El problema de Napoleón es un problema de construcción con compás . En él, se dan un círculo y su centro . El desafío es dividir el círculo en cuatro arcos iguales utilizando solo un compás . [1] [2] Napoleón era conocido por ser un matemático aficionado, pero no se sabe si creó o resolvió el problema. El amigo de Napoleón, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni, introdujo la limitación de usar solo un compás (sin borde recto) en las construcciones geométricas . Pero, en realidad, el desafío anterior es más fácil que el verdadero problema de Napoleón , que consiste en encontrar el centro de un círculo dado solo con el compás. Las siguientes secciones describirán soluciones a tres problemas y pruebas de que funcionan.
El libro de Georg Mohr , " Euclides Danicus ", de 1672 anticipó la idea de Mascheroni, aunque el libro recién fue redescubierto en 1928.
Centrado en cualquier punto X del círculo C , traza un arco que pase por O (el centro de C ) y que intersecta a C en los puntos V e Y. Haz lo mismo con centro en Y a través de O, intersecando a C en X y Z. Observa que los segmentos de línea OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ tienen la misma longitud, siendo todas las distancias iguales al radio del círculo C.
Ahora dibuja un arco centrado en V que pase por Y y un arco centrado en Z que pase por X; llama T al lugar donde se intersecan estos dos arcos. Ten en cuenta que las distancias VY y XZ son veces el radio del círculo C.
Coloque el radio del compás igual a la distancia OT ( por el radio del círculo C ) y dibuje un arco centrado en Z que interseca el círculo C en U y W. UVWZ es un cuadrado y los arcos de C UV, VW, WZ y ZU son cada uno iguales a un cuarto de la circunferencia de C.
Sea (C) el círculo cuyo centro se desea hallar. [3]
Sea A un punto en (C).
Un círculo (C1) centrado en A se encuentra con (C) en B y B'.
Dos círculos (C2) centrados en B y B', con radio AB, se cruzan nuevamente en el punto C.
Un círculo (C3) centrado en C con radio AC se encuentra con (C1) en D y D'.
Dos círculos (C4) centrados en D y D' con radio AD se encuentran en A y en O, el centro buscado de (C).
Nota: para que esto funcione, el radio del círculo (C1) no debe ser ni muy pequeño ni muy grande. Más precisamente, este radio debe estar entre la mitad y el doble del radio de (C): si el radio es mayor que el diámetro de (C), (C1) no intersecará a (C); si el radio es menor que la mitad del radio de (C), el punto C estará entre A y O y (C3) no intersecará a (C1).
La idea detrás de la prueba es construir, solo con compás, la longitud b²/a cuando se conocen las longitudes a y b , y a/2 ≤ b ≤ 2a.
En la figura de la derecha se dibuja un círculo de radio a , centrado en O; en él se elige un punto A, a partir del cual se pueden determinar los puntos B y B' de manera que AB y AB' tengan una longitud de b . El punto A' se encuentra opuesto a A, pero no necesita ser construido (requeriría una regla); de manera similar, el punto H es la intersección (virtual) de AA' y BB'. El punto C se puede determinar a partir de B y B', utilizando círculos de radio b .
El triángulo ABA' tiene un ángulo recto en B y BH es perpendicular a AA', entonces:
Por lo tanto, y AC = b²/a.
En la construcción del centro mostrada arriba, dicha configuración aparece dos veces:
Por lo tanto, O es el centro del círculo (C).
Sea |AD| la distancia , cuyo centro se quiere encontrar. [4]
Dos círculos (C 1 ) centrados en A y (C 2 ) centrados en D con radio |AD| se encuentran en B y B'.
Un círculo (C 3 ) centrado en B' con radio |B'B| se encuentra con el círculo (C 2 ) en A'.
Un círculo (C 4 ) centrado en A' con radio |A'A| se encuentra con el círculo (C 1 ) en E y E'.
Dos círculos (C 5 ) centrados en E y (C 6 ) centrados en E' con radio |EA| se encuentran en A y O. O es el centro buscado de |AD|.
