Pierpont principal

Número primo de la forma 2^u • 3^v + 1 para u, v > 0

En teoría de números , un primo de Pierpont es un número primo de la forma

$${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1\,}$$

enteros no negativos uvpp − 13-lisoJames Pierpontpolígonos regularessecciones cónicastrisector de ángulospapel doblado

Excepto 2 y los primos de Fermat , cada primo de Pierpont debe ser 1 módulo 6. Los primeros primos de Pierpont son:

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 34 57, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 99 5329, ... (secuencia A005109 en el OEIS )

Se ha conjeturado que hay infinitos números primos de Pierpont, pero esto aún no se ha demostrado.

Distribución

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Pierpont?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un primo de Pierpont con v = 0 tiene la forma y, por lo tanto, es un primo de Fermat (a menos que u = 0 ). Si v es positivo, entonces u también debe ser positivo (porque sería un número par mayor que 2 y por lo tanto no sería primo) y, por lo tanto, todos los primos que no son de Fermat Pierpont tienen la forma 6 k  + 1 , cuando k es un entero positivo ( excepto 2, cuando u = v = 0 ). ${\displaystyle 2^{u}+1}$ ${\displaystyle 3^{v}+1}$

Distribución de los exponentes de los primos de Pierpont más pequeños.

Empíricamente, los números primos de Pierpont no parecen ser particularmente raros ni estar escasamente distribuidos; hay 42 primos de Pierpont menores que 10 ⁶ , 65 menores que 10 ⁹ , 157 menores que 10 ²⁰ y 795 menores que 10 ¹⁰⁰ . Hay pocas restricciones en las factorizaciones algebraicas de los números primos de Pierpont, por lo que no hay requisitos como la condición prima de Mersenne de que el exponente debe ser primo. Así, se espera que entre los números de n dígitos de la forma correcta , la fracción de estos que son primos sea proporcional a 1/ n , una proporción similar a la proporción de números primos entre todos los números de n dígitos. Como hay números de la forma correcta en este rango, debería haber números primos de Pierpont. ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ ${\displaystyle \Theta (n)}$

Andrew M. Gleason hizo explícito este razonamiento, conjeturando que hay infinitos primos de Pierpont y, más específicamente, que debería haber aproximadamente 9 n primos de Pierpont hasta 10 ⁿ . ^[1] Según la conjetura de Gleason, hay primos de Pierpont más pequeños que N , a diferencia del número conjetural más pequeño de primos de Mersenne en ese rango. ${\displaystyle \Theta (\log N)}$ ${\displaystyle O(\log \log N)}$

Pruebas de primalidad

Cuando , es un número de Proth y, por tanto, su primalidad puede comprobarse mediante el teorema de Proth . Por otro lado, cuando son posibles pruebas de primalidad alternativas basadas en la factorización de como un número par pequeño multiplicado por una potencia grande de 3 . ^[2] ${\displaystyle 2^{u}>3^{v}}$ ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle 2^{u}<3^{v}}$ ${\displaystyle M=2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle M-1}$

Los primos de Pierpont encontrados como factores de los números de Fermat

Como parte de la búsqueda mundial en curso de factores de los números de Fermat , se han anunciado como factores algunos primos de Pierpont. La siguiente tabla ^[3] proporciona valores de m , k y n tales que

${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$es divisible por ${\displaystyle 3^{k}\cdot 2^{n}+1.}$

El lado izquierdo es un número de Fermat; el lado derecho es un primo de Pierpont.

