En matemáticas , el método de Lill es un método visual para encontrar las raíces reales de un polinomio univariado de cualquier grado . [1] Fue desarrollado por el ingeniero austriaco Eduard Lill en 1867. [2] Un artículo posterior de Lill abordó el problema de las raíces complejas . [3]
El método de Lill consiste en dibujar una trayectoria de segmentos de línea recta que forman ángulos rectos , con longitudes iguales a los coeficientes del polinomio. Las raíces del polinomio luego se pueden encontrar como las pendientes de otros caminos de ángulo recto, que también conectan el inicio con el término, pero con vértices en las líneas del primer camino.
Para emplear el método se dibuja un diagrama comenzando en el origen. Se dibuja un segmento de línea hacia la derecha según la magnitud del primer coeficiente (el coeficiente del término de potencia más alta) (de modo que con un coeficiente negativo el segmento terminará a la izquierda del origen). Desde el final del primer segmento se dibuja otro segmento hacia arriba con la magnitud del segundo coeficiente, luego hacia la izquierda con la magnitud del tercero, y hacia abajo con la magnitud del cuarto, y así sucesivamente. La secuencia de direcciones (no giros) es siempre hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda, hacia abajo y luego se repite. Por tanto, cada giro es en sentido antihorario. El proceso continúa para cada coeficiente del polinomio, incluidos los ceros, con coeficientes negativos "caminando hacia atrás". El punto final alcanzado, al final del segmento correspondiente al término constante de la ecuación, es el término.
Luego se lanza una línea desde el origen en algún ángulo θ , se refleja en cada segmento de línea en un ángulo recto (no necesariamente el ángulo de reflexión "natural") y se refracta en un ángulo recto a través de la línea que pasa por cada segmento (incluido un línea para los coeficientes cero) cuando la trayectoria en ángulo no llega al segmento de línea en esa línea. [4] Las líneas verticales y horizontales se reflejan o refractan en la siguiente secuencia: la línea que contiene el segmento correspondiente al coeficiente de entonces de etc. Al elegir θ para que la trayectoria aterrice en el extremo, el negativo de la tangente de θ es una raíz de este polinomio. Por cada cero real del polinomio habrá un ángulo inicial y una trayectoria únicos que aterrizarán en el término. Una cuadrática con dos raíces reales, por ejemplo, tendrá exactamente dos ángulos que satisfagan las condiciones anteriores.
Para raíces complejas, también es necesario encontrar una serie de triángulos similares , pero con los vértices de la ruta de la raíz desplazados de la ruta del polinomio por una distancia igual a la parte imaginaria de la raíz. En este caso el camino raíz no será rectangular. [5] [3]
La construcción en efecto evalúa el polinomio según el método de Horner . Para el polinomio, los valores de , , se generan sucesivamente como distancias entre los vértices del polinomio y las rutas de la raíz. Para una raíz del polinomio, el valor final es cero, por lo que el último vértice coincide con el extremo del camino del polinomio.
Una línea de solución que da una raíz es similar a la construcción de Lill para el polinomio sin esa raíz, porque la construcción visual es análoga a la división sintética del polinomio por una mónica lineal (raíz) ( regla de Ruffini ).
De la simetría del diagrama, se puede ver fácilmente que las raíces del polinomio invertido son los recíprocos de las raíces originales.
La construcción también se puede realizar girando en el sentido de las agujas del reloj en lugar de giros en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando una ruta se interpreta usando la otra convención, corresponde al polinomio reflejado (cada signo de coeficiente impar cambia) y las raíces se niegan.
Cuando la trayectoria del ángulo recto se recorre en la otra dirección pero en la misma convención de dirección, corresponde al polinomio reflejado invertido y las raíces son los recíprocos negativos de las raíces originales. [4]
El método de Lill se puede utilizar con el teorema de Tales para encontrar las raíces reales de un polinomio cuadrático.
En este ejemplo con 3 x 2 +5 x −2, los segmentos de línea del polinomio se dibujan primero en negro, como se muestra arriba. Se dibuja un círculo con el segmento de línea recta que une los puntos inicial y final formando un diámetro.
Según el teorema de Tales, el triángulo que contiene estos puntos y cualquier otro punto de la circunferencia es un triángulo rectángulo . Las intersecciones de este círculo con el segmento medio del método de Lill, extendidas si es necesario, definen así los dos caminos en ángulo en el método de Lill, coloreados en azul y rojo.
El negativo de los gradientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3 y −2.
En 1936, Margherita Piazzola Beloch demostró cómo el método de Lill podía adaptarse para resolver ecuaciones cúbicas mediante el plegado de papel . [6] Si se permiten pliegues simultáneos, entonces cualquier ecuación de enésimo grado con una raíz real se puede resolver usando n –2 pliegues simultáneos. [7]
En este ejemplo con 3x 3 +2x 2 −7x+2, los segmentos de línea del polinomio se dibujan primero en una hoja de papel (negra). Se dibujan líneas que pasan a través de las reflexiones de los puntos inicial y final en el segundo y tercer segmento, respectivamente (círculo y cuadrado tenues), y paralelas a ellos (líneas grises).
Para cada raíz, el papel se dobla hasta que el punto inicial (círculo negro) y el punto final (cuadrado negro) se reflejan en estas líneas. El eje de reflexión (línea de puntos y trazos) define la trayectoria en ángulo correspondiente a la raíz (azul, violeta y rojo). El negativo de los gradientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3, 1 y −2.
