En matemáticas, una formación de clases es un grupo topológico que actúa sobre un módulo que satisface ciertas condiciones. Las formaciones de clases fueron introducidas por Emil Artin y John Tate para organizar los diversos grupos y módulos de Galois que aparecen en la teoría de cuerpos de clases .
Una formación es un grupo topológico G junto con un módulo G topológico A sobre el que G actúa de forma continua.
Una capa E / F de una formación es un par de subgrupos abiertos E , F de G tales que F es un subgrupo de índice finito de E . Se denomina capa normal si F es un subgrupo normal de E , y capa cíclica si además el grupo cociente es cíclico. Si E es un subgrupo de G , entonces A E se define como los elementos de A fijados por E . Escribimos
para el grupo de cohomología de Tate H n ( E / F , A F ) siempre que E / F sea una capa normal. (Algunos autores piensan en E y F como campos fijos en lugar de subgrupos de G , así que escriben F / E en lugar de E / F .) En aplicaciones, G es a menudo el grupo de Galois absoluto de un campo, y en particular es profinito , y los subgrupos abiertos corresponden por lo tanto a las extensiones finitas del campo contenido en algún cierre separable fijo.
Una formación de clase es una formación tal que para cada capa normal E / F
En la práctica, estos grupos cíclicos vienen provistos de generadores canónicos u E / F ∈ H 2 ( E / F ), llamados clases fundamentales , que son compatibles entre sí en el sentido de que la restricción (de clases de cohomología) de una clase fundamental es otra clase fundamental. A menudo se considera que las clases fundamentales forman parte de la estructura de una formación de clases.
Una formación que satisface únicamente la condición H 1 ( E / F )=1 se denomina a veces formación de campo . Por ejemplo, si G es cualquier grupo finito que actúa sobre un campo L y A=L × , entonces se trata de una formación de campo según el teorema de Hilbert 90 .
Los ejemplos más importantes de formaciones de clases (ordenados aproximadamente en orden de dificultad) son los siguientes:
Es fácil verificar la propiedad de formación de clases para el caso de cuerpos finitos y el caso de cuerpos locales de Arquímedes, pero los casos restantes son más difíciles. La mayor parte del trabajo duro de la teoría de cuerpos de clases consiste en demostrar que se trata de formaciones de clases. Esto se hace en varios pasos, como se describe en las secciones siguientes.
La primera desigualdad de la teoría de campos de clases establece que
para capas cíclicas E / F . Generalmente se demuestra utilizando propiedades del cociente de Herbrand , en la forma más precisa
Es bastante sencillo de demostrar, porque el cociente de Herbrand es fácil de calcular, ya que es multiplicativo en secuencias exactas cortas y es 1 para módulos finitos.
Antes de aproximadamente 1950, la primera desigualdad se conocía como segunda desigualdad, y viceversa.
La segunda desigualdad de la teoría de campos de clases establece que
para todas las capas normales E / F.
Para los campos locales, esta desigualdad se deduce fácilmente del teorema 90 de Hilbert junto con la primera desigualdad y algunas propiedades básicas de la cohomología de grupos.
La segunda desigualdad fue demostrada por primera vez para cuerpos globales por Weber usando propiedades de la serie L de cuerpos numéricos, como sigue. Supóngase que la capa E / F corresponde a una extensión k ⊂ K de cuerpos globales. Al estudiar la función zeta de Dedekind de K se muestra que los primos de grado 1 de K tienen densidad de Dirichlet dada por el orden del polo en s = 1, que es 1 (Cuando K son los racionales, esta es esencialmente la prueba de Euler de que hay infinitos primos usando el polo en s = 1 de la función zeta de Riemann .) Como cada primo en k que es una norma es el producto de deg( K / k )= | E / F | primos distintos de grado 1 de K , esto muestra que el conjunto de primos de k que son normas tiene densidad 1/| E / F |. Por otra parte, estudiando la serie L de Dirichlet de caracteres del grupo H 0 ( E / F ), se muestra que la densidad de Dirichlet de primos de k que representan el elemento trivial de este grupo tiene densidad 1/| H 0 ( E / F )|. (Esta parte de la prueba es una generalización de la prueba de Dirichlet de que hay infinitos primos en progresiones aritméticas.) Pero un primo representa un elemento trivial del grupo H 0 ( E / F ) si es igual a una norma módulo ideales principales, por lo que este conjunto es al menos tan denso como el conjunto de primos que son normas. Por lo tanto
cual es la segunda desigualdad.
