Axiomas de Huzita-Hatori

Reglas relacionadas con los principios matemáticos del origami.

Los axiomas de Huzita-Justin o axiomas de Huzita-Hatori son un conjunto de reglas relacionadas con los principios matemáticos del origami , que describen las operaciones que se pueden realizar al doblar una hoja de papel. Los axiomas suponen que las operaciones se completan en un plano (es decir, una hoja de papel perfecta) y que todos los pliegues son lineales. Estos no son un conjunto mínimo de axiomas sino más bien el conjunto completo de posibles pliegues individuales.

Los primeros siete axiomas fueron descubiertos por primera vez por el matemático y carpeta francés Jacques Justin en 1986. ^[1] Los axiomas del 1 al 6 fueron redescubiertos por el matemático japonés - italiano Humiaki Huzita y se informó en la Primera Conferencia Internacional sobre Origami en Educación y Terapia en 1991. Axiomas 1 a 5 fueron redescubiertos por Auckly y Cleveland en 1995. El axioma 7 fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2001; Robert J. Lang también encontró el axioma 7.

Los siete axiomas

Los primeros 6 axiomas se conocen como axiomas de Justin o axiomas de Huzita. El axioma 7 fue descubierto por Jacques Justin. Koshiro Hatori y Robert J. Lang también encontraron el axioma 7. Los axiomas son los siguientes:

1. Dados dos puntos distintos p ₁ y p ₂ , hay un pliegue único que pasa por ambos.
2. Dados dos puntos distintos p ₁ y p ₂ , hay un pliegue único que coloca p ₁ sobre p ₂ .
3. Dadas dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca l ₁ sobre l ₂ .
4. Dado un punto p ₁ y una línea l ₁ , hay un único pliegue perpendicular a l ₁ que pasa por el punto p ₁ .
5. Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y una línea l ₁ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y pasa por p ₂ .
6. Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y p ₂ sobre l ₂ .
7. Dado un punto p y dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p sobre l ₁ y es perpendicular a l ₂ .

El axioma 5 puede tener 0, 1 o 2 soluciones, mientras que el axioma 6 puede tener 0, 1, 2 o 3 soluciones. De esta manera, las geometrías resultantes del origami son más fuertes que las geometrías del compás y la regla , donde el número máximo de soluciones que tiene un axioma es 2. Así, la geometría del compás y la regla resuelve ecuaciones de segundo grado, mientras que la geometría del origami, u origametría, puede resolver ecuaciones de segundo grado. resolver ecuaciones de tercer grado y resolver problemas como trisección de ángulos y duplicación del cubo . La construcción del pliegue garantizado por el Axioma 6 requiere "deslizar" el papel, o neusis , lo cual no está permitido en las construcciones clásicas con compás y regla. El uso de neusis junto con un compás y una regla permite la trisección de un ángulo arbitrario.

Detalles

Axioma 1

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , hay un pliegue único que pasa por ambos.

En forma paramétrica, la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es:

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}$

Axioma 2

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , hay un pliegue único que coloca p ₁ sobre p ₂ .

Esto equivale a encontrar la bisectriz perpendicular del segmento de recta p ₁ p ₂ . Esto se puede hacer en cuatro pasos:

• Utilice el axioma 1 para encontrar la recta que pasa por p ₁ y p ₂ , dada por ${\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}$
• Encuentre el punto medio de p _medio de P ( s )
• Encuentre el vector v ^perp perpendicular a P ( s )
• La ecuación paramétrica del pliegue es entonces:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }.}$

Axioma 3

Dadas dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca l ₁ sobre l ₂ .

Esto equivale a encontrar una bisectriz del ángulo entre l ₁ y l ₂ . Sean p ₁ y p ₂ dos puntos cualesquiera en l ₁ , y sean q ₁ y q ₂ dos puntos cualesquiera en l ₂ . Además, sean u y v los vectores directores unitarios de l ₁ y l ₂ , respectivamente; eso es:

${\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}$

Si las dos rectas no son paralelas, su punto de intersección es:

${\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }$

dónde

${\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} ^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} ^{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}$

La dirección de una de las bisectrices es entonces:

${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}$

Y la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}$

También existe una segunda bisectriz, perpendicular a la primera y que pasa por p _int . Doblar a lo largo de esta segunda bisectriz también logrará el resultado deseado de colocar l ₁ sobre l ₂ . Puede que no sea posible realizar uno u otro de estos pliegues, dependiendo de la ubicación del punto de intersección.

