Serie de potencias

Suma infinita de monomios

En matemáticas , una serie de potencias (en una variable ) es una serie infinita de la forma donde a _n representa el coeficiente del término n y c es una constante. Las series de potencias son útiles en el análisis matemático , donde surgen como series de Taylor de funciones infinitamente diferenciables . De hecho, el teorema de Borel implica que cada serie de potencias es la serie de Taylor de alguna función suave. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }$$

En muchas situaciones, c (el centro de la serie) es igual a cero, por ejemplo, cuando se considera una serie de Maclaurin . En tales casos, la serie de potencias adopta la forma más simple $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

Más allá de su papel en el análisis matemático, las series de potencias también aparecen en combinatoria como funciones generadoras (una especie de serie de potencias formal ) y en ingeniería electrónica (bajo el nombre de transformada Z ). La notación decimal familiar para números reales también puede verse como un ejemplo de una serie de potencias, con coeficientes enteros , pero con el argumento x fijo en 1 ⁄ 10 . En teoría de números , el concepto de números p -ádicos también está estrechamente relacionado con el de serie de potencias.

Ejemplos

Polinomio

La función exponencial (en azul) y su aproximación mejorada mediante la suma de los primeros n  + 1 términos de su serie de potencias de Maclaurin (en rojo). Por lo tanto ,
n=0 da , n=1 , n=2 , n=3, etcétera. ${\displaystyle f(x)=1}$
${\displaystyle f(x)=1+x}$
${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2}$
${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6}$

Un polinomio de grado d puede expresarse como una serie de potencias alrededor de cualquier centro c , donde todos los términos de grado mayor que d tienen coeficiente cero. Por ejemplo, el polinomio puede escribirse como una serie de potencias alrededor del centro como o alrededor del centro como ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle c=0}$ $${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$$ ${\textstyle c=1}$ $${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }$$

Esto se debe a que la expansión de la serie de Taylor de f(x) alrededor de es ${\textstyle x=1}$

$${\displaystyle f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,}$$

como y las derivadas distintas de cero son , entonces y , una constante. ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ ${\textstyle f'(x)=2x+2}$ ${\textstyle f'(1)=4}$ ${\textstyle f''(x)=2}$

O bien, la expansión es posible alrededor de cualquier otro centro c . ^[1] Se pueden considerar las series de potencias como "polinomios de grado infinito", aunque las series de potencias no son polinomios.

Serie geométrica, función exponencial y seno

La fórmula de la serie geométrica , válida para , es uno de los ejemplos más importantes de una serie de potencias, al igual que la fórmula de la función exponencial y la fórmula del seno. $${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$ ${\textstyle |x|<1}$ $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

válido para todos los x reales .

Estas series de potencias también son ejemplos de series de Taylor .

Sobre el conjunto de exponentes

No se permiten potencias negativas en una serie de potencias; por ejemplo, no se considera una serie de potencias (aunque es una serie de Laurent ). De manera similar, no se permiten potencias fraccionarias como (pero véase serie de Puiseux ). No se permite que los coeficientes dependan de , por lo tanto, por ejemplo: no es una serie de potencias. ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle x}$ $${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$$

Radio de convergencia

Una serie de potencias es convergente para algunos valores de la variable x , que siempre incluirá x = c (como es habitual, se evalúa como ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ ${\displaystyle (x-c)^{0}}$1 y la suma de la serie es entonces para x = c ). La serie puede divergir para otros valores de x . Si c no es el único punto de convergencia, entonces siempre hay un número r con 0 < r ≤ ∞ tal que la serie converge siempre que | x – c | < r y diverge siempre que | x – c | > r . El número r se llama radio de convergencia de la serie de potencias; en general se da como o, equivalentemente, (este es el teorema de Cauchy-Hadamard ; véase límite superior y límite inferior para una explicación de la notación). La relación también se satisface, si existe este límite. ${\displaystyle a_{0}}$ $${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$ $${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$

El conjunto de los números complejos tales que | x – c | < r se denomina disco de convergencia de la serie. La serie converge de forma absoluta dentro de su disco de convergencia y converge de manera uniforme en cada subconjunto compacto del disco de convergencia.