En 1940, Chevalley encontró una prueba puramente algebraica de la segunda desigualdad, pero es más larga y más difícil que la prueba original de Weber. Antes de 1950, aproximadamente, la segunda desigualdad se conocía como la primera desigualdad; el nombre se cambió porque la prueba algebraica de Chevalley utiliza la primera desigualdad.
Takagi definió un cuerpo de clase como aquel en el que se cumple la igualdad en la segunda desigualdad. Por el isomorfismo de Artin que se muestra a continuación, H 0 ( E / F ) es isomorfo a la abelianización de E / F , por lo que la igualdad en la segunda desigualdad se cumple exactamente para las extensiones abelianas, y los cuerpos de clase son lo mismo que las extensiones abelianas.
La primera y la segunda desigualdad se pueden combinar de la siguiente manera. Para capas cíclicas, las dos desigualdades juntas demuestran que
entonces
y
Ahora, un teorema básico sobre grupos de cohomología muestra que, dado que H 1 ( E / F ) = 1 para todas las capas cíclicas, tenemos
para todas las capas normales (por lo que en particular la formación es una formación de campo). Esta prueba de que H 1 ( E / F ) es siempre trivial es bastante indirecta; no se conoce ninguna prueba "directa" de ello (lo que sea que esto signifique) para campos globales. (Para campos locales, la desaparición de H 1 ( E / F ) es simplemente el teorema 90 de Hilbert.)
Para el grupo cíclico, H 0 es igual a H 2 , por lo que H 2 ( E / F ) = | E / F | para todas las capas cíclicas. Otro teorema de cohomología de grupos muestra que, dado que H 1 ( E / F ) = 1 para todas las capas normales y H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | para todas las capas cíclicas, tenemos
para todas las capas normales. (De hecho, la igualdad se cumple para todas las capas normales, pero esto requiere más trabajo; consulte la siguiente sección).
Los grupos de Brauer H 2 ( E /*) de una formación de clases se definen como el límite directo de los grupos H 2 ( E / F ) ya que F recorre todos los subgrupos abiertos de E . Una consecuencia fácil de la desaparición de H 1 para todas las capas es que los grupos H 2 ( E / F ) son todos subgrupos del grupo de Brauer. En la teoría de cuerpos de clases locales, los grupos de Brauer son los mismos que los grupos de Brauer de cuerpos, pero en la teoría de cuerpos de clases globales, el grupo de Brauer de la formación no es el grupo de Brauer del cuerpo global correspondiente (aunque están relacionados).
El siguiente paso es demostrar que H 2 ( E / F ) es cíclico de orden exactamente | E / F |; la sección anterior muestra que tiene como máximo este orden, por lo que es suficiente encontrar algún elemento de orden | E / F | en H 2 ( E / F ).
La demostración para extensiones arbitrarias utiliza un homomorfismo del grupo G sobre la completitud profinita de los enteros con núcleo G ∞ , o en otras palabras una secuencia compatible de homomorfismos de G sobre los grupos cíclicos de orden n para todo n , con núcleos G n . Estos homomorfismos se construyen utilizando extensiones ciclotómicas cíclicas de cuerpos; para cuerpos finitos están dadas por la clausura algebraica, para cuerpos locales no arquimedianos están dadas por las extensiones no ramificadas maximales, y para cuerpos globales son ligeramente más complicadas. Como estas extensiones se dan explícitamente se puede comprobar que tienen la propiedad de que H 2 ( G / G n ) es cíclico de orden n , con un generador canónico. De esto se sigue que para cualquier capa E , el grupo H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) es canónicamente isomorfo a Q / Z . Esta idea de utilizar raíces de unidad fue introducida por Chebotarev en su prueba del teorema de densidad de Chebotarev , y utilizada poco después por Artin para demostrar su teorema de reciprocidad.
Para las capas generales E , F hay una secuencia exacta
Los dos últimos grupos de esta secuencia pueden identificarse con Q / Z y la función entre ellos es entonces la multiplicación por | E / F |. Por lo tanto, el primer grupo es canónicamente isomorfo a Z / nZ . Como H2 ( E / F ) tiene orden como máximo Z / nZ , debe ser igual a Z / nZ (y, en particular, está contenido en el grupo del medio).
