En matemáticas , un módulo de Galois es un G -módulo , donde G es el grupo de Galois de alguna extensión de cuerpos . El término representación de Galois se utiliza con frecuencia cuando el G -módulo es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de la representación , pero también puede utilizarse como sinónimo de G -módulo. El estudio de los módulos de Galois para extensiones de cuerpos locales o globales y su cohomología de grupos es una herramienta importante en la teoría de números .
Sea K un cuerpo valuado (con valuación denotada por v ) y sea L / K una extensión finita de Galois con grupo de Galois G. Para una extensión w de v a L , sea Iw su grupo de inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ: G → Aut( V ) no está ramificado si ρ( Iw ) = {1}.
En la teoría clásica de números algebraicos , sea L una extensión de Galois de un cuerpo K y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces el anillo O L de números enteros algebraicos de L puede considerarse como un O K [ G ]-módulo, y uno puede preguntarse cuál es su estructura. Esta es una cuestión aritmética, en la que por el teorema de la base normal uno sabe que L es un K [ G ]-módulo libre de rango 1. Si lo mismo es cierto para los números enteros, eso es equivalente a la existencia de una base integral normal , es decir, de α en O L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O L sobre O K . Esta es una pregunta interesante incluso (quizás especialmente) cuando K es el cuerpo de números racionales Q .
Por ejemplo, si L = Q ( √ −3 ), ¿existe una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarla con Q ( ζ ) donde
De hecho, todos los subcuerpos de los cuerpos ciclotómicos para las raíces p -ésimas de la unidad para p un número primo tienen bases integrales normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los periodos gaussianos (el teorema de Hilbert-Speiser ). Por otra parte, el cuerpo gaussiano no las tiene. Este es un ejemplo de una condición necesaria encontrada por Emmy Noether ( ¿quizás conocida antes? ). Lo que importa aquí es la ramificación domesticada . En términos del discriminante D de L , y tomando todavía K = Q , ningún primo p debe dividir a D elevado a p . Entonces el teorema de Noether establece que la ramificación domesticada es necesaria y suficiente para que O L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Por lo tanto, es ciertamente necesario que sea un módulo libre . Deja la cuestión de la brecha entre libre y proyectivo, para la cual ahora se ha construido una gran teoría.
Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un campo numérico abeliano ramificado de forma sencilla tiene una base integral normal. Esto se puede comprobar utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incorporar el campo abeliano en un campo ciclotómico. [1]
Muchos objetos que surgen en la teoría de números son naturalmente representaciones de Galois. Por ejemplo, si L es una extensión de Galois de un cuerpo de números K , el anillo de enteros O L de L es un módulo de Galois sobre O K para el grupo de Galois de L / K (véase el teorema de Hilbert-Speiser). Si K es un cuerpo local, el grupo multiplicativo de su clausura separable es un módulo para el grupo de Galois absoluto de K y su estudio conduce a la teoría de cuerpos de clase local . Para la teoría de cuerpos de clase global , se utiliza en su lugar la unión de los grupos de clases ideales de todas las extensiones separables finitas de K.
También existen representaciones de Galois que surgen de objetos auxiliares y que pueden utilizarse para estudiar grupos de Galois. Una familia importante de ejemplos son los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas .
Sea K un cuerpo de números. Emil Artin introdujo una clase de representaciones de Galois del grupo de Galois absoluto G K de K , ahora llamadas representaciones de Artin . Estas son las representaciones lineales finito-dimensionales continuas de G K en espacios vectoriales complejos . El estudio de Artin de estas representaciones lo llevó a formular la ley de reciprocidad de Artin y a conjeturar lo que ahora se llama la conjetura de Artin sobre la holomorfía de las L -funciones de Artin .
Debido a la incompatibilidad de la topología profinita en G K y la topología (euclidiana) habitual en espacios vectoriales complejos, la imagen de una representación de Artin es siempre finita.
Sea ℓ un número primo . Una representación ℓ-ádica de G K es un homomorfismo de grupo continuo ρ : G K → Aut( M ) donde M es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q ℓ (la clausura algebraica de los números ℓ-ádicos Q ℓ ) o un Z ℓ -módulo finitamente generado (donde Z ℓ es la clausura integral de Z ℓ en Q ℓ ). Los primeros ejemplos que surgieron fueron el carácter ciclotómico ℓ-ádico y los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas sobre K . Otros ejemplos provienen de las representaciones de Galois de formas modulares y formas automórficas, y las representaciones de Galois sobre grupos de cohomología ℓ-ádicos de variedades algebraicas.
A diferencia de las representaciones de Artin, las representaciones ℓ-ádicas pueden tener una imagen infinita. Por ejemplo, la imagen de G Q bajo el carácter ciclotómico ℓ-ádico es . Las representaciones ℓ-ádicas con imagen finita se denominan a menudo representaciones de Artin. A través de un isomorfismo de Q ℓ con C se pueden identificar con representaciones de Artin auténticas .
Se trata de representaciones sobre un cuerpo finito de característica ℓ. Suelen surgir como la reducción módulo ℓ de una representación ℓ-ádica.
Existen numerosas condiciones para las representaciones dadas por alguna propiedad de la representación restringida a un grupo de descomposición de algún primo. La terminología para estas condiciones es algo caótica, ya que diferentes autores inventan nombres diferentes para la misma condición y usan el mismo nombre con diferentes significados. Algunas de estas condiciones incluyen:
Si K es un cuerpo local o global, la teoría de formaciones de clases atribuye a K su grupo de Weil W K , un homomorfismo de grupo continuo φ : W K → G K , y un isomorfismo de grupos topológicos
donde C K es K × o el grupo de clases ideal I K / K × (dependiendo de si K es local o global) y W desde
K es la abelianización del grupo de Weil de K . A través de φ, cualquier representación de G K puede considerarse como una representación de W K . Sin embargo, W K puede tener estrictamente más representaciones que G K . Por ejemplo, a través de r K los caracteres complejos continuos de W K están en biyección con los de C K . Por lo tanto, el carácter de valor absoluto en C K produce un carácter de W K cuya imagen es infinita y, por lo tanto, no es un carácter de G K (ya que todos ellos tienen imagen finita).
Una representación ℓ-ádica de W K se define de la misma manera que para G K . Estas surgen naturalmente de la geometría: si X es una variedad proyectiva suave sobre K , entonces la cohomología ℓ-ádica de la fibra geométrica de X es una representación ℓ-ádica de G K que, a través de φ, induce una representación ℓ-ádica de W K . Si K es un cuerpo local de característica de residuo p ≠ ℓ, entonces es más simple estudiar las llamadas representaciones de Weil–Deligne de W K .
Sea K un cuerpo local. Sea E un cuerpo de característica cero. Una representación de Weil–Deligne sobre E de W K (o simplemente de K ) es un par ( r , N ) que consta de
Estas representaciones son las mismas que las representaciones sobre E del grupo Weil–Deligne de K.
Si la característica residual de K es diferente de ℓ, el teorema de monodromía ℓ-ádica de Grothendieck establece una biyección entre representaciones ℓ-ádicas de W K (sobre Q ℓ ) y representaciones de Weil–Deligne de W K sobre Q ℓ (o equivalentemente sobre C ). Estas últimas tienen la característica agradable de que la continuidad de r es solo con respecto a la topología discreta en V , lo que hace que la situación tenga un sabor más algebraico.
