Discriminante de un campo numérico algebraico

Mide el tamaño del anillo de números enteros del campo numérico algebraico.

Un dominio fundamental del anillo de números enteros del campo K obtenido de Q uniendo una raíz de x ³  −  x ²  − 2 x  + 1. Este dominio fundamental se encuentra dentro de K  ⊗ _Q  R . El discriminante de K es 49 = 7 ² . En consecuencia, el volumen del dominio fundamental es 7 y K sólo se ramifica en 7.

En matemáticas , el discriminante de un campo numérico algebraico es un invariante numérico que, en términos generales, mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) campo numérico algebraico. Más concretamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de los números enteros , y regula qué primos se ramifican .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un campo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula numérica de clase analítica para K. Un teorema de Hermite establece que sólo hay un número finito de campos de discriminante acotado; sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. ^[1]

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de campos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de los números enteros de L , y al igual que el discriminante absoluto indica qué primos están ramificados en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  =  Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.

Definición

Sea K un campo numérico algebraico y sea O _K su anillo de números enteros . Sea b ₁ , ..., b _n una base integral de O _K (es decir, una base como un módulo Z ), y sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incorporaciones de K en el números complejos (es decir, homomorfismos de anillo inyectivos K  →  C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz B de n por n cuya entrada ( i , j ) es σ _i ( b _j ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

De manera equivalente, se puede utilizar la traza de K a Q. Específicamente, defina la forma de traza como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr _{K / Q} ( b _i b _j ). Esta matriz es igual a B ^T B , por lo que el cuadrado del discriminante de K es el determinante de esta matriz.

El discriminante de un orden en K con base integral b ₁ , ..., b _n se define de la misma manera.

Ejemplos

• Campos de números cuadráticos : sea d un entero sin cuadrados , entonces el discriminante de es ^[2] ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Un número entero que ocurre como discriminante de un campo numérico cuadrático se llama discriminante fundamental . ^[3]

• Campos ciclotómicos : sea n  > 2 un número entero, sea ζ _n una n- ésima raíz primitiva de la unidad , y sea K _n = Q (ζ _n ) el n- ésimo campo ciclotómico. El discriminante de K _n viene dado por ^{[2] [4]}

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

donde está la función totiente de Euler y el producto en el denominador es sobre los primos p que dividen a n . ${\displaystyle \varphi (n)}$

• Bases potencias: En el caso en que el anillo de números enteros tenga una base integral potencia , es decir, se pueda escribir como O _K = Z [α], el discriminante de K es igual al discriminante del polinomio mínimo de α. Para ver esto, se puede elegir que la base integral de _OK sea b 1 ₌  1, b ₂  = α, b ₃  =  α ² , ..., b _n  =  α ^{n −1} . Entonces, la matriz en la definición es la matriz de Vandermonde asociada a α _i  = σ _i (α), cuyo determinante al cuadrado es

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

que es exactamente la definición del discriminante del polinomio mínimo.

• Sea K = Q (α) el campo numérico obtenido al unir una raíz α del polinomio x ³  −  x ²  − 2 x  − 8. Este es el ejemplo original de Richard Dedekind de un campo numérico cuyo anillo de números enteros no posee una base de poder. Una base integral viene dada por {1, α, α(α + 1)/2} y el discriminante de K es −503. ^{[5] [6]}
• Discriminantes repetidos: el discriminante de un campo cuadrático lo identifica de forma única, pero esto no es cierto, en general, para campos numéricos de mayor grado . Por ejemplo, hay dos campos cúbicos no isomorfos del discriminante 3969. Se obtienen uniendo una raíz del polinomio x ³ − 21 x + 28 o x ³ − 21 x − 35 , respectivamente. ^[7]

Resultados básicos

• Teorema de Brill : ^[8] El signo del discriminante es (−1) ^{r ₂} donde r ₂ es el número de lugares complejos de K . ^[9]
• Un primo p ramifica en K si y sólo si p divide a Δ _K  . ^{[10] [11]}
• Teorema de Stickelberger : ^[12]

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• Límite de Minkowski : ^[13] Sea n el grado de la extensión K / Q y r ₂ el número de lugares complejos de K , entonces

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Teorema de Minkowski : ^[14] Si K no es Q , entonces |Δ _K | > 1 (esto se deriva directamente del límite de Minkowski).
• Teorema de Hermite-Minkowski : ^[15] Sea N un número entero positivo. Sólo hay un número finito (hasta isomorfismos) de campos numéricos algebraicos K con |Δ _K | < norte . Nuevamente, esto se desprende del teorema de Minkowski unido al teorema de Hermite (que sólo hay un número finito de campos de números algebraicos con discriminante prescrito).