Para | x – c | = r , no hay una afirmación general sobre la convergencia de la serie. Sin embargo, el teorema de Abel establece que si la serie es convergente para algún valor z tal que | z – c | = r , entonces la suma de la serie para x = z es el límite de la suma de la serie para x = c + t ( z – c ) donde t es una variable real menor que1 que tiende a1 .

Operaciones sobre series de potencias

Suma y resta

Cuando dos funciones f y g se descomponen en series de potencias alrededor del mismo centro c , la serie de potencias de la suma o diferencia de las funciones se puede obtener mediante la suma y resta término por término. Es decir, si y entonces $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$$ $${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$$ $${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$$

No es cierto que si dos series de potencias y tienen el mismo radio de convergencia, entonces también tiene este radio de convergencia. Si y , entonces ambas series tienen el mismo radio de convergencia de 1, pero la serie tiene un radio de convergencia de 3. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

La suma de dos series de potencias tendrá, como mínimo, un radio de convergencia igual al menor de los dos radios de convergencia de las dos series (y puede ser mayor que cualquiera de ellos, como se ve en el ejemplo anterior). ^[2]

Multiplicación y división

Con las mismas definiciones para y , la serie de potencias del producto y cociente de las funciones se puede obtener de la siguiente manera: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$$

La secuencia se conoce como la convolución de las secuencias y . ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Para la división, si uno define la secuencia por entonces y uno puede resolver recursivamente los términos comparando coeficientes. ${\displaystyle d_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$$ $${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$$ ${\displaystyle d_{n}}$

Resolviendo las ecuaciones correspondientes se obtienen las fórmulas basadas en determinantes de ciertas matrices de los coeficientes de y ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$$ $${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$$

Diferenciación e integración

Una vez que una función se da como una serie de potencias como la anterior, es diferenciable en el interior del dominio de convergencia. Se puede diferenciar e integrar con bastante facilidad, tratando cada término por separado: ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$$

Ambas series tienen el mismo radio de convergencia que la original.

Funciones analíticas

Una función f definida en algún subconjunto abierto U de R o C se denomina analítica si está dada localmente por una serie de potencias convergentes. Esto significa que todo a ∈ U tiene un entorno abierto V ⊆ U , tal que existe una serie de potencias con centro a que converge a f ( x ) para todo x ∈ V .

Toda serie de potencias con un radio de convergencia positivo es analítica en el interior de su región de convergencia. Todas las funciones holomorfas son analíticas complejas. Las sumas y productos de funciones analíticas son analíticas, al igual que los cocientes, siempre que el denominador no sea cero.

Si una función es analítica, entonces es infinitamente diferenciable, pero en el caso real, la inversa no suele ser cierta. Para una función analítica, los coeficientes a _n se pueden calcular como $${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

donde denota la derivada n- ésima de f en c , y . Esto significa que cada función analítica está representada localmente por su serie de Taylor . ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

La forma global de una función analítica está completamente determinada por su comportamiento local en el siguiente sentido: si f y g son dos funciones analíticas definidas en el mismo conjunto abierto conexo U , y si existe un elemento c ∈ U tal que f ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c ) para todo n ≥ 0 , entonces f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈ U .

Si se da una serie de potencias con radio de convergencia r , se pueden considerar continuaciones analíticas de la serie, es decir, funciones analíticas f que están definidas en conjuntos mayores que { x | | x − c | < r } y concuerdan con la serie de potencias dada en este conjunto. El número r es máximo en el siguiente sentido: siempre existe un número complejo x con | x − c | = r tal que no se puede definir ninguna continuación analítica de la serie en x .

La expansión en serie de potencias de la función inversa de una función analítica se puede determinar utilizando el teorema de inversión de Lagrange .

