En la teoría de campos de clases , el teorema de existencia de Takagi establece que para cualquier campo de números K existe una correspondencia de inversión de inclusión biunívoca entre las extensiones abelianas finitas de K ( en un cierre algebraico fijo de K ) y los grupos de clases ideales generalizados definidos a través de un módulo de K.
Se llama teorema de existencia porque una de las principales tareas de la prueba es mostrar la existencia de suficientes extensiones abelianas de K.
Aquí, un módulo (o divisor de rayos ) es un producto finito formal de las valoraciones (también llamadas primos o lugares ) de K con exponentes enteros positivos. Las valoraciones arquimedianas que pueden aparecer en un módulo incluyen solo aquellas cuyas compleciones son los números reales (no los números complejos); pueden identificarse con ordenamientos en K y aparecen solo hasta el exponente uno.
El módulo m es un producto de una parte no arquimediana (finita) m f y una parte arquimediana (infinita) m ∞ . La parte no arquimediana m f es un ideal distinto de cero en el anillo de números enteros O K de K y la parte arquimediana m ∞ es simplemente un conjunto de incrustaciones reales de K . Asociados a dicho módulo m hay dos grupos de ideales fraccionarios . El más grande, I m , es el grupo de todos los ideales fraccionarios primos entre sí con m (lo que significa que estos ideales fraccionarios no implican ningún ideal primo que aparezca en m f ). El más pequeño, P m , es el grupo de ideales fraccionarios principales ( u / v ) donde u y v son elementos distintos de cero de O K que son primos con respecto a m f , u ≡ v mod m f y u / v > 0 en cada uno de los ordenamientos de m ∞ . (Aquí es importante que en P m , todo lo que requerimos es que algún generador del ideal tenga la forma indicada. Si uno la tiene, otros podrían no tenerla. Por ejemplo, tomando K como los números racionales, el ideal (3) se encuentra en P 4 porque (3) = (−3) y −3 se ajusta a las condiciones necesarias. Pero (3) no está en P 4∞ ya que aquí se requiere que el generador positivo del ideal sea 1 mod 4, lo cual no es así.) Para cualquier grupo H que se encuentre entre I m y P m , el cociente I m / H se llama grupo de clase ideal generalizado .
Son estos grupos de clases ideales generalizados los que corresponden a las extensiones abelianas de K por el teorema de existencia, y de hecho son los grupos de Galois de estas extensiones. Que los grupos de clases ideales generalizados son finitos se demuestra siguiendo la misma línea de la prueba de que el grupo de clases ideal usual es finito, mucho antes de saber que estos son grupos de Galois de extensiones abelianas finitas del cuerpo de números.
Estrictamente hablando, la correspondencia entre extensiones abelianas finitas de K y grupos de clases ideales generalizados no es exactamente biunívoca. Los grupos de clases ideales generalizados definidos en relación con diferentes módulos pueden dar lugar a la misma extensión abeliana de K , y esto se codifica a priori en una relación de equivalencia algo complicada en los grupos de clases ideales generalizados.
En términos concretos, para las extensiones abelianas L de los números racionales, esto corresponde al hecho de que una extensión abeliana de los racionales que se encuentra en un campo ciclotómico también se encuentra en infinitos otros campos ciclotómicos, y para cada uno de estos campos ciclotómicos se obtiene, mediante la teoría de Galois , un subgrupo del grupo de Galois correspondiente al mismo campo L.
En la formulación idélica de la teoría de campos de clases, se obtiene una correspondencia precisa uno a uno entre las extensiones abelianas y los grupos apropiados de ideales , donde los grupos de clases ideales generalizados equivalentes en el lenguaje teórico-ideal corresponden al mismo grupo de ideales.
Un caso especial del teorema de existencia es cuando m = 1 y H = P 1 . En este caso, el grupo de clases ideal generalizado es el grupo de clases ideal de K , y el teorema de existencia dice que existe una única extensión abeliana L / K con grupo de Galois isomorfo al grupo de clases ideal de K tal que L no está ramificado en todos los lugares de K . Esta extensión se llama cuerpo de clases de Hilbert . David Hilbert conjeturó su existencia, y la existencia en este caso especial fue demostrada por Philipp Furtwängler en 1907, antes del teorema de existencia general de Takagi.
Otra propiedad especial del cuerpo de clases de Hilbert, que no es cierta para extensiones abelianas más pequeñas de un cuerpo de números, es que todos los ideales en un cuerpo de números se vuelven principales en el cuerpo de clases de Hilbert. Fue necesario que Artin y Furtwängler demostraran que se produce la principalización.
El teorema de existencia se debe a Takagi , quien lo demostró en Japón durante los años aislados de la Primera Guerra Mundial . Lo presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1920, lo que condujo al desarrollo de la teoría clásica de la teoría de campos de clases durante la década de 1920. A petición de Hilbert, el artículo se publicó en Mathematische Annalen en 1925.