Heptágono

Forma con siete lados

En geometría , un heptágono o septágono es un polígono de siete lados o 7 gónos.

El heptágono a veces se denomina septágono , utilizando "sept-" (una elisión de septua- , un prefijo numérico derivado del latín , en lugar de hepta- , un prefijo numérico derivado del griego ; ambos son afines) junto con el sufijo griego. "-agon" significa ángulo.

Heptágono regular

Un heptágono regular , en el que todos los lados y todos los ángulos son iguales, tiene ángulos internos de 5π/7 radianes (128 4 ⁄ 7 grados ). Su símbolo de Schläfli es {7}.

Área

El área ( A ) de un heptágono regular de longitud de lado a viene dada por:

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.}$

Esto se puede ver subdividiendo el heptágono de lados unitarios en siete "porciones circulares" triangulares con vértices en el centro y en los vértices del heptágono, y luego dividiendo cada triángulo por la mitad usando la apotema como lado común. La apotema es la mitad de la cotangente y el área de cada uno de los 14 triángulos pequeños es un cuarto de la apotema. ${\displaystyle \pi /7,}$

El área de un heptágono regular inscrito en un círculo de radio R es mientras que el área del círculo en sí es, por lo tanto, el heptágono regular ocupa aproximadamente 0,8710 de su círculo circunscrito. ${\displaystyle {\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},}$ ${\displaystyle \pi R^{2};}$

Construcción

Como 7 es un primo de Pierpont pero no un primo de Fermat , el heptágono regular no se puede construir con un compás y una regla, pero sí con una regla marcada y un compás. Es el polígono regular más pequeño con esta propiedad. Este tipo de construcción se denomina construcción neusis . También es construible con compás, regla y trisector de ángulos. La imposibilidad de construir con regla y compás se deriva de la observación de que es un cero de la cúbica irreducible x ³ + x ² − 2 x − 1 . En consecuencia, este polinomio es el polinomio mínimo de 2cos( 2π ⁄ 7 ), mientras que el grado del polinomio mínimo para un número construible debe ser una potencia de 2. ${\displaystyle \scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}}$

Heptágono con una longitud de lado determinada :
una animación de una construcción de neusis con una regla marcada, según David Johnson Leisk ( Crockett Johnson ).

Aproximación

Una aproximación para uso práctico con un error de alrededor del 0,2% es utilizar la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en el mismo círculo que la longitud del lado de un heptágono regular. Se desconoce quién encontró por primera vez esta aproximación, pero fue mencionada por la Métrica de Herón de Alejandría en el siglo I d. C., era bien conocida por los matemáticos islámicos medievales y se puede encontrar en la obra de Alberto Durero . ^{[2] [3]} Sea A sobre la circunferencia del círculo circunstante. Dibuja el arco BOC . Luego da una aproximación al borde del heptágono. ${\displaystyle \scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}}$

Esta aproximación se utiliza para el lado del heptágono inscrito en el círculo unitario, mientras que el valor exacto es . ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603}$ ${\displaystyle \scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777}$

Ejemplo para ilustrar el error:
En un círculo circunscrito con un radio de r = 1 m , el error absoluto del primer lado sería aproximadamente -1,7 mm.

Otras aproximaciones

Hay otras aproximaciones de un heptágono que utilizan compás y regla, pero llevar mucho tiempo dibujarlas. ^[4]

Simetría

Simetrías de un heptágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Las líneas de espejo azules se dibujan a través de vértices y aristas. Las órdenes de giro se dan en el centro. ^[5]

El heptágono regular pertenece al grupo de puntos D 7h ( notación de Schoenflies ), orden 28. Los elementos de simetría son: un eje de rotación propio de 7 veces C ₇ , un eje de rotación impropia de 7 veces, S ₇ , 7 planos de espejo verticales, σ _v , 7 ejes de rotación dobles, C ₂ , en el plano del heptágono y un plano especular horizontal, σ _h , también en el plano del heptágono. ^[6]

Diagonales y triángulo heptagonal.

a = rojo, b = azul, c = líneas verdes

El lado a del heptágono regular , la diagonal más corta b y la diagonal más larga c , con a < b < c , satisfacen ^{[7] : Lema 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ (la ecuación óptica )

y por lo tanto

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

y ^{[7] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

Por lo tanto, b / c , c / a y a / b satisfacen la ecuación cúbica. Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis . ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

Las longitudes aproximadas de las diagonales en términos del lado del heptágono regular están dadas por

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

También tenemos ^[8]

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

y

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

Un triángulo heptagonal tiene vértices que coinciden con el primero, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario) y ángulos y, por lo tanto, sus lados coinciden con un lado y dos diagonales particulares del heptágono regular. ^[7] ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

En poliedros

Aparte del prisma heptagonal y el antiprisma heptagonal , ningún poliedro convexo hecho enteramente de polígonos regulares contiene un heptágono como cara.

