En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un dominio atómico o dominio de factorización es un dominio integral en el que cada elemento no unitario distinto de cero puede escribirse de al menos una forma como un producto finito de elementos irreducibles . Los dominios atómicos se diferencian de los dominios de factorización únicos en que esta descomposición de un elemento en irreducibles no necesita ser única; dicho de otra manera, un elemento irreducible no es necesariamente un elemento primo .
Entre los ejemplos importantes de dominios atómicos se incluyen la clase de todos los dominios de factorización únicos y todos los dominios noetherianos . En términos más generales, cualquier dominio integral que satisfaga la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP) es un dominio atómico. Aunque en el artículo de Cohn se afirma que se cumple lo contrario , [1] se sabe que esto es falso. [2]
El término "atómico" se debe a PM Cohn , quien llamó "átomo" a un elemento irreducible de un dominio integral.
En esta sección, un anillo puede verse simplemente como un conjunto abstracto en el que se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación; análogo a los números enteros .
El anillo de los números enteros (es decir, el conjunto de números enteros con las operaciones naturales de adición y multiplicación) satisface muchas propiedades importantes. Una de esas propiedades es el teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, al considerar anillos abstractos, una pregunta natural que se plantea es bajo qué condiciones se cumple dicho teorema. Dado que un dominio de factorización único es precisamente un anillo en el que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética, esta pregunta se responde fácilmente. Sin embargo, se observa que hay dos aspectos del teorema fundamental de la aritmética: primero, que cualquier número entero es el producto finito de números primos , y segundo, que este producto es único hasta la reorganización (y la multiplicación por unidades ). Por lo tanto, también es natural preguntar bajo qué condiciones se pueden "descomponer" elementos particulares de un anillo sin requerir unicidad. El concepto de dominio atómico aborda esto.
Sea R un dominio integral . Si cada x no nulo y no unitario de R puede escribirse como un producto de elementos irreducibles , R se denomina dominio atómico. (El producto es necesariamente finito, ya que en la teoría de anillos no se definen productos infinitos . Se permite que un producto de este tipo involucre al mismo elemento irreducible más de una vez como factor). Cualquier expresión de este tipo se denomina factorización de x .
En un dominio atómico, es posible que diferentes factorizaciones del mismo elemento x tengan longitudes diferentes. Incluso es posible que entre las factorizaciones de x no haya límite en el número de factores irreducibles. Si, por el contrario, el número de factores está acotado para cada x no unitario y no nulo , entonces R es un dominio de factorización acotado ( BFD ); formalmente esto significa que para cada x existe un entero N tal que si x = x 1 x 2 ... x n y ninguno de los x i es invertible, entonces n < N .
Si existe tal límite, ninguna cadena de divisores propios de x a 1 puede exceder este límite en longitud (ya que el cociente en cada paso puede factorizarse, produciendo una factorización de x con al menos un factor irreducible para cada paso de la cadena), por lo que no puede haber ninguna cadena infinita estrictamente ascendente de ideales principales de R . Esa condición, llamada condición de cadena ascendente sobre ideales principales o ACCP, es estrictamente más débil que la condición BFD, y estrictamente más fuerte que la condición atómica (en otras palabras, incluso si existen cadenas infinitas de divisores propios, todavía puede ser que cada x posea una factorización finita [3] ).
Dos condiciones independientes que son estrictamente más fuertes que la condición BFD son la condición de dominio semifactorial ( HFD : cualesquiera dos factorizaciones de cualquier x dada tienen la misma longitud) y la condición de dominio de factorización finita ( FFD : cualquier x tiene solo un número finito de divisores no asociados ). Obviamente, cada dominio de factorización único satisface estas dos condiciones, pero ninguna implica factorización única.