En teoría de números , el teorema de la norma de Hasse establece que si L/K es una extensión cíclica de cuerpos de números , entonces si un elemento distinto de cero de K es una norma local en todas partes, entonces es una norma global. Aquí, ser una norma global significa ser un elemento k de K tal que hay un elemento l de L con ; en otras palabras, k es una norma relativa de algún elemento del cuerpo de extensión L. Ser una norma local significa que para algún primo p de K y algún primo P de L que se encuentre sobre K, entonces k es una norma de L P ; aquí el "primo" p puede ser una valuación arquimediana, y el teorema es una declaración sobre las completitudes en todas las valuaciones, arquimedianas y no arquimedianas.
El teorema ya no es cierto en general si la extensión es abeliana pero no cíclica. Hasse dio el contraejemplo de que 3 es una norma local en todas partes para la extensión pero no es una norma global. Serre y Tate demostraron que otro contraejemplo lo da el campo donde todo cuadrado racional es una norma local en todas partes pero no es una norma global.
Este es un ejemplo de un teorema que enuncia un principio local-global .
El teorema completo se debe a Hasse (1931). El caso especial en el que el grado n de la extensión es 2 fue demostrado por Hilbert (1897), y el caso especial en el que n es primo fue demostrado por Furtwangler en 1902. [ cita requerida ]
El teorema de la norma de Hasse se puede deducir del teorema de que un elemento del grupo de cohomología de Galois H 2 ( L / K ) es trivial si es trivial localmente en todas partes, lo que a su vez es equivalente al teorema profundo de que la primera cohomología del grupo de clases ideal se desvanece. Esto es cierto para todas las extensiones finitas de Galois de cuerpos de números, no solo las cíclicas. Para las extensiones cíclicas, el grupo H 2 ( L / K ) es isomorfo al grupo de cohomología de Tate H 0 ( L / K ) que describe qué elementos son normas, por lo que para las extensiones cíclicas se convierte en el teorema de Hasse de que un elemento es una norma si es una norma local en todas partes.
