El problema del plegado de la servilleta es un problema de geometría y matemáticas del plegado de papel que explora si doblar una servilleta cuadrada o rectangular puede aumentar su perímetro . El problema se conoce con varios nombres, incluido el problema de la servilleta de Margulis , lo que sugiere que se debe a Grigory Margulis , y el problema del rublo de Arnold, que hace referencia a Vladimir Arnold y al plegado de un billete de rublo ruso . Es el primer problema enumerado por Arnold en su libro Arnold's Problems , donde lo llama el problema del dólar arrugado . [1] Algunas versiones del problema fueron resueltas por Robert J. Lang , Svetlana Krat, Alexey S. Tarasov e Ivan Yaschenko. Una forma del problema permanece abierta.
Existen varias formas de definir el concepto de plegado , dando lugar a diferentes interpretaciones. Por convención, la servilleta es siempre un cuadrado unitario .
Considerando el plegado como una reflexión a lo largo de una línea que refleja todas las capas de la servilleta, el perímetro siempre es no creciente, por lo que nunca excede de 4. [1] [2] [3]
Si consideramos pliegues más generales que posiblemente reflejen solo una única capa de la servilleta (en este caso, cada pliegue es un reflejo de un componente conectado de la servilleta doblada en un lado de una línea recta), aún queda abierta la cuestión de si una secuencia de estos pliegues puede aumentar el perímetro. [4] En otras palabras, aún se desconoce si existe una solución que pueda plegarse utilizando alguna combinación de pliegues de montaña, pliegues de valle, pliegues inversos y/o pliegues de hundimiento (con todos los pliegues en los dos últimos casos formados a lo largo de una sola línea). También se desconoce, por supuesto, si un pliegue de este tipo sería posible utilizando el origami de tierra pura más restrictivo .
Se puede pedir que se realice una construcción dentro de las limitaciones del origami rígido , en la que la servilleta no se estire nunca al doblarla. En 2004, A. Tarasov demostró que se pueden lograr tales construcciones, lo que puede considerarse una solución completa al problema original. [5]
Uno puede preguntarse si existe una servilleta plana doblada (sin tener en cuenta cómo fue doblada hasta adquirir esa forma).
Robert J. Lang demostró en 1997 [2] que varias construcciones clásicas de origami dan lugar a una solución fácil. [6] [7] De hecho, Lang demostró que el perímetro se puede hacer tan grande como se desee haciendo la construcción más complicada, sin dejar de obtener una solución de plegado plano. Sin embargo, sus construcciones no son necesariamente origami rígido debido al uso de pliegues hundidos y formas relacionadas. Aunque no se necesita estiramiento en los pliegues hundidos y no hundidos, a menudo es necesario (aunque no siempre) curvar facetas y/o barrer uno o más pliegues de forma continua a través del papel en pasos intermedios antes de obtener un resultado plano. Si existe una solución general de plegado rígido basada en pliegues hundidos es un problema abierto. [ cita requerida ]
En 1998, I. Yaschenko construyó un plegado 3D con proyección sobre un plano que tiene un perímetro mayor. [3]
Svetlana Krat llegó a la misma conclusión. Su enfoque es diferente: ofrece una construcción muy simple de un "arrugado" que aumenta el perímetro y luego demuestra que cualquier "arrugado" puede aproximarse arbitrariamente mediante un "plegado". En esencia, demuestra que los detalles precisos de cómo hacer los pliegues no importan mucho si se permite el estiramiento en los pasos intermedios. [8]
Lang ideó dos soluciones diferentes. [6] [9] Ambas implicaban aletas que se hundían y, por lo tanto, no eran necesariamente rígidamente plegables. La más simple se basaba en la base del pájaro de origami y ofrecía una solución con un perímetro de aproximadamente 4,12 en comparación con el perímetro original de 4.
La segunda solución se puede utilizar para hacer una figura con un perímetro tan grande como se desee. Divide el cuadrado en una gran cantidad de cuadrados más pequeños y emplea la construcción de origami tipo " erizo de mar " descrita en su libro de 1990, Origami Sea Life . [9] El patrón de pliegues que se muestra es el caso n = 5 y se puede utilizar para producir una figura plana con 25 solapas, una para cada uno de los círculos grandes, y se utiliza el hundimiento para adelgazarlas. Cuando son muy delgadas, los 25 brazos darán una estrella de 25 puntas con un centro pequeño y un perímetro que se aproxima a N 2 / ( N − 1). En el caso de N = 5, esto es aproximadamente 6,25, y la longitud total aumenta aproximadamente como N . [10]
Arnold afirma en su libro Arnold's Problems que planteó el problema en 1956. [1] [11] Lo llamó el "problema del rublo arrugado" (o, en la edición inglesa del libro, el "problema del dólar arrugado"), y fue el primero de muchos problemas interesantes que planteó en seminarios en Moscú durante 40 años. En Occidente, se lo conoció como el problema de la servilleta Margulis después de la publicación de Jim Propp en un grupo de noticias en 1996. [2] [3] [7] A pesar de la atención, recibió el estatus de folclore y su origen a menudo se menciona como "desconocido". [3]