Teoría de Kummer

Teoría en álgebra abstracta

En álgebra abstracta y teoría de números , la teoría de Kummer proporciona una descripción de ciertos tipos de extensiones de campo que implican la adjunción de raíces n -ésimas de elementos del campo base . La teoría fue desarrollada originalmente por Ernst Eduard Kummer alrededor de la década de 1840 en su trabajo pionero sobre el Último Teorema de Fermat . Los enunciados principales no dependen de la naturaleza del campo, aparte de su característica , que no debe dividir al entero n , y por lo tanto pertenecen al álgebra abstracta. La teoría de extensiones cíclicas del campo K cuando la característica de K divide a n se llama teoría de Artin-Schreier .

La teoría de Kummer es básica, por ejemplo, en la teoría de cuerpos de clases y en general en la comprensión de las extensiones abelianas ; dice que en presencia de suficientes raíces de la unidad, las extensiones cíclicas pueden entenderse en términos de extracción de raíces. La principal carga en la teoría de cuerpos de clases es prescindir de raíces de la unidad adicionales ('descendiendo' de nuevo a cuerpos más pequeños); lo cual es algo mucho más serio.

Extensiones de Kummer

Una extensión de Kummer es una extensión de campo L / K , donde para algún entero dado n > 1 tenemos

• K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad (es decir, raíces de X ⁿ − 1)
• L / K tiene grupo de Galois abeliano de exponente n .

Por ejemplo, cuando n = 2, la primera condición siempre es verdadera si K tiene característica ≠ 2. Las extensiones de Kummer en este caso incluyen extensiones cuadráticas donde a en K es un elemento no cuadrado. Por la solución habitual de ecuaciones cuadráticas , cualquier extensión de grado 2 de K tiene esta forma. Las extensiones de Kummer en este caso también incluyen extensiones bicuadráticas y extensiones multicuadráticas más generales . Cuando K tiene característica 2, no existen tales extensiones de Kummer. ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

Si tomamos n = 3, no hay extensiones de Kummer de grado 3 del cuerpo de números racionales Q , ya que para tres raíces cúbicas de 1 se requieren números complejos . Si tomamos L como el cuerpo de descomposición de X ³ − a sobre Q , donde a no es un cubo en los números racionales, entonces L contiene un subcuerpo K con tres raíces cúbicas de 1; esto se debe a que si α y β son raíces del polinomio cúbico, tendremos (α/β) ³ =1 y el cúbico es un polinomio separable . Entonces L / K es una extensión de Kummer.

En términos más generales, es cierto que cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, lo que implica que la característica de K no divide a n , entonces, al agregar a K la raíz n-ésima de cualquier elemento a de K, se crea una extensión de Kummer (de grado m , para algún m que divide a n ). Como el cuerpo de desdoblamiento del polinomio X ⁿ − a , la extensión de Kummer es necesariamente Galois , con un grupo de Galois que es cíclico de orden m . Es fácil rastrear la acción de Galois a través de la raíz de la unidad frente a ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

La teoría de Kummer proporciona enunciados inversos. Cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, establece que cualquier extensión abeliana de K de exponente que divida a n se forma mediante la extracción de raíces de elementos de K. Además, si K ^× denota el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de K , las extensiones abelianas de K de exponente n se corresponden biyectivamente con subgrupos de

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

es decir, elementos de K ^× módulo n- ésimas potencias. La correspondencia puede describirse explícitamente de la siguiente manera. Dado un subgrupo

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

La extensión correspondiente viene dada por

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

dónde

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

De hecho, basta con añadir la raíz n- ésima de un representante de cada elemento de cualquier conjunto de generadores del grupo Δ. Por el contrario, si L es una extensión de Kummer de K , entonces Δ se recupera por la regla

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

En este caso hay un isomorfismo

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

dado por

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

donde α es cualquier raíz n- ésima de a en L . Aquí denota el grupo multiplicativo de las raíces n- ésimas de la unidad (que pertenecen a K ) y es el grupo de homomorfismos continuos desde equipados con topología de Krull hasta con topología discreta (con operación de grupo dada por multiplicación puntual). Este grupo (con topología discreta) también puede verse como dual de Pontryagin de , suponiendo que lo consideramos como un subgrupo del grupo de círculos . Si la extensión L / K es finita, entonces es un grupo discreto finito y tenemos ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

Sin embargo, el último isomorfismo no es natural .

Recuperanteun 1/ nde un elemento primitivo

Para primos, sea un cuerpo que contiene y una extensión de Galois de grado. Nótese que el grupo de Galois es cíclico, generado por . Sea ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle K(\beta )/K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

Entonces

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .}$

Desde y ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )}$

${\displaystyle \alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$,

donde el signo es si es impar y si . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle p=2}$

Cuando es una extensión abeliana de grado libre de cuadrados tal que , aplique el mismo argumento a los subcuerpos de Galois de grado para obtener ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$ ${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

dónde

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$.

El mapa de Kummer

Una de las principales herramientas de la teoría de Kummer es el mapa de Kummer. Sea un entero positivo y sea un cuerpo, que no necesariamente contiene las raíces ésimas de la unidad. Si denotamos la clausura algebraica de , existe una secuencia exacta corta ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

Eligiendo una extensión y tomando -cohomología se obtiene la secuencia ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

Por el teorema 90 de Hilbert , y por lo tanto obtenemos un isomorfismo . Este es el mapa de Kummer. También existe una versión de este mapa cuando se consideran todos simultáneamente. Es decir, dado que , tomando el límite directo sobre se obtiene un isomorfismo ${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$ ${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$,

donde tors denota el subgrupo de torsión de raíces de la unidad.

Para curvas elípticas

La teoría de Kummer se utiliza a menudo en el contexto de curvas elípticas. Sea una curva elíptica. Hay una secuencia exacta corta ${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$,

donde la multiplicación por función es sobreyectiva ya que es divisible. Eligiendo una extensión algebraica y tomando cohomología, obtenemos la sucesión de Kummer para : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

El cálculo del grupo débil de Mordell-Weil es una parte clave de la prueba del teorema de Mordell-Weil . El hecho de que no se anule añade una complejidad clave a la teoría. ${\displaystyle E(L)/mE(L)}$ ${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

Generalizaciones

Supóngase que G es un grupo profinito que actúa sobre un módulo A con un homomorfismo sobreyectivo π desde el G -módulo A hasta sí mismo. Supóngase también que G actúa trivialmente sobre el núcleo C de π y que el primer grupo de cohomología H ¹ ( G , A ) es trivial. Entonces la secuencia exacta de cohomología de grupos muestra que hay un isomorfismo entre A ^G /π( A ^G ) y Hom( G , C ).

La teoría de Kummer es el caso especial de esto cuando A es el grupo multiplicativo de la clausura separable de un cuerpo k , G es el grupo de Galois, π es la función de potencia n y C el grupo de raíces n de la unidad. La teoría de Artin-Schreier es el caso especial cuando A es el grupo aditivo de la clausura separable de un cuerpo k de característica positiva p , G es el grupo de Galois, π es la función de Frobenius menos la identidad y C el cuerpo finito de orden p . Tomando A como un anillo de vectores de Witt truncados se obtiene la generalización de Witt de la teoría de Artin-Schreier a extensiones de exponentes que dividen p ⁿ .

Véase también

• Campo cuadrático

Referencias

• "Extensión de Kummer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Bryan Birch , "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría de números algebraicos , Academic Press , 1973. Cap.III, págs. 85–93.