Elemento de línea

Segmento de línea de longitud infinitamente pequeña

En geometría , el elemento de línea o elemento de longitud puede considerarse informalmente como un segmento de línea asociado con un vector de desplazamiento infinitesimal en un espacio métrico . La longitud del elemento lineal, que puede considerarse como una longitud de arco diferencial , es función del tensor métrico y se denota por . ${\displaystyle ds}$

Los elementos lineales se utilizan en física , especialmente en teorías de la gravitación (más notablemente la relatividad general ), donde el espacio-tiempo se modela como una variedad pseudo-riemanniana curva con un tensor métrico apropiado . ^[1]

formulación general

Definición del elemento de línea y longitud de arco.

La definición independiente de coordenadas del cuadrado del elemento lineal ds en una variedad riemanniana o pseudoriemanniana de n dimensiones (en física generalmente una variedad lorentziana ) es el "cuadrado de la longitud" de un desplazamiento infinitesimal ^[2] (en pseudoriemanniano variedades posiblemente negativas) cuya raíz cuadrada debe usarse para calcular la longitud de la curva: ${\displaystyle d\mathbf {q} }$

$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$$

gtensor métrico·producto internod qdesplazamiento infinitesimallongitudintegral^[3] ${\displaystyle q(\lambda )}$ ${\displaystyle q(\lambda _{1})}$ ${\displaystyle q(\lambda _{2})}$

$${\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}$$

Para calcular una longitud sensible de curvas en variedades pseudo-riemannianas, es mejor suponer que los desplazamientos infinitesimales tienen el mismo signo en todas partes. Por ejemplo, en física, el cuadrado de un elemento lineal a lo largo de una curva de línea de tiempo sería (según la convención de firma) negativo y la raíz cuadrada negativa del cuadrado del elemento lineal a lo largo de la curva mediría el tiempo adecuado que pasa para un observador que se mueve a lo largo de la curva. . Desde este punto de vista, la métrica también define, además del elemento lineal, los elementos de superficie y volumen , etc. ${\displaystyle -+++}$

Identificación del cuadrado del elemento lineal con el tensor métrico

Dado que es un "cuadrado de la longitud del arco" arbitrario, define completamente la métrica y, por lo tanto, suele ser mejor considerar la expresión for como una definición del propio tensor métrico, escrita en una notación sugerente pero no tensorial: ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

$${\displaystyle ds^{2}=g}$$

las coordenadas curvilíneasn dimensiones q = ( q ¹ , q ² , q ³ , ..., q ⁿ )^{[3] [4]} ${\displaystyle ds^{2}}$

$${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.}$$

Aquí los índices i y j toman los valores 1, 2, 3, ..., n y se utiliza la convención de suma de Einstein . Los ejemplos comunes de espacios (pseudo) riemannianos incluyen el espacio tridimensional (sin inclusión de coordenadas de tiempo ) y, de hecho, el espacio -tiempo de cuatro dimensiones .

Elementos lineales en el espacio euclidiano

Elemento de línea vectorial d r (verde) en el espacio euclidiano 3d , donde λ es un parámetro de la curva espacial (verde claro).

A continuación se muestran ejemplos de cómo se encuentran los elementos de línea a partir de la métrica.

Coordenadas cartesianas

El elemento de línea más simple está en coordenadas cartesianas , en cuyo caso la métrica es solo el delta de Kronecker :

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$

i, jmatricialij

$${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Las coordenadas curvilíneas generales se reducen a coordenadas cartesianas:

$${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$$

$${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Para todas las coordenadas ortogonales la métrica viene dada por: ^[3]

$${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$$

para i = 1, 2, 3 son factores de escala , por lo que el cuadrado del elemento lineal es:

$${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$$

A continuación se muestran algunos ejemplos de elementos de línea en estas coordenadas. ^[2]

Coordenadas curvilíneas generales

Dada una base arbitraria de un espacio de dimensión , la métrica se define como el producto interno de los vectores de base. ${\displaystyle n,\{{\hat {b}}_{i}\}}$

$${\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }$$

Donde y el producto interno es con respecto al espacio ambiental (generalmente su ) ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

En base coordinada ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

La base de coordenadas es un tipo especial de base que se utiliza habitualmente en geometría diferencial.

Elementos de línea en el espacio-tiempo 4d.

Espacio-tiempo de Minkowski

La métrica de Minkowski es: ^{[5] [1]}

$${\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$$

espacio-tiempo plano4 posiciones

$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}$$

entonces el elemento de línea es:

$${\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}$$

Coordenadas de Schwarzschild

En las coordenadas de Schwarzschild las coordenadas son , siendo la métrica general de la forma: ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$

$${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$$

(nótese las similitudes con la métrica en coordenadas polares esféricas 3D).

entonces el elemento de línea es:

$${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$$

Espacio-tiempo general

La definición independiente de las coordenadas del cuadrado del elemento lineal d s en el espacio-tiempo es: ^[1]

$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}$$

En términos de coordenadas:

$${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

αβ

Este es el intervalo espacio-temporal : la medida de separación entre dos eventos arbitrariamente cercanos en el espacio-tiempo . En relatividad especial es invariante bajo transformaciones de Lorentz . En la relatividad general es invariante bajo transformaciones de coordenadas diferenciables invertibles arbitrarias .

Ver también

• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Primera forma fundamental
• Lista de temas de integración y teoría de la medida.
• tensor métrico
• cálculo de ricci
• Subir y bajar índices

Referencias

1. Gravitación abc, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. Cálculo tensorial, DC Kay, Esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE. UU.), 1988, ISBN 0-07-033484-6 
3. Vector Analysis (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
4. Una introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados, JR Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 
5. Relatividad desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145545-0