En matemáticas , la teoría de Artin-Schreier es una rama de la teoría de Galois , específicamente un análogo característico positivo de la teoría de Kummer , para extensiones de Galois de grado igual a la característica p . Artin y Schreier (1927) introdujeron la teoría de Artin-Schreier para extensiones de grado primo p , y Witt (1936) la generalizó a extensiones de grado de potencia primo p n .
Si K es un cuerpo de característica p , un número primo , cualquier polinomio de la forma
para en K , se llama polinomio de Artin–Schreier . Cuando para todo , este polinomio es irreducible en K [ X ], y su campo de desdoblamiento sobre K es una extensión cíclica de K de grado p . Esto se deduce ya que para cualquier raíz β , los números β + i , para , forman todas las raíces—por el pequeño teorema de Fermat —por lo que el campo de desdoblamiento es .
Por el contrario, cualquier extensión de Galois de K de grado p igual a la característica de K es el cuerpo de desdoblamiento de un polinomio de Artin-Schreier. Esto se puede demostrar utilizando contrapartes aditivas de los métodos involucrados en la teoría de Kummer , como el teorema 90 de Hilbert y la cohomología aditiva de Galois . Estas extensiones se denominan extensiones de Artin-Schreier .
Las extensiones de Artin-Schreier juegan un papel en la teoría de solubilidad por radicales , en la característica p , representando una de las posibles clases de extensiones en una cadena resoluble.
También desempeñan un papel en la teoría de variedades abelianas y sus isogenias . En la característica p , una isogenia de grado p de variedades abelianas debe, para sus campos de funciones, dar una extensión Artin–Schreier o una extensión puramente inseparable .
Existe un análogo de la teoría de Artin-Schreier que describe extensiones cíclicas en característica p de grado de potencia p (no solo el grado p en sí), utilizando vectores de Witt , desarrollados por Witt (1936).
