¿Qué punto de la superficie del espejo esférico puede reflejar un rayo de luz de la vela al ojo del observador?
El problema de Alhazen , también conocido como problema de billar de Alhazen , es un problema matemático de óptica geométrica formulado por primera vez por Ptolomeo en el año 150 d. C. [1]
Recibe su nombre del matemático árabe del siglo XI Alhazen ( Ibn al-Haytham ), quien presentó una solución geométrica en su Libro de óptica . La solución algebraica implica ecuaciones de cuarto grado y fue encontrada en 1965 por Jack M. Elkin [de] .
Formulación geométrica
El problema consiste en trazar líneas desde dos puntos, que se encuentran en un tercer punto de la circunferencia de un círculo y forman ángulos iguales con la normal en ese punto ( reflexión especular ). Por tanto, su principal aplicación en óptica es resolver el problema, "Hallar el punto en un espejo esférico convexo en el que debe incidir un rayo de luz procedente de un punto dado para reflejarse en otro punto". Esto conduce a una ecuación de cuarto grado . [2] [1]
(Alhazen mismo nunca utilizó esta reescritura algebraica del problema)
La solución de Alhazen
Ibn al-Haytham resolvió el problema utilizando secciones cónicas y una prueba geométrica.
Una solución algebraica al problema fue finalmente encontrada por primera vez en 1965 por Jack M. Elkin (un actuario ), por medio de un polinomio cuártico . [8]
Otras soluciones fueron redescubiertas más tarde: en 1989, por Harald Riede; [9]
en 1990 (presentada en 1988), por Miller y Vegh; [10]
y en 1992, por John D. Smith [3]
y también por Jörg Waldvogel. [11]
En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró que no existe una construcción con regla y compás para la solución general del problema de Alhazen [12] [13]
(aunque en 1965 Elkin ya había proporcionado un contraejemplo a la construcción euclidiana). [3]
Generalización
Recientemente, los investigadores de Mitsubishi Electric Research Labs resolvieron la extensión del problema de Alhazen a espejos cuadráticos simétricos rotacionalmente generales, incluidos espejos hiperbólicos, parabólicos y elípticos. [14] Demostraron que el punto de reflexión del espejo se puede calcular resolviendo una ecuación de octavo grado en el caso más general. Si la cámara (ojo) se coloca en el eje del espejo, el grado de la ecuación se reduce a seis . [15] El problema de Alhazen también se puede extender a múltiples refracciones de una bola esférica. Dada una fuente de luz y una bola esférica de cierto índice de refracción , el punto más cercano en la bola esférica donde la luz se refracta al ojo del observador se puede obtener resolviendo una ecuación de décimo grado. [15]
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^ Drexler, Michael; Gander, Martin J. (1998), "Billar circular", SIAM Review , 40 (2): 315–323, Bibcode :1998SIAMR..40..315D, doi :10.1137/S0036144596310872, ISSN 0036-1445
^ Fujimura, Masayo; Hariri, Parisa; Mocanu, Marcelina; Vuorinen, Matti (2018), "El problema de Ptolomeo-Alhazen y la reflexión en espejo esférico", Métodos computacionales y teoría de funciones , 19 (1): 135–155, arXiv : 1706.06924 , doi : 10.1007/s40315-018-0257-z, ISSN 1617-9447, S2CID 119303124
^ Baker, Marcus (1881), "El problema de Alhazen", American Journal of Mathematics , 4 (1/4): 327–331, doi :10.2307/2369168, ISSN 0002-9327, JSTOR 2369168
^ Alperin, Roger (18 de julio de 2002), "Origami matemático: otra visión del problema óptico de Alhazen", en Hull, Thomas (ed.), Origami^{3} , AK Peters/CRC Press, doi :10.1201/b15735, ISBN978-0-429-06490-6
^ Elkin, Jack M. (1965), "Un problema engañosamente fácil", Mathematics Teacher , 58 (3): 194–199, doi :10.5951/MT.58.3.0194, JSTOR 27968003
^ Riede, Harald (1989), "Reflexion am Kugelspiegel. Oder: das Problem des Alhazen", Praxis der Mathematik (en alemán), 31 (2): 65–70
^ Miller, Allen R.; Vegh, Emanuel (1990), "Cálculo del ángulo rasante de la reflexión especular", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 21 (2): 271–274, doi :10.1080/0020739900210213, ISSN 0020-739X
^ Waldvogel, Jörg. "El problema del billar circular.." Elemente der Mathematik 47.3 (1992): 108-113. [1]
^ Highfield, Roger (1 de abril de 1997), "Don resuelve el último rompecabezas dejado por los antiguos griegos", Electronic Telegraph , 676 , archivado desde el original el 23 de noviembre de 2004 , consultado el 24 de septiembre de 2008
^ Agrawal, Amit; Taguchi, Yuichi; Ramalingam, Srikumar (2011), Más allá del problema de Alhazen: modelo de proyección analítica para cámaras catadióptricas no centrales con espejos cuadráticos, Conferencia IEEE sobre visión artificial y reconocimiento de patrones, archivado desde el original el 7 de marzo de 2012
^ ab Agrawal, Amit; Taguchi, Yuichi; Ramalingam, Srikumar (2010), Proyección analítica hacia delante para cámaras catadióptricas y dióptricas axiales no centrales, Conferencia Europea sobre Visión por Computador, archivado desde el original el 7 de marzo de 2012