A partir de 2023 ^[actualizar], el primo de Pierpont más grande conocido es 81 × 2 ^20498148 + 1 (6.170.560 dígitos decimales), cuya primalidad se descubrió en junio de 2023. ^[4]

Construcción de polígonos

En las matemáticas del plegado del papel , los axiomas de Huzita definen seis de los siete tipos de plegado posibles. Se ha demostrado que estos pliegues son suficientes para permitir la construcción de los puntos que resuelven cualquier ecuación cúbica . ^[5] De ello se deduce que permiten formar cualquier polígono regular de N lados, siempre que N ≥ 3 y sea de la forma 2 ^m 3 ⁿ ρ , donde ρ es un producto de distintos números primos de Pierpont. Esta es la misma clase de polígonos regulares que los que se pueden construir con un compás , una regla y un trisector de ángulos . ^[1] Los polígonos regulares que se pueden construir sólo con compás y regla ( polígonos construibles ) son el caso especial en el que n  = 0 y ρ es un producto de distintos números primos de Fermat , que en sí mismos son un subconjunto de números primos de Pierpont.

En 1895, James Pierpont estudió la misma clase de polígonos regulares; su trabajo es el que da nombre a los números primos de Pierpont. Pierpont generalizó las construcciones con compás y regla de una manera diferente, agregando la capacidad de dibujar secciones cónicas cuyos coeficientes provienen de puntos previamente construidos. Como demostró, los N -gonos regulares que se pueden construir con estas operaciones son aquellos en los que el totiente de N es 3-suave. Dado que el tociente de un primo se forma restándole uno, los primos N para los cuales Pierpont trabaja en construcción son exactamente los primos de Pierpont. Sin embargo, Pierpont no describió la forma de los números compuestos con 3 lisos. ^[6] Como Gleason demostró más tarde, estos números son exactamente los de la forma 2 ^m 3 ⁿ ρ dada anteriormente. ^[1]

El primo más pequeño que no es un primo de Pierpont (o Fermat) es 11; por tanto, el endecágono es el primer polígono regular que no se puede construir con compás, regla y trisector de ángulos (u origami, o secciones cónicas). Todos los demás N -gons regulares con 3 ≤ N ≤ 21 se pueden construir con compás, regla y trisector. ^[1]

Generalización

Un primo de Pierpont de segunda especie es un número primo de la forma 2 ^u 3 ^v − 1. Estos números son

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786 431, 995327, ... (secuencia A005105 en el OEIS )

Los primos más grandes conocidos de este tipo son los primos de Mersenne ; Actualmente el mayor conocido es (24.862.048 dígitos decimales). El primo de Pierpont más grande conocido del segundo tipo que no es un primo de Mersenne es el encontrado por PrimeGrid . ^[7] ${\displaystyle 2^{82589933}-1}$ ${\displaystyle 3\cdot 2^{20928756}-1}$

Un primo de Pierpont generalizado es un primo de la forma con k primos fijos p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Un primo de Pierpont generalizado del segundo tipo es un primo de la forma con k primos fijos p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Dado que todos los números primos mayores que 2 son impares , en ambos tipos p ₁ debe ser 2. Las secuencias de tales números primos en la OEIS son: ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$ ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1}$

Ver también

• Proth primo , los primos de la forma donde k y n son números enteros positivos, son impares y ${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{n}>k.}$

Referencias

1. Gleason, Andrew M. (1988), "Trisección de ángulos, el heptágono y el triskaidecágono", American Mathematical Monthly , 95 (3): 185–194, doi :10.2307/2323624, MR  0935432. Nota a pie de página 8, pág. 191.
2. Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "Sobre la primalidad de ", Matemáticas discretas , 241 (1–3): 395–406, doi :10.1016/S0012-365X(01)00125-X, SEÑOR  1861431 ${\displaystyle 2h\cdot 3^{n}+1}$.
3. Wilfrid Keller, estado de factoraje de Fermat.
4. Caldwell, Chris, "Los números primos más grandes conocidos", The Prime Pages , consultado el 17 de junio de 2023; "The Prime Database: 81*2^20498148+1", The Prime Pages , consultado el 17 de junio de 2023
5. Hull, Thomas C. (2011), "Resolver cúbicas con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill", American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi :10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , señor  2800341.
6. Pierpont, James (1895), "Sobre un teorema no demostrado de las Disquisitiones Arithmeticæ", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , SEÑOR  1557414.
7. 3*2^20928756 - 1 (6.300.184 dígitos decimales), de The Prime Pages .