En geometría , la neusis ( νεῦσις ; del griego antiguo νεύειν (neuein) 'inclinarse hacia'; plural: νεύσεις , neuseis ) es un método de construcción geométrica que fue utilizado en la antigüedad por los matemáticos griegos .
La construcción de neusis consiste en encajar un elemento lineal de longitud dada ( a ) entre dos líneas dadas ( l y m ), de tal manera que el elemento lineal, o su extensión, pase por un punto P dado . Es decir, un extremo del elemento de línea tiene que estar en l , el otro extremo en m , mientras que el elemento de línea está "inclinado" hacia P.
El punto P se llama polo de la neusis, la línea l la directriz o línea guía y la línea m la línea de captura. La longitud a se llama diastema ( griego : διάστημα , literalmente 'distancia').
Se podría realizar una construcción de neusis por medio de una regla marcada que pueda girar alrededor del punto P (esto se puede hacer colocando un alfiler en el punto P y luego presionando la regla contra el alfiler). En la figura, un extremo de la regla está marcado con un ojo amarillo con una cruz: este es el origen de la división de escala en la regla. Una segunda marca en la regla (el ojo azul) indica la distancia a desde el origen. El ojo amarillo se mueve a lo largo de la línea l , hasta que el ojo azul coincida con la línea m . La posición del elemento lineal así encontrado se muestra en la figura como una barra azul oscuro.
La neusis se puede utilizar para trisecar ángulos, de las siguientes maneras (con referencia a la imagen):
Las neuseis han sido importantes porque a veces proporcionan un medio para resolver problemas geométricos que no se pueden resolver únicamente con un compás y una regla . Ejemplos de ello son la trisección de cualquier ángulo en tres partes iguales y la duplicación del cubo . [1] [2] Matemáticos como Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) y Pappus de Alejandría (290-350 d. C.) utilizaron libremente neuseis ; Sir Isaac Newton (1642-1726) siguió su línea de pensamiento y también utilizó construcciones neusis. [3] Sin embargo, gradualmente la técnica dejó de utilizarse.
En 2002, A. Baragar demostró que cada punto construible con regla y compás marcados se encuentra en una torre de campos sobre , de modo que el grado de extensión en cada paso no es superior a 6. De todos los polígonos de potencia primaria por debajo del 128 -gon, esto es suficiente para mostrar que los regulares 23- , 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-, 103-, Los gons 107, 113, 121 y 127 no se pueden construir con neusis. (Si un p -gon regular es construible, entonces es construible, y en estos casos p − 1 tiene un factor primo mayor que 5.) Los 3- , 4- , 5- , 6- , 8- , 10- , 12 - , 15- , 16- , 17- , 20- , 24- , 30- , 32-, 34-, 40-, 48-, 51-, 60-, 64-, 68-, 80-, 85-, Los gons de 96, 102, 120 y 128 se pueden construir con solo una regla y un compás, y los de 7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19, 21, 26, 27. -, 28-, 35-, 36-, 37-, 38-, 39-, 42-, 52-, 54-, 56-, 57-, 63-, 65-, 70-, 72-, 73-, 74-, 76-, 78-, 81-, 84-, 91-, 95-, 97-, 104-, 105-, 108-, 109-, 111-, 112-, 114-, 117-, 119- y 126 gons con trisección de ángulos. Sin embargo, no se sabe en general si todas las quinticas (polinomios de quinto orden) tienen raíces construibles en neusis, lo cual es relevante para los gonones 11 , 25, 31, 41, 61, 101 y 125. . [4] Benjamin y Snyder demostraron en 2014 que el 11-gon regular es construible en neusis; [1] los 25, 31, 41, 61, 101 y 125 gon siguen siendo problemas abiertos. De manera más general, la constructibilidad de todas las potencias de 5 mayores que 5 mediante regla y compás marcados es un problema abierto, junto con todos los primos mayores que 11 de la forma p = 2 r 3 s 5 t + 1 donde t > 0 (todos números primos mayores que 11 e iguales a uno más que un número regular divisible por 10). [4]
TL Heath , el historiador de las matemáticas, ha sugerido que el matemático griego Enópides ( c. 440 a. C. ) fue el primero en colocar construcciones de compás y regla sobre las neuseis . El principio de evitar las neuseis siempre que sea posible puede haber sido difundido por Hipócrates de Quíos ( c. 430 a. C. ), originario de la misma isla que Enópides y que fue, hasta donde sabemos, el primero en escribir un libro de texto de geometría sistemáticamente ordenado. . Cien años después de él, Euclides también evitó a las neuseis en su muy influyente libro de texto, Los Elementos .
El siguiente ataque a la neusis se produjo cuando, a partir del siglo IV a. C., el idealismo de Platón ganó terreno. Bajo su influencia se desarrolló una jerarquía de tres clases de construcciones geométricas. Descendiendo de lo "abstracto y noble" a lo "mecánico y terrenal", las tres clases fueron:
Al final, el uso de neusis sólo se consideró aceptable cuando las otras dos categorías de construcciones superiores no ofrecían una solución. Neusis se convirtió en una especie de último recurso que sólo se invocaba cuando todos los demás métodos más respetables habían fracasado. El uso de neusis donde se podrían haber utilizado otros métodos de construcción fue calificado por el difunto matemático griego Pappus de Alejandría ( c. 325 d. C. ) como "un error nada despreciable".