Comportamiento cerca del límite

La suma de una serie de potencias con un radio de convergencia positivo es una función analítica en cada punto del interior del disco de convergencia. Sin embargo, puede darse un comportamiento diferente en los puntos del límite de ese disco. Por ejemplo:

1. Divergencia mientras la suma se extiende a una función analítica : tiene radio de convergencia igual a y diverge en cada punto de . Sin embargo, la suma en es , que es analítica en cada punto del plano excepto en . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ${\displaystyle z=1}$
2. Convergente en algunos puntos y divergente en otros : tiene radio de convergencia . Converge para , mientras que diverge para . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=-1}$ ${\displaystyle z=1}$
3. Convergencia absoluta en cada punto del límite : tiene radio de convergencia , mientras que converge de manera absoluta y uniforme en cada punto de debido a la prueba M de Weierstrass aplicada con la serie convergente hiperarmónica . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. Convergente en el cierre del disco de convergencia pero no suma continua : Sierpiński dio un ejemplo ^[3] de una serie de potencias con radio de convergencia , convergente en todos los puntos con , pero la suma es una función ilimitada y, en particular, discontinua. Una condición suficiente para la continuidad unilateral en un punto límite está dada por el teorema de Abel . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$

Serie de potencias formales

En álgebra abstracta se intenta captar la esencia de las series de potencias sin restringirse a los cuerpos de números reales y complejos, y sin necesidad de hablar de convergencia. Esto conduce al concepto de serie de potencias formales , un concepto de gran utilidad en combinatoria algebraica .

Series de potencias en varias variables

Una extensión de la teoría es necesaria para los propósitos del cálculo multivariable . Una serie de potencias se define aquí como una serie infinita de la forma donde j = ( j ₁ , …, j _n ) es un vector de números naturales, los coeficientes a _{( j 1 , …, j n )} son usualmente números reales o complejos, y el centro c = ( c ₁ , …, c _n ) y el argumento x = ( x ₁ , …, x _n ) son usualmente vectores reales o complejos. El símbolo es el símbolo del producto , que denota multiplicación. En la notación multiíndice más conveniente esto puede escribirse donde es el conjunto de números naturales , y también lo es el conjunto de n - tuplas ordenadas de números naturales. $${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$$ ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

La teoría de estas series es más complicada que la de las series de una sola variable, con regiones de convergencia más complicadas. Por ejemplo, la serie de potencias es absolutamente convergente en el conjunto entre dos hipérbolas. (Éste es un ejemplo de un conjunto log-convexo , en el sentido de que el conjunto de puntos , donde se encuentra en la región anterior, es un conjunto convexo. De manera más general, se puede demostrar que cuando c=0, el interior de la región de convergencia absoluta es siempre un conjunto log-convexo en este sentido.) Por otra parte, en el interior de esta región de convergencia se puede diferenciar e integrar bajo el signo de la serie, tal como se puede hacer con las series de potencias ordinarias. ^[4] ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

Orden de una serie de potencias

Sea α un multiíndice para una serie de potencias f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) . El orden de la serie de potencias f se define como el menor valor tal que exista un _α ≠ 0 con , o si f ≡ 0. En particular, para una serie de potencias f ( x ) en una sola variable x , el orden de f es la potencia más pequeña de x con un coeficiente distinto de cero. Esta definición se extiende fácilmente a la serie de Laurent . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \infty }$

Notas

1. Howard Levi (1967). Polinomios, series de potencias y cálculo. Van Nostrand. pág. 24.
2. Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería, 8.ª ed., página 747
3. Wacław Sierpiński (1916). "Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (Francés)". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . Rendición de Palermo: 187–190. doi :10.1007/BF03018294. JFM  46.1466.03. S2CID  121218640.
4. Beckenbach, EF (1948). "Funciones convexas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (5): 439–460. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

Referencias

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Series de potencias", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Series de potencias formales". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Series de potencias". MathWorld .
• Potencias de números complejos por Michael Schreiber, Proyecto de demostraciones Wolfram .