Historia

Richard Dedekind demostró que todo campo numérico posee una base integral, lo que le permitió definir el discriminante de un campo numérico arbitrario. ^[dieciséis]

La definición del discriminante de un campo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. ^[16] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. ^[17]

El teorema de Hermite es anterior a la definición general del discriminante y Charles Hermite publicó una prueba del mismo en 1857. ^[18] En 1877, Alexander von Brill determinó el signo del discriminante. ^[19] Leopold Kronecker expuso por primera vez el teorema de Minkowski en 1882, ^[20] aunque la primera demostración la dio Hermann Minkowski en 1891. ^[21] Ese mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el discriminante. ^[22] Cerca del final del siglo XIX, Ludwig Stickelberger obtuvo su teorema sobre el residuo del discriminante módulo cuatro. ^{[23] [24]}

discriminante relativo

El discriminante definido anteriormente a veces se denomina discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo Δ _{K / L} de una extensión de campos numéricos K / L , que es un ideal en O _L. El discriminante relativo se define de manera similar al discriminante absoluto, pero debe tener en cuenta que los ideales en OL pueden no ser principales y que puede no _{haber una base} OL de OK . Sea {σ ₁ , ... , σ _n } el conjunto de incrustaciones de K en C que son la identidad en L. Si b ₁ , ..., b _n es cualquier base de K sobre L , sea d ( b ₁ , ..., b _n ) el cuadrado del determinante de la matriz n por n cuya ( i , j )- la entrada es σ _i ( b _j ). Entonces, el discriminante relativo de K / L es el ideal generado por d ( b ₁ , ..., b _n ) cuando { b ₁ , ..., b _n } varía sobre todas las bases integrales de K / L . (es decir, bases con la propiedad de que b _i  ∈  O _K para todo i ). Alternativamente, el discriminante relativo de K / L es la norma del diferente de K / L . ^[25] Cuando L = Q , el discriminante relativo Δ _{K / Q} es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto  Δ _K. En una torre de campos K / L / F los discriminantes relativos están relacionados por

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

donde denota norma relativa . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ramificación

El discriminante relativo regula los datos de ramificación de la extensión de campo K / L . Un ideal primo p de L se ramifica en K si, y sólo si, divide al discriminante relativo Δ _{K / L} . Una extensión no está ramificada si, y sólo si, el discriminante es el ideal unitario. ^[25] El enlace de Minkowski anterior muestra que no existen extensiones no triviales y no ramificadas de Q. Los campos mayores que Q pueden tener extensiones no ramificadas: por ejemplo, para cualquier campo con un número de clase mayor que uno, su campo de clase Hilbert es una extensión no ramificada no trivial.

discriminante de raíz

La raíz discriminante de un campo numérico K de grado n se define mediante la fórmula

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.}$^[27]

La relación entre discriminantes relativos en una torre de campos muestra que el discriminante raíz no cambia en una extensión no ramificada.

Límites inferiores asintóticos

Dados números racionales no negativos ρ y σ , no ambos 0, y un entero positivo n tal que el par ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) esté en Z  × 2 Z , sea α _n ( ρ ,  σ ) el ínfimo de rd _K ya que K abarca campos numéricos de grado n con r incrustaciones reales y 2 s incrustaciones complejas, y sea α ( ρ ,  σ ) = liminf _{n →∞}  α _n ( ρ ,  σ ). Entonces

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 60.8^{\rho }22.3^{\sigma }}$,

y la hipótesis generalizada de Riemann implica el límite más fuerte

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.}$^[28]

También hay un límite inferior que se cumple en todos los grados, no sólo asintóticamente: para campos totalmente reales, la raíz discriminante es > 14, con 1229 excepciones. ^[29]