Si las dos rectas son paralelas, no tienen punto de intersección. El pliegue debe ser la línea a medio camino entre l ₁ y l ₂ y paralela a ellos.

Axioma 4

Dado un punto p ₁ y una línea l ₁ , hay un único pliegue perpendicular a l ₁ que pasa por el punto p ₁ .

Esto equivale a encontrar una perpendicular a l ₁ que pase por p ₁ . Si encontramos algún vector v que es perpendicular a la recta l ₁ , entonces la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}$

Axioma 5

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y una línea l ₁ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y pasa por p ₂ .

Este axioma equivale a encontrar la intersección de una recta con un círculo, por lo que puede tener 0, 1 o 2 soluciones. La línea está definida por l ₁ , y el círculo tiene su centro en p ₂ y un radio igual a la distancia de p ₂ a p ₁ . Si la recta no corta al círculo, no hay soluciones. Si la recta es tangente al círculo, hay una solución, y si la recta corta al círculo en dos lugares, hay dos soluciones.

Si conocemos dos puntos en la recta, ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ), entonces la recta se puede expresar paramétricamente como:

${\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})}$

${\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).}$

Sea el círculo definido por su centro en p ₂ =( x _c , y _c ), con radio . Entonces el círculo se puede expresar como: ${\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}$

${\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

Para determinar los puntos de intersección de la recta con el círculo, sustituimos las componentes x e y de las ecuaciones de la recta en la ecuación del círculo, dando:

${\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

O, simplificado:

${\displaystyle as^{2}+bs+c=0}$

dónde:

${\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})}$

${\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.}$

Luego simplemente resolvemos la ecuación cuadrática:

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Si el discriminante b ²  − 4 ac < 0, no hay soluciones. El círculo no se cruza ni toca la línea. Si el discriminante es igual a 0, entonces hay una solución única, donde la recta es tangente al círculo. Y si el discriminante es mayor que 0, existen dos soluciones, que representan los dos puntos de intersección. Llamemos a las soluciones d ₁ y d ₂ , si existen. Tenemos 0, 1 o 2 segmentos de línea:

${\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}}$

${\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.}$

Un pliegue F ₁ ( s ) perpendicular a m ₁ a través de su punto medio colocará p ₁ en la línea en la ubicación d ₁ . De manera similar, un pliegue F ₂ ( s ) perpendicular a m ₂ a través de su punto medio colocará p ₁ en la línea en la ubicación d ₂ . La aplicación de Axiom 2 logra esto fácilmente. Las ecuaciones paramétricas de los pliegues son así:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})^{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})^{\perp }.\end{aligned}}}$

Axioma 6

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y p ₂ sobre l ₂ .

Este axioma equivale a encontrar una recta simultáneamente tangente a dos parábolas, y puede considerarse equivalente a resolver una ecuación de tercer grado ya que en general hay tres soluciones. Las dos parábolas tienen focos en p ₁ y p ₂ , respectivamente, con directrices definidas por l ₁ y l ₂ , respectivamente.

Este pliegue se llama pliegue de Beloch en honor a Margharita P. Beloch , quien en 1936 demostró con su uso que el origami se puede utilizar para resolver ecuaciones cúbicas generales. ^[2]

Axioma 7

Dado un punto p y dos líneas l ₁ y l ₂ que no son paralelas, hay un pliegue que coloca p sobre l ₁ y es perpendicular a l ₂ .

