teorema de ostrowski

Sobre todos los valores absolutos de los números racionales.

En teoría de números , el teorema de Ostrowski , debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que cada valor absoluto no trivial de los números racionales es equivalente al valor absoluto real habitual o a un valor absoluto p -ádico . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Definiciones

Dos valores absolutos y racionales se definen como equivalentes si inducen la misma topología; Se puede demostrar que esto es equivalente a la existencia de un número real positivo tal que ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |_{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{*}=|x|^{\lambda }.}$

(Nota: en general, si es un valor absoluto, ya no es necesariamente un valor absoluto; sin embargo, si dos valores absolutos son equivalentes, entonces cada uno es una potencia positiva del otro. ^[2] ) El valor absoluto trivial en cualquier campo K se define como ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |x|^{\lambda }}$

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}}$

El valor absoluto real en los racionales es el valor absoluto estándar en los reales, definido como ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}}$

A veces esto se escribe con un subíndice 1 en lugar de infinito .

Para un número primo p , el valor absoluto p -ádico de on se define de la siguiente manera: cualquier x racional distinto de cero se puede escribir únicamente como , donde a y b son enteros coprimos no divisibles por p , y n es un número entero; entonces definimos ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}}$

Prueba

La siguiente demostración sigue la del Teorema 10.1 de Schikhof (2007).

Sea un valor absoluto de los racionales. Comenzamos la demostración mostrando que está enteramente determinado por los valores que toma en los números primos . ${\displaystyle |\cdot |_{*}}$

Del hecho de que y de la propiedad de multiplicatividad del valor absoluto, inferimos que . En particular, tiene que ser 0 o 1 y , dado que uno debe tener . Un argumento similar lo demuestra . ${\displaystyle 1\times 1=1}$ ${\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}$ ${\displaystyle |1|_{*}}$ ${\displaystyle 1\neq 0}$ ${\displaystyle |1|_{*}=1}$ ${\displaystyle |-1|_{*}=1}$

Para todo número entero positivo n , la propiedad de multiplicatividad implica . Es decir, el valor absoluto de un número entero negativo coincide con el de su opuesto. ${\displaystyle |-n|_{*}=|-1|_{*}\times |n|_{*}=|n|_{*}}$

Sea n un número entero positivo. Del hecho de que y de la propiedad de la multiplicatividad, concluimos que . ${\displaystyle n^{-1}\times n=1}$ ${\displaystyle |n^{-1}|_{*}=|n|_{*}^{-1}}$

Sea ahora r un racional positivo. Existen dos enteros coprimos positivos p y q tales que . Las propiedades anteriores lo demuestran . En total, el valor absoluto de un racional positivo está enteramente determinado por el de su numerador y denominador. ${\displaystyle r=pq^{-1}}$ ${\displaystyle |r|_{*}=|p|_{*}|q^{-1}|_{*}=|p|_{*}|q|_{*}^{-1}}$

Finalmente, sea el conjunto de los números primos. Para todo entero positivo n , podemos escribir ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle n=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)},}$

¿Dónde está la valoración p-ádica de n ? La propiedad de multiplicatividad permite calcular el valor absoluto de n a partir del de los números primos utilizando la siguiente relación ${\displaystyle v_{p}(n)}$

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right|_{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} }|p|_{*}^{v_{p}(n)}.}$

Continuamos la prueba separando dos casos:

1. Existe un número entero positivo n tal que ; o ${\displaystyle |n|_{*}>1}$
2. Para todo número entero n , se tiene . ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

primer caso

Supongamos que existe un número entero positivo n tal que Sea k un número entero no negativo y b un número entero positivo mayor que . Expresamos en base b : existe un entero positivo m y enteros tales que para todo i , y . En particular, así . ${\displaystyle |n|_{*}>1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}<b}$ ${\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}$ ${\displaystyle n^{k}\geq b^{m-1}}$ ${\displaystyle m\leq 1+k\log _{b}n}$

