Secuencia regular de plegado de papel

En matemáticas, la secuencia regular de plegado de papel , también conocida como secuencia de la curva del dragón , es una secuencia infinita de 0 y 1. Se obtiene de la secuencia parcial repetida.

1, ?, 0, ?, 1, ?, 0, ?, 1, ?, 0, ?, ...

completando los signos de interrogación con otra copia de la secuencia completa. Los primeros términos de la secuencia resultante son:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ... (secuencia A014577 en el OEIS )

Si una tira de papel se dobla repetidamente por la mitad en la misma dirección, varias veces, obtendrá pliegues, cuya dirección (izquierda o derecha) está dada por el patrón de 0 y 1 en los primeros términos de la secuencia regular de plegado de papel. Abrir cada pliegue para crear una esquina en ángulo recto (o, de manera equivalente, hacer una secuencia de giros hacia la izquierda y hacia la derecha a través de una cuadrícula regular, siguiendo el patrón de la secuencia de plegado del papel) produce una secuencia de cadenas poligonales que se aproxima al fractal de la curva del dragón : ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}-1}$ ${\displaystyle 2^{i}-1}$

Propiedades

El valor de cualquier término dado en la secuencia normal de plegado de papel, que comienza con , se puede encontrar de forma recursiva de la siguiente manera. Divide por dos, tantas veces como sea posible, para obtener una factorización de la forma donde es un número impar . Entonces ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=m\cdot 2^{k}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\0&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$$

${\displaystyle t_{12}=t_{3}=0}$ ${\displaystyle t_{13}=1}$

La palabra de plegado de papel 1101100111001001..., que se crea concatenando los términos de la secuencia de plegado de papel regular, es un punto fijo del morfismo o reglas de sustitución de cadenas.

11 → 1101

01 → 1001

10 → 1100

00 → 1000

como sigue:

11 → 1101 → 11011001 → 1101100111001001 → 11011001110010011101100011001001 ...

De las reglas del morfismo se puede ver que la palabra plegable contiene como máximo tres ceros consecutivos y como máximo tres unos consecutivos.

La secuencia de plegado del papel también satisface la relación de simetría:

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=2^{k}\\1-t_{2^{k}-n}&{\text{if }}2^{k-1}<n<2^{k}\end{cases}}}$

lo que muestra que la palabra de plegado de papel se puede construir como el límite de otro proceso iterado de la siguiente manera:

1

1 1 0

110 1 100

1101100 1 1100100

110110011100100 1 110110001100100

En cada iteración de este proceso, se coloca un 1 al final de la cadena de la iteración anterior, luego esta cadena se repite en orden inverso, reemplazando 0 por 1 y viceversa.

función generadora

La función generadora de la secuencia de plegado de papel viene dada por

${\displaystyle G(t_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}x^{n}\,.}$

De la construcción de la secuencia de plegado de papel, se puede ver que G satisface la relación funcional

${\displaystyle G(t_{n};x)=G(t_{n};x^{2})+\sum _{n=0}^{\infty }x^{4n+1}=G(t_{n};x^{2})+{\frac {x}{1-x^{4}}}\,.}$

Constante de plegado de papel

Sustituyendo x = 0,5 en la función generadora se obtiene un número real entre 0 y 1 cuya expansión binaria es la palabra que dobla el papel.

${\displaystyle G(t_{n};{\frac {1}{2}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n}}}}$

Este número se conoce como constante de plegado del papel ^[2] y tiene el valor

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8^{2^{k}}}{2^{2^{k+2}}-1}}=0.85073618820186...}$(secuencia A143347 en el OEIS )

Secuencia general de plegado de papel

La secuencia normal de plegado de papel corresponde a doblar una tira de papel de forma consistente en la misma dirección. Si permitimos que la dirección del pliegue varíe en cada paso obtenemos una clase de secuencias más general. Dada una secuencia binaria ( f _i ), podemos definir una secuencia general de plegado de papel con instrucciones de plegado ( f _i ).

Para una palabra binaria w , sea w ^‡ el reverso del complemento de w . Defina un operador F _a como

${\displaystyle F_{a}:w\mapsto waw^{\ddagger }\ }$

y luego definir una secuencia de palabras dependiendo de ( f _i ) por w ₀ = ε,

${\displaystyle w_{n}=F_{f_{1}}(F_{f_{2}}(\cdots F_{f_{n}}(\varepsilon )\cdots ))\ .}$

El límite w de la secuencia w _n es una secuencia de plegado de papel. La secuencia regular de plegado de papel corresponde a la secuencia de plegado f _i = 1 para todo i .

Si n = m ·2 ^k donde m es impar entonces

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}f_{j}&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\1-f_{j}&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

que puede usarse como definición de una secuencia de plegado de papel. ^[3]

Propiedades

• Una secuencia de plegado de papel no es, en última instancia, periódica. ^[3]
• Una secuencia de plegado de papel es 2- automática si y sólo si la secuencia de plegado es en última instancia periódica (1-automática).

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curva del dragón". MundoMatemático .
2. Weisstein, Eric W. "Constante de plegado de papel". MundoMatemático .
3. Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 104. Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 235.ISBN​ 0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.

• Allouche, Jean-Paul; Shalit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015.