Esto demuestra que el segundo grupo de cohomología H 2 ( E / F ) de cualquier capa es cíclico de orden | E / F |, lo que completa la verificación de los axiomas de una formación de clase. Con un poco más de cuidado en las demostraciones, obtenemos un generador canónico de H 2 ( E / F ), llamado clase fundamental .
De esto se deduce que el grupo de Brauer H 2 ( E /*) es (canónicamente) isomorfo al grupo Q / Z , excepto en el caso de los campos locales arquimedianos R y C cuando tiene orden 2 o 1.
El teorema de Tate en cohomología de grupos es el siguiente: supóngase que A es un módulo sobre un grupo finito G y a es un elemento de H 2 ( G , A ), tal que para cada subgrupo E de G
Entonces el producto de taza con a es un isomorfismo
Si aplicamos el caso n = −2 del teorema de Tate a una formación de clases, encontramos que hay un isomorfismo
para cualquier capa normal E / F . El grupo H −2 ( E / F , Z ) es simplemente la abelianización de E / F , y el grupo H 0 ( E / F , A F ) es A E módulo el grupo de normas de A F . En otras palabras, tenemos una descripción explícita de la abelianización del grupo de Galois E / F en términos de A E .
Tomando el inverso de este isomorfismo se obtiene un homomorfismo
y tomando el límite sobre todos los subgrupos abiertos F se obtiene un homomorfismo
llamada la función Artin . La función Artin no es necesariamente sobreyectiva, pero tiene una imagen densa. Por el teorema de existencia que se encuentra debajo, su núcleo es el componente conexo de A E (para la teoría de cuerpos de clase), que es trivial para la teoría de cuerpos de clase de cuerpos locales no arquimedianos y para cuerpos de funciones, pero no es trivial para cuerpos locales arquimedianos y cuerpos numéricos.
El principal teorema restante de la teoría de campos de clases es el teorema de existencia de Takagi , que establece que cada subgrupo cerrado de índice finito del grupo de clases ideal es el grupo de normas correspondiente a alguna extensión abeliana. La forma clásica de demostrar esto es construir algunas extensiones con pequeños grupos de normas, agregando primero muchas raíces de la unidad y luego tomando extensiones de Kummer y extensiones de Artin-Schreier . Estas extensiones pueden ser no abelianas (aunque son extensiones de grupos abelianos por grupos abelianos); sin embargo, esto realmente no importa, ya que el grupo normativo de una extensión de Galois no abeliana es el mismo que el de su extensión abeliana máxima (esto se puede demostrar usando lo que ya sabemos sobre los campos de clases). Esto da suficientes extensiones (abelianas) para mostrar que hay una extensión abeliana correspondiente a cualquier subgrupo de índice finito del grupo de clases ideal.
Una consecuencia es que el núcleo del mapa de Artin es el componente conexo de la identidad del grupo de clases ideal, de modo que la abelianización del grupo de Galois de F es la compleción profinita del grupo de clases ideal.
Para la teoría de campos de clases locales, también es posible construir extensiones abelianas de manera más explícita utilizando las leyes de grupos formales de Lubin-Tate . Para los campos globales, las extensiones abelianas se pueden construir explícitamente en algunos casos: por ejemplo, las extensiones abelianas de los racionales se pueden construir utilizando raíces de la unidad, y las extensiones abelianas de campos imaginarios cuadráticos se pueden construir utilizando funciones elípticas, pero encontrar un análogo de esto para campos globales arbitrarios es un problema sin resolver.
El grupo de Weil de una formación de clases con clases fundamentales u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F ) es un tipo de grupo de Galois modificado, introducido por Weil (1951) y utilizado en varias formulaciones de la teoría de campos de clases, y en particular en el programa Langlands .
Si E / F es una capa normal, entonces el grupo de Weil U de E / F es la extensión
correspondiente a la clase fundamental u E / F en H 2 ( E / F , A F ). El grupo de Weil de toda la formación se define como el límite inverso de los grupos de Weil de todas las capas G / F , para F un subgrupo abierto de G .
El mapa de reciprocidad de la formación de clases ( G , A ) induce un isomorfismo de A G a la abelianización del grupo de Weil.
