proporción de plata

Proporción de números, aproximadamente 1:2,4

En matemáticas , dos cantidades están en la proporción de plata (o media de plata ) ^{[1] [2]} si la proporción de la mayor de esas dos cantidades a la menor es la misma que la proporción de la suma de la cantidad menor más dos veces la cantidad mayor a la cantidad mayor (ver más abajo). Éste define la proporción de plata como una constante matemática irracional , cuyo valor de uno más la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 2,4142135623. Su nombre es una alusión a la proporción áurea ; De manera análoga a la forma en que la proporción áurea es la proporción límite de números de Fibonacci consecutivos , la proporción de plata es la proporción límite de números de Pell consecutivos . La proporción de plata a veces se denota por δ _S pero puede variar de λ a σ .

Los matemáticos han estudiado la proporción de plata desde la época de los griegos (aunque quizás sin darle un nombre especial hasta hace poco) debido a sus conexiones con la raíz cuadrada de 2, sus convergentes, los números triangulares cuadrados , los números de Pell, los octágonos y similares.

La relación descrita anteriormente se puede expresar algebraicamente, para a > b:

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

o equivalente,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

La proporción de plata también se puede definir mediante la fracción continua simple [2; 2, 2, 2,...]:

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}}$

Los convergentes de esta fracción continua (2/1,5/2,12/5,29/12,70/29, ...) son razones de números de Pell consecutivos. Estas fracciones proporcionan aproximaciones racionales precisas de la proporción de plata, análogas a la aproximación de la proporción áurea mediante proporciones de números de Fibonacci consecutivos.

Un octágono regular descompuesto en un rectángulo plateado (gris) y dos trapecios (blanco)

El rectángulo plateado está conectado al octágono regular . Si un octágono regular se divide en dos trapecios isósceles y un rectángulo, entonces el rectángulo es un rectángulo plateado con una relación de aspecto de 1: δ _S , y los 4 lados de los trapecios tienen una relación de 1:1:1: δ _S . Si ^la longitud del borde de un octágono regular es t, entonces el espacio del octágono (la distancia entre lados opuestos) es δ St , y el _área del octágono es 2 δ _St 2 . ^[3]

Cálculo

A modo de comparación, se dice que dos cantidades a , b con a  >  b  > 0 están en la proporción áurea φ si,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

Sin embargo, están en la proporción de plata δ _S si,

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.}$

Multiplicando por δ _S y reorganizando se obtiene

${\displaystyle {\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

Usando la fórmula cuadrática , se pueden obtener dos soluciones. Debido a que δ _S es la relación de cantidades positivas, es necesariamente positiva, entonces,

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots }$

Propiedades

Si uno corta dos de los cuadrados más grandes posibles de un rectángulo plateado, queda un rectángulo plateado, en el que se puede repetir el proceso...

Espirales plateadas dentro del rectángulo plateado.

Propiedades de la teoría de números

La proporción de plata es un número de Pisot-Vijayaraghavan (número PV), como su conjugado 1 − √ 2 =−1/δ _S≈ −0.41421 tiene un valor absoluto menor que 1. De hecho, es el segundo número PV cuadrático más pequeño después de la proporción áurea. Esto significa la distancia desde δ ^norte
_Sal número entero más cercano es1/δ ^norte
_S≈ 0,41421 ^norte . Por tanto, la secuencia de partes fraccionarias de δ ^norte
_S, n = 1, 2, 3, ... (tomado como elementos del toro) converge. En particular, esta secuencia no está equidistribuida mod 1 .

Potestades

Las potencias más bajas de la proporción de plata son

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

Los poderes continúan en el patrón.

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

dónde

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

Por ejemplo, usando esta propiedad:

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

Usando K ₀ = 1 y K ₁ = 2 como condiciones iniciales, se obtiene una fórmula tipo Binet al resolver la relación de recurrencia

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

que se convierte

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

Propiedades trigonométricas

La proporción de plata está íntimamente relacionada con las razones trigonométricas paraπ/8= 22,5° .

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

Entonces el área de un octágono regular con longitud de lado a está dada por

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

Ver también

• Medios metálicos
• proporción áurea
• Proporción de superplata
• Azulejos de Ammann-Beenker

Referencias

1. Vera W. de Spinadel (1999). La familia de medios metálicos, Vismath 1 (3) del Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias y Artes de Serbia .
2. de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). "Los Medios Metálicos y el Diseño". Nexus II: Arquitectura y Matemáticas . Fucecchio (Florencia): Edizioni dell'Erba: 141-157.
3. Kapusta, Janos (2004), "El cuadrado, el círculo y la proporción áurea: una nueva clase de construcciones geométricas" (PDF) , Forma , 19 : 293–313.

Otras lecturas

• Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polígonos, diagonales y la media del bronce", Nexus Network Journal 9,2: Arquitectura y Matemáticas , p.321-2. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9783764386993 . 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Proporción de plata". MundoMatemático .
• "Una introducción a las fracciones continuas: los medios de plata Archivado el 8 de diciembre de 2018 en la Wayback Machine ", Los números de Fibonacci y la sección áurea .
• "Rectángulo de plata y su secuencia" en Tartapelago de Giorgio Pietrocola