Morfismo de Étale

En geometría algebraica , un morfismo étale ( en francés: [etal] ) es un morfismo de esquemas que es formalmente étale y localmente de presentación finita. Este es un análogo algebraico de la noción de isomorfismo local en la topología analítica compleja. Satisfacen las hipótesis del teorema de la función implícita , pero debido a que los conjuntos abiertos en la topología de Zariski son tan grandes, no son necesariamente isomorfismos locales. A pesar de esto, los mapas étale conservan muchas de las propiedades de los isomorfismos analíticos locales y son útiles para definir el grupo fundamental algebraico y la topología étale .

La palabra étale es un adjetivo francés que significa "flojo", como en "marea baja" o, en sentido figurado, calma, inmóvil, algo que se deja asentar. ^[1]

Definición

Sea un homomorfismo de anillo . Esto forma un -álgebra. Elija un polinomio mónico en y un polinomio en tal que la derivada de sea una unidad en . Decimos que es étale estándar si y puede elegirse de modo que sea isomorfo como un -álgebra a y sea la función canónica. ${\displaystyle \phi :R\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$ ${\displaystyle \phi }$

Sea un morfismo de esquemas . Decimos que es étale si y sólo si tiene alguna de las siguientes propiedades equivalentes: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle f}$es plano y no ramificado . ^[2]
2. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave y no ramificado. ^[2]
3. ${\displaystyle f}$es plana, localmente de presentación finita , y para cada en , la fibra es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es el espectro de una extensión de campo separable finita del campo de residuos . ^[2] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$
4. ${\displaystyle f}$es plana, localmente de presentación finita, y para cada en y cada clausura algebraica del cuerpo de residuos , la fibra geométrica es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es isomorfo a . ^[2] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'}$ ${\displaystyle {\mbox{Spec }}k'}$
5. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave de dimensión relativa cero. ^[3]
6. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave y un morfismo localmente cuasi-finito . ^[4]
7. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es localmente un morfismo étale estándar, es decir,

   Para cada uno en , sea . Entonces existe un entorno afín abierto de y un entorno afín abierto de tal que está contenido en y tal que el homomorfismo de anillo inducido por es étale estándar. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R\rightarrow S}$ ${\displaystyle f}$

8. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es formalmente étale . ^[2]
9. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es formalmente étale para mapas de anillos locales, es decir:

   Sea un anillo local y un ideal de tal que . Conjunto y , y sea la inmersión cerrada canónica. Sea el punto cerrado de . Sean y morfismos tales que . Entonces existe un -morfismo único tal que . ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J}$ ${\displaystyle i\colon Z_{0}\rightarrow Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X}$ ${\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g\colon Z\rightarrow X}$ ${\displaystyle gi=g_{0}}$

Supóngase que es localmente noetheriano y f es localmente de tipo finito. Para en , sean y sean la función inducida en anillos locales completados . Entonces, las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$

1. ${\displaystyle f}$es étale
2. Para cada en , el mapa inducido en anillos locales completados es formalmente étale para la topología ádica. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$
3. Para cada en , es un módulo libre y la fibra es un campo que es una extensión de campo separable finito del campo de residuos . ^[7] (Aquí está el ideal máximo de ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle m_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$
4. ${\displaystyle f}$es formalmente étale para aplicaciones de anillos locales con las siguientes propiedades adicionales. El anillo local puede suponerse artiniano. Si es el ideal máximo de , entonces puede suponerse que satisface . Finalmente, puede suponerse que el morfismo en los cuerpos de residuos es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle mJ=0}$ ${\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m}$

Si además todos los mapas en cuerpos de residuos son isomorfismos, o si está cerrado separablemente, entonces es étale si y sólo si para cada en , el mapa inducido en anillos locales completados es un isomorfismo. ^[7] ${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Toda inmersión abierta es étale porque es localmente un isomorfismo.

Los espacios de recubrimiento forman ejemplos de morfismos de étale. Por ejemplo, si es un entero invertible en el anillo entonces ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

es un morfismo de grado étale. ${\displaystyle d}$

Cualquier cubierta ramificada tiene un locus no ramificado ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

que es étale.

