En matemáticas, la ley de grupos formales de Lubin-Tate es una ley de grupos formales introducida por Lubin y Tate (1965) para aislar la parte de cuerpo local de la teoría clásica de la multiplicación compleja de funciones elípticas . En particular, se puede utilizar para construir las extensiones abelianas totalmente ramificadas de un cuerpo local. Lo hace considerando los endomorfismos (formales) del grupo formal, emulando la forma en que se utilizan las curvas elípticas con endomorfismos adicionales para dar extensiones abelianas de cuerpos globales .
Sea Z p el anillo de números enteros p -ádicos. La ley de grupos formales de Lubin-Tate es la única ley de grupos formales (unidimensional) F tal que e ( x ) = px + x p es un endomorfismo de F , en otras palabras
De manera más general, la elección para e puede ser cualquier serie de potencias tal que
Todas estas leyes de grupo, para diferentes elecciones de e que satisfacen estas condiciones, son estrictamente isomorfas. [1] Elegimos estas condiciones de modo de asegurar que se reduzcan módulo el ideal máximo a Frobenius y la derivada en el origen sea el elemento primo .
Para cada elemento a en Z p existe un único endomorfismo f de la ley de grupos formales de Lubin-Tate tal que f ( x ) = ax + términos de grado superior. Esto da una acción del anillo Z p sobre la ley de grupos formales de Lubin-Tate.
Existe una construcción similar con Z p reemplazado por cualquier anillo de valoración discreto completo con un campo de clase de residuo finito , donde el exponente p se reemplaza por el orden del campo de residuo y el coeficiente p se reemplaza por una elección de uniformizador . [2]
Esbozamos aquí un grupo formal equivalente del elemento de Frobenius , que es de gran importancia en la teoría de campos de clases , [3] generando la extensión no ramificada máxima como la imagen del mapa de reciprocidad.
Para este ejemplo necesitamos la noción de endomorfismo de grupos formales, que es un homomorfismo de grupo formal f donde el dominio es el codominio. Un homomorfismo de grupo formal de un grupo formal F a un grupo formal G es una serie de potencias sobre el mismo anillo que los grupos formales que tiene un término constante cero y es tal que:
Consideremos un grupo formal F(X,Y) con coeficientes en el anillo de los enteros en un cuerpo local (por ejemplo Z p ). Tomando X e Y como en el ideal maximalista único nos da una serie de potencias convergentes y en este caso definimos F(X,Y) = X + F Y y tenemos una ley de grupo genuina. Por ejemplo, si F(X,Y)=X+Y , entonces esta es la adición usual. Esto es isomorfo al caso de F(X,Y)=X+Y+XY , donde tenemos la multiplicación en el conjunto de elementos que puede escribirse como 1 sumado a un elemento del ideal primo. En el último caso f(S) = ( 1 + S ) p -1 es un endomorfismo de F y el isomorfismo identifica f con el elemento de Frobenius.
La teoría de Lubin-Tate es importante en la teoría explícita de cuerpos de clases locales . La parte no ramificada de cualquier extensión abeliana se construye fácilmente; Lubin-Tate encuentra su valor en producir la parte ramificada. Esto funciona definiendo una familia de módulos (indexados por los números naturales) sobre el anillo de números enteros que consiste en lo que se puede considerar como raíces de la serie de potencias compuesta repetidamente consigo misma. El compuesto de todos los cuerpos formados mediante la unión de dichos módulos al cuerpo original da la parte ramificada.
Una extensión de Lubin–Tate de un cuerpo local K es una extensión abeliana de K obtenida al considerar los p puntos de división de un grupo de Lubin–Tate. Si g es un polinomio de Eisenstein , f ( t ) = t g ( t ) y F el grupo formal de Lubin–Tate, sea θ n una raíz de gf n -1 ( t )= g ( f ( f (⋯( f ( t ))⋯))). Entonces K (θ n ) es una extensión abeliana de K con grupo de Galois isomorfo a U /1+ p n donde U es el grupo unitario del anillo de enteros de K y p es el ideal maximal. [2]
Lubin y Tate estudiaron la teoría de la deformación de tales grupos formales. Una aplicación posterior de la teoría ha sido en el campo de la teoría de homotopía estable , con la construcción de una teoría de cohomología extraordinaria particular asociada a la construcción para un primo dado p . Como parte de la maquinaria general para grupos formales, se establece una teoría de cohomología con espectro para el grupo formal de Lubin-Tate, que también se conoce con los nombres de E-teoría de Morava o teoría completa de Johnson-Wilson . [4]