Cada término es menor que . (Por la propiedad multiplicativa, , luego usando el hecho de que es un dígito, escríbalo por la desigualdad del triángulo, .) Además, es menor que . Por la desigualdad del triángulo y el límite anterior en m , se sigue: ${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}}$ ${\displaystyle (b-1)|b|_{*}^{i}}$ ${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle |c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1}$ ${\displaystyle |b|_{*}^{i}}$ ${\displaystyle \max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, elevando ambos lados a la potencia , obtenemos ${\displaystyle 1/k}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

Finalmente, tomando el límite cuando k tiende a infinito se muestra que

${\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

Junto con la condición a la que conduce el argumento anterior, independientemente de la elección de b (de lo contrario implica ). Como resultado, todos los números enteros mayores que uno tienen un valor absoluto estrictamente mayor que uno. Generalizando así lo anterior, para cualquier elección de números enteros n y b mayores o iguales a 2, obtenemos ${\displaystyle |n|_{*}>1,}$ ${\displaystyle |b|_{*}>1}$ ${\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$ ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},}$

es decir

${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.}$

Por simetría, esta desigualdad es una igualdad. En particular, para todos , , es decir . Debido a que la desigualdad del triángulo implica que para todos los enteros positivos n tenemos , en este caso obtenemos más precisamente eso . ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda }$ ${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$ ${\displaystyle |n|_{*}\leq n}$ ${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$

Según el resultado anterior sobre la determinación de un valor absoluto por sus valores en los números primos, vemos fácilmente que para todo r racional , demostrando así equivalencia con el valor absoluto real. ${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }}$

Segundo caso

Supongamos que para todo número entero n , se tiene . Como nuestro valor absoluto no es trivial, debe existir un número entero positivo n para el cual la descomposición en números primos muestra que existe tal que . Afirmamos que, de hecho, esto es así sólo para un número primo. ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$ ${\displaystyle |n|_{*}<1.}$ ${\displaystyle |n|_{*}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle |p|_{*}<1}$

Supongamos por contra que p y q son dos primos distintos con valor absoluto estrictamente menor que 1. Sea k un número entero positivo tal que y sean menores que . Por la identidad de Bezout , dado que y son coprimos , existen dos números enteros a y b tales que Esto produce una contradicción, como ${\displaystyle |p|_{*}^{k}}$ ${\displaystyle |q|_{*}^{k}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle q^{k}}$ ${\displaystyle ap^{k}+bq^{k}=1.}$

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.}$

Esto significa que existe un único primo p tal que y que para todos los demás primos q se tiene (a partir de la hipótesis de este segundo caso). Dejar . De , inferimos que . (Y de hecho, en este caso, todos los positivos dan valores absolutos equivalentes al p-ádico). ${\displaystyle |p|_{*}<1}$ ${\displaystyle |q|_{*}=1}$ ${\displaystyle \lambda =-\log _{p}|p|_{*}}$ ${\displaystyle |p|_{*}<1}$ ${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$ ${\displaystyle \lambda }$

Finalmente verificamos eso y eso para todos los demás primos q ,. Según el resultado anterior sobre la determinación de un valor absoluto por sus valores en los números primos, concluimos que para todo r racional , lo que implica que este valor absoluto es equivalente al p -ádico. ${\displaystyle |p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}}$ ${\displaystyle |q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}}$ ${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Otro teorema de Ostrowski

Otro teorema establece que cualquier cuerpo, completo con respecto a un valor absoluto de Arquímedes , es (algebraica y topológicamente) isomorfo a los números reales o a los números complejos . A veces esto también se conoce como teorema de Ostrowski. ^[3]

Ver también

• Valoración (álgebra)

Referencias

1. Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta. Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.ISBN​ 978-0-387-96017-3. Consultado el 24 de agosto de 2012 . Teorema 1 (Ostrowski). Cada norma no trivial ‖ ‖ en es equivalente a | | _p para algún primo p o para p = ∞ . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 
2. Schikhof (2007) Teorema 9.2 y ejercicio 9.B
3. Cassels (1986) pág. 33

• Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Janusz, Gerald J. (1996). Campos de números algebraicos (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Álgebra básica II (2ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Schikhof, WH (2007). Cálculo ultramétrico (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-03287-2.
• Ostrowski, Alejandro (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)". Acta Matemática . 41 (1) (2ª ed.): 271–284. doi : 10.1007/BF02422947 . ISSN  0001-5962.