Morfismos

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

Las extensiones de campo separables inducidas por finitos son étale — forman espacios de cobertura aritmética con un grupo de transformaciones de cubierta dadas por . ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$

Cualquier homomorfismo de anillo de la forma , donde todos los son polinomios, y donde el determinante jacobiano es una unidad en , es étale. Por ejemplo, el morfismo es étale y corresponde a un espacio de grado que cubre con el grupo de transformaciones de barajas. ${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Ampliando el ejemplo anterior, supongamos que tenemos un morfismo de variedades algebraicas complejas suaves. Como está dado por ecuaciones, podemos interpretarlo como una función de variedades complejas. Siempre que el jacobiano de sea distinto de cero, es un isomorfismo local de variedades complejas por el teorema de la función implícita . Por el ejemplo anterior, tener un jacobiano distinto de cero es lo mismo que ser étale. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Sea un morfismo dominante de tipo finito con X , Y localmente noetheriano, irreducible e Y normal. Si f no está ramificado , entonces es étale. ^[9] ${\displaystyle f:X\to Y}$

Para un cuerpo K , cualquier K -álgebra A es necesariamente plana. Por lo tanto, A es un álgebra étale si y solo si no está ramificada, lo que también es equivalente a

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

donde es la clausura separable del cuerpo K y el lado derecho es una suma directa finita, cuyos sumandos son todos . Esta caracterización de las K -álgebras étale es un paso adelante en la reinterpretación de la teoría clásica de Galois (véase la teoría de Galois de Grothendieck ). ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle {\bar {K}}}$

Propiedades

• Los morfismos de Étale se conservan bajo composición y cambio de base.
• Los morfismos étale son locales en la fuente y en la base. En otras palabras, es étale si y solo si para cada recubrimiento de por subesquemas abiertos la restricción de a cada uno de los subesquemas abiertos del recubrimiento es étale, y también si y solo si para cada recubrimiento de por subesquemas abiertos los morfismos inducidos son étale para cada subesquema del recubrimiento. En particular, es posible probar la propiedad de ser étale sobre afines abiertos . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$
• El producto de una familia finita de morfismos étale es étale.
• Dada una familia finita de morfismos , la unión disjunta es étale si y sólo si cada uno es étale. ${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$ ${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$
• Sea y , y supongamos que no está ramificado y es étale. Entonces es étale. En particular, si y son étale sobre , entonces cualquier -morfismo entre y es étale. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$
• Los morfismos étale cuasi compactos son cuasi finitos .
• Un morfismo es una inmersión abierta si y sólo si es étale y radicial . ^[10] ${\displaystyle f:X\to Y}$
• Si es étale y sobreyectiva, entonces (finito o de otro tipo). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$

Teorema de la función inversa

Morfismos de Étale

f : X  →  Y

son la contraparte algebraica de los difeomorfismos locales . Más precisamente, un morfismo entre variedades suaves es étale en un punto si y solo si la diferencial entre los espacios tangentes correspondientes es un isomorfismo. Esta es a su vez precisamente la condición necesaria para asegurar que una función entre variedades es un difeomorfismo local, es decir, para cualquier punto y ∈ Y , existe un entorno abierto U de x tal que la restricción de f a U es un difeomorfismo. Esta conclusión no se cumple en geometría algebraica, porque la topología es demasiado burda. Por ejemplo, considere la proyección f de la parábola

y  =  x ²

al eje y . Este morfismo es étale en todos los puntos excepto en el origen (0, 0), porque la diferencial está dada por 2 x , que no se anula en estos puntos.

Sin embargo, no hay una inversa ( Zariski- )local de f , simplemente porque la raíz cuadrada no es una función algebraica , al no estar dada por polinomios. Sin embargo, hay un remedio para esta situación, usando la topología étale. El enunciado preciso es el siguiente: si es étale y finito, entonces para cualquier punto y que se encuentre en Y , hay un morfismo étale V → Y que contiene a y en su imagen ( V puede considerarse como un vecindario abierto étale de y ), tal que cuando cambiamos f por V , entonces (el primer miembro sería la preimagen de V por f si V fuera un vecindario abierto de Zariski) es una unión disjunta finita de subconjuntos abiertos isomorfos a V . En otras palabras, étale-localmente en Y , el morfismo f es una cobertura topológica finita. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$

Para un morfismo suave de dimensión relativa n , étale-localmente en X y en Y , f es una inmersión abierta en un espacio afín . Esta es la versión análoga étale del teorema de estructura sobre inmersiones . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$

Véase también

• Pureza (geometría algebraica)

Referencias

1. fr: Trésor de la langue française informatisé , artículo "étale"
2. EGA IV ₄ , Corolaire 17.6.2.
3. EGA IV ₄ , Corolario 17.10.2.
4. EGA IV ₄ , Corolaire 17.6.2 y Corolaire 17.10.2.
5. Milne, cohomología de Étale , teorema 3.14.
6. EGA IV ₄ , Corolario 17.14.1.
7. EGA IV ₄ , Proposición 17.6.3
8. EGA IV ₄ , Proposición 17.14.2
9. SGA1, Exposición I, 9.11
10. EGA IV ₄ , Teorema 17.9.1.

Bibliografía

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259, doi :10.1007/bf02684747, S2CID  118147570
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5–259 , doi :10.1007/bf02684747, S2CID  118147570
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–333 , doi :10.1007/BF02732123, S2CID  189794756
• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France, xviii+327, arXiv : matemáticas.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• JS Milne (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
• JS Milne (2008). Lecciones sobre cohomología étale