Límites superiores asintóticos

Por otro lado, la existencia de una torre de campo de clase infinita puede dar límites superiores a los valores de α ( ρ ,  σ ). Por ejemplo, la torre de campo de clase infinita sobre Q ( √ - m ) con m  = 3·5·7·11·19 produce campos de grado arbitrariamente grande con raíz discriminante 2 √ m ≈ 296.276, ^[28] entonces α (0, 1) <296,276. Utilizando torres mansamente ramificadas , Hajir y Maire han demostrado que α (1,0) < 954,3 y α (0,1) < 82,2, ^[27] mejorando los límites anteriores de Martinet. ^{[28] [30]}

Relación con otras cantidades

• Cuando está incrustado en , el volumen del dominio fundamental de O _K es (a veces se usa una medida diferente y el volumen obtenido es , donde r ₂ es el número de lugares complejos de K ). ${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ ${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$
• Debido a su aparición en este volumen, el discriminante también aparece en la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y, por tanto, en la fórmula analítica del número de clase y en el teorema de Brauer-Siegel .
• El discriminante relativo de K / L es el conductor Artin de la representación regular del grupo Galois de K / L . Esto proporciona una relación con los conductores Artin de los personajes del grupo Galois de K / L , llamada fórmula conductor-discriminante . ^[31]

Notas

1. Cohen, Díaz y Díaz y Olivier 2002
2. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 49 (Segunda ed.), pág. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
3. Definición 5.1.2 de Cohen 1993
4. Proposición 2.7 de Washington 1997
5. Dedekind 1878, págs. 30-31
6. Narkiewicz 2004, pag. 64
7. Cohen 1993, Teorema 6.4.6
8. Koch 1997, pág. 11
9. Lema 2.2 de Washington 1997
10. Corolario III.2.12 de Neukirch 1999
11. Conrado, Keith. «Discriminantes y primos ramificados» (PDF) . Teorema 1.3 (Dedekind). Para un campo numérico K, un primo p ramifica en K si y sólo si p divide al entero discZ(OK)
12. Ejercicio I.2.7 de Neukirch 1999
13. Proposición III.2.14 de Neukirch 1999
14. Teorema III.2.17 de Neukirch 1999
15. Teorema III.2.16 de Neukirch 1999
16. Suplemento X de Dedekind de la segunda edición de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dedekind 1871)
17. Bourbaki 1994
18. Ermita 1857.
19. Brillante 1877.
20. Kronecker 1882.
21. Minkowski 1891a.
22. Minkowski 1891b.
23. Stickelberger 1897.
24. Todos los datos de este párrafo se pueden encontrar en Narkiewicz 2004, págs.59, 81.
25. Neukirch 1999, §III.2
26. Corolario III.2.10 de Neukirch 1999 o Proposición III.2.15 de Fröhlich & Taylor 1993
27. Hajir, Farshid; Maire, cristiano (2002). "Torres dócilmente ramificadas y límites discriminantes para campos numéricos. II". J. Computación simbólica. 33 : 415–423. doi : 10.1023/A:1017537415688 .
28. Koch 1997, págs. 181-182
29. Voight 2008
30. Martinet, Jacques (1978). "Tours de corps declasses et estimaciones de discriminants". Inventiones Mathematicae (en francés). 44 : 65–73. Código Bib : 1978 InMat..44...65M. doi :10.1007/bf01389902. S2CID  122278145. Zbl  0369.12007.
31. Sección 4.4 de Serre 1967

Referencias

Fuentes primarias

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• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
• Dedekind, Richard (1878), "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 23 (1) , recuperado 2009-08-20
• Hermite, Charles (1857), "Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coeficientes entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés", Crelle's Journal , 1857 (53): 182–192, doi :10.1515/crll.1857.53.182, S2CID  120694650 , consultado el 20 de agosto de 2009
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• Minkowski, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 112 : 209–212, JFM  23.0214.01
• Stickelberger, Ludwig (1897), "Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper", Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticos, Zúrich , págs. 182-193, JFM  29.0172.03

Fuentes secundarias

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• Cohen, Enrique ; Díaz y Díaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), "A Survey of Discriminant Counting", en Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Teoría algorítmica de números, Actas, 5º Simposio Internacional, ANTS-V, Universidad de Sydney, julio de 2002 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2369, Berlín: Springer-Verlag, págs. 80–94, doi :10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743, SEÑOR  2041075
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Otras lecturas

• Milne, James S. (1998), Teoría algebraica de números , consultado el 20 de agosto de 2008