En el campo matemático de la geometría algebraica , la pureza es un tema que abarca una serie de resultados y conjeturas, que en conjunto abordan la cuestión de demostrar que "cuando algo sucede, sucede en una codimensión particular ".
Por ejemplo, la ramificación es un fenómeno de codimensión 1 (en la geometría de variedades complejas , lo que refleja, como para superficies de Riemann que se ramifican en puntos únicos, lo que ocurre en la codimensión real dos). Un resultado clásico, la pureza de Zariski–Nagata de Masayoshi Nagata y Oscar Zariski , [1] [2] llamada también pureza del lugar de ramificación , demuestra que en una variedad algebraica no singular un lugar de ramificación , es decir, el conjunto de puntos en los que se ramifica un morfismo, debe estar formado puramente por subvariedades de codimensión 1 (un divisor de Weil ). Ha habido numerosas extensiones de este resultado en teoremas de álgebra conmutativa y teoría de esquemas , estableciendo la pureza del lugar de ramificación en el sentido de descripción de las restricciones sobre los posibles "subconjuntos abiertos de fallo" para ser un morfismo étale .
También existe una noción homológica de pureza relacionada, a saber, una colección de resultados que establecen que los grupos de cohomología de una teoría particular son triviales con la posible excepción de un índice i . Dichos resultados fueron establecidos en