Heptágonos estelares

Se pueden construir dos tipos de heptágonos estelares ( heptagramas ) a partir de heptágonos regulares, etiquetados con los símbolos de Schläfli {7/2} y {7/3}, siendo el divisor el intervalo de conexión.

Heptágonos de estrellas azules, {7/2} y verdes {7/3} dentro de un heptágono rojo.

Azulejos y embalaje

Un triángulo regular, un heptágono y un góndolo de 42 pueden llenar completamente un vértice plano . Sin embargo, no hay mosaico del plano sólo con estos polígonos, porque no hay manera de encajar uno de ellos en el tercer lado del triángulo sin dejar un espacio o crear una superposición. En el plano hiperbólico , son posibles teselaciones mediante heptágonos regulares. También hay posibles mosaicos de heptágonos cóncavos en el plano euclidiano. ^[9]

El empaquetamiento de doble red más denso del plano euclidiano mediante heptágonos regulares, se conjetura que tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja de cualquier conjunto convexo.

El heptágono regular tiene un empaquetamiento de doble red del plano euclidiano con una densidad de empaquetamiento de aproximadamente 0,89269. Se ha conjeturado que esta es la densidad más baja posible para la densidad de empaquetamiento óptima de doble red de cualquier conjunto convexo y, de manera más general, para la densidad de empaquetamiento óptima de cualquier conjunto convexo. ^[10]

Ejemplos empíricos

El Reino Unido, desde 1982, tiene dos monedas heptagonales , las de 50p y 20p . El dólar de Barbados también es heptagonal. Estrictamente, la forma de las monedas es un heptágono de Reuleaux , un heptágono curvilíneo que tiene curvas de ancho constante ; los lados están curvados hacia afuera para permitir que las monedas rueden suavemente cuando se insertan en una máquina expendedora . Las monedas de pula de Botswana en denominaciones de 2 pula, 1 pula, 50 thebe y 5 thebe también tienen forma de heptágonos de curva equilátera. Las monedas con forma de heptágonos de Reuleaux también circulan en Mauricio, Emiratos Árabes Unidos, Tanzania, Samoa, Papua Nueva Guinea, Santo Tomé y Príncipe, Haití, Jamaica, Liberia, Ghana, Gambia, Jordania, Jersey, Guernsey, Isla de Man, Gibraltar, Guyana, Islas Salomón, Islas Malvinas y Santa Elena. La moneda de 1000 Kwacha de Zambia es un verdadero heptágono.

La moneda brasileña de 25 céntimos tiene un heptágono inscrito en el disco de la moneda. Algunas versiones antiguas del escudo de armas de Georgia , incluso en la época soviética , utilizaban un heptagrama {7/2} como elemento.

Varias monedas, incluida la de 20 céntimos de euro , tienen simetría heptagonal en una forma llamada flor española .

En arquitectura, las plantas heptagonales son muy raras. Un ejemplo notable es el mausoleo del príncipe Ernst en Stadthagen , Alemania .

Muchas placas de policía en EE. UU. tienen un contorno de heptagrama {7/2}.

Ver también

• heptagrama
• Polígono

Referencias

1. Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección de ángulos, heptágono y triskaidecágono p. 186 (Fig.1) –187" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 95 (3): 185-194. doi :10.2307/2323624. JSTOR  2323624. Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2015.
2. Hogendijk, Jan P. (1987). "Respuesta de Abu'l-Jūd a una pregunta de al-Bīrūnī sobre el heptágono regular" (PDF) . Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . 500 (1): 175–183. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37202.x.
3. GH Hughes, "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptágono", Fig. 11 el lado del Heptágono (7) Fig. 15, imagen del lado izquierdo, recuperada el 4 de diciembre de 2015
4. raumannkidwai. "Heptágono." Cuadro. Geogebra. Consultado el 20 de enero de 2024. https://www.geogebra.org/classic/CvsudDWr.
5. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278) 
6. Salthouse, JA; Mercancías, MJ (1972). Tablas de caracteres de grupos de puntos y datos relacionados. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-08139-4.
7. Abdilkadir Altintas, "Algunas colinealidades en el triángulo heptagonal", Forum Geometriorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
8. Leon Bankoff y Jack Garfunkel, "El triángulo heptagonal", Mathematics Magazine 46 (1), enero de 1973, 7-19.
9. Sicomoro916, ed. "Heptágono." Wiki de politopo. Última modificación en noviembre de 2023. Consultado el 20 de enero de 2024. https://polytope.miraheze.org/wiki/Regular_heptagon/Heptagon.
10. Kallus, Yoav (2015). "Formas de embalaje pesimales". Geometría y topología . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . doi :10.2140/gt.2015.19.343. SEÑOR  3318753.

enlaces externos

• Definición y propiedades de un heptágono Con animación interactiva
• Heptágono según Johnson
• Otro método de construcción aproximado.
• Polígonos – Heptágonos
• Aproximación recientemente descubierta y muy precisa para la construcción de un heptágono regular.
• Heptágono, una construcción aproximada como animación.
• Un heptágono con un lado dado, una construcción aproximada como animación

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