demostrar que existen muchos pliegues planos diferentes. Considere el ángulo más pequeño α i y los dos pliegues a cada lado del mismo. Doble hacia arriba uno de estos dos pliegues y doble hacia abajo el otro, eligiendo arbitrariamente qué pliegue usar para cada pliegue. Luego, pega la solapa de papel resultante sobre la parte restante del patrón de pliegue. El resultado de este pegado será un patrón de pliegues con dos pliegues menos, en una hoja de papel cónica, que aún satisface la condición de Kawasaki. Por lo tanto, por inducción matemática , repetir este proceso eventualmente conducirá a un plegado plano. El caso base de la inducción es un cono con sólo dos pliegues y dos cuñas de ángulos iguales, que obviamente se puede plegar usando un pliegue en montaña para ambos pliegues. Hay dos formas de elegir qué pliegues usar en cada paso de este método, y cada paso elimina dos pliegues. Por lo tanto, cualquier patrón de pliegue con 2 n pliegues que satisfaga la condición de Kawasaki tiene al menos 2 n opciones diferentes de pliegues de montaña y de valle que conducen todos a pliegues planos válidos. [9]
A finales de la década de 1970, Kôdi Husimi y David A. Huffman observaron de forma independiente que las figuras plegadas planas con cuatro pliegues tienen ángulos opuestos que se suman a π , un caso especial del teorema de Kawasaki. [10] [11] Huffman incluyó el resultado en un artículo de 1976 sobre pliegues curvos, [12] y Husimi publicó el teorema de los cuatro pliegues en un libro sobre geometría de origami con su esposa Mitsue Husimi. [13] El mismo resultado se publicó incluso antes, en un par de artículos de 1966 de S. Murata que también incluían el caso de los seis pliegues y el caso general del teorema de Maekawa . [14]
El hecho de que los patrones de pliegues con muchos pliegues arbitrarios necesariamente tengan sumas alternas de ángulos que suman π fue descubierto por Kawasaki, Stuart Robertson y Jacques Justin (de nuevo, independientemente uno del otro) a finales de los años 1970 y principios de los 1980. [6] [10] [15] [16] [17] [18] Debido a la contribución de Justin al problema, el teorema de Kawasaki también se ha llamado teorema de Kawasaki-Justin. [19] El hecho de que esta condición es suficiente, es decir, que los patrones de pliegues con muchos ángulos iguales, que alternativamente suman π , siempre pueden plegarse de forma plana, puede haber sido declarado por primera vez por Hull (1994). [5]
El propio Kawasaki ha llamado al resultado teorema de Husimi , en honor a Kôdi Husimi, y algunos otros autores también han seguido esta terminología. [7] [20] El nombre "teorema de Kawasaki" fue dado por primera vez a este resultado en Origami para el conocedor por Kunihiko Kasahara y Toshie Takahama (Publicaciones de Japón, 1987). [3]
Hull (2003) atribuye el límite inferior de 2 n al número de diferentes pliegues planos de un patrón de pliegue que cumple las condiciones del teorema al trabajo independiente de principios de la década de 1990 de Azuma, [21] Justin, [17] y Ewins y Cáscara. [9]
Aunque el teorema de Kawasaki describe completamente los patrones de plegado que tienen estados de plegado plano, no describe el proceso de plegado necesario para alcanzar ese estado. Para algunos patrones de plegado (de múltiples vértices), es necesario curvar o doblar el papel mientras se transforma de una hoja plana a su estado plegado plano, en lugar de mantener el resto del papel plano y solo cambiar los ángulos diédricos en cada doblar. Para el origami rígido (un tipo de plegado que mantiene la superficie plana excepto en los pliegues, adecuado para paneles con bisagras de material rígido en lugar de papel flexible), la condición del teorema de Kawasaki resulta ser suficiente para que se mueva un patrón de pliegue de un solo vértice. de un estado desplegado a un estado plegado plano. [22]
{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ). Según lo citado por Bern y Hayes (1996).{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ). Como lo cita Hull (2003)