Este axioma fue descubierto originalmente por Jacques Justin en 1989, pero fue pasado por alto y redescubierto por Koshiro Hatori en 2002. ^[3] Robert J. Lang ha demostrado que esta lista de axiomas completa los axiomas del origami. ^[4]

Constructibilidad

Se pueden utilizar subconjuntos de los axiomas para construir diferentes conjuntos de números. Los primeros tres se pueden usar con tres puntos dados que no están en una línea para hacer lo que Alperin llama construcciones thalianas. ^[5]

Los primeros cuatro axiomas con dos puntos dados definen un sistema más débil que las construcciones con compás y regla : cada forma que se puede plegar con esos axiomas se puede construir con compás y regla, pero algunas cosas se pueden construir con compás y regla que no se pueden plegar con esos axiomas. ^[6] Los números que se pueden construir se llaman origami o números pitagóricos, si la distancia entre los dos puntos dados es 1, entonces los puntos construibles tienen todos la forma donde y son números pitagóricos. Los números pitagóricos están dados por el campo más pequeño que contiene los números racionales y siempre que sea dicho número. ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Sumar el quinto axioma da los números euclidianos , es decir, los puntos que se pueden construir mediante la construcción con compás y regla .

Añadiendo el axioma 6 de neusis , se pueden realizar todas las construcciones con regla y compás, y más. En particular, los polígonos regulares construibles con estos axiomas son aquellos que tienen lados, donde es producto de distintos números primos de Pierpont . Las construcciones con regla y compás solo permiten aquellas con lados, donde es producto de distintos números primos de Fermat . (Los primos de Fermat son un subconjunto de los primos de Pierpont). ${\displaystyle 2^{a}3^{b}\rho \geq 3}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 2^{a}\phi \geq 3}$ ${\displaystyle \phi }$

El séptimo axioma no permite la construcción de más axiomas. Los siete axiomas dan todas las construcciones simples que se pueden hacer en lugar de ser un conjunto mínimo de axiomas.

Un octavo axioma

La existencia de un octavo axioma fue afirmado por Lucero en 2017, el cual puede enunciarse como: hay un pliegue a lo largo de una recta dada l ₁ . ^[7] El nuevo axioma se encontró después de enumerar todas las incidencias posibles entre puntos y líneas construibles en un plano. ^[8] Aunque no crea una nueva línea, es necesario en el plegado de papel real cuando se requiere doblar una capa de papel a lo largo de una línea marcada en la capa inmediatamente debajo.

Referencias

1. Justino, Jacques (1986). "Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et application géométriques" (PDF) . L'Ouvert - Journal de l'APMEP d'Alsace et de l'IREM de Strasbourg (en francés). 42 : 9–19 . Consultado el 3 de marzo de 2021 .
2. Thomas C. Hull (abril de 2011). "Resolver cúbicas con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 118 (4): 307–315. doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307. S2CID  2540978. Archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2016 . Consultado el 25 de noviembre de 2011 .
3. Roger C. Alperín ; Robert J. Lang (2009). "Axiomas de origami de uno, dos y múltiples pliegues" (PDF) . 4OSME . AK Peters.
4. Lang, Robert J. (2010). «Origami y Construcciones Geométricas» (PDF) . págs. 40–45 . Consultado el 22 de septiembre de 2020 .
5. Alperín, Roger C (2000). "Una teoría matemática de los números y las construcciones de origami" (PDF) . Revista de Matemáticas de Nueva York . 6 : 119-133.
6. D. Auckly; J. Cleveland (1995). "Origami totalmente real y plegado imposible". Mensual Matemático Estadounidense . 102 (3): 215–226. arXiv : matemáticas/0407174 . doi :10.2307/2975008. JSTOR  2975008.
7. Lucero, Jorge C. (2017). "Sobre las operaciones elementales de un solo pliegue de Origami: reflexiones y restricciones de incidencia en el plano" (PDF) . Foro Geométricorum . 17 : 207–221. arXiv : 1610.09923 . Código Bib : 2016arXiv161009923L.
8. Lee, Hwa Y. (2017). Números constructibles en origami (PDF) (Tesis de maestría). Universidad de Georgia. pag. 64.

enlaces externos

• Construcciones geométricas de origami de Thomas Hull
• Una teoría matemática de las construcciones y números de origami por Roger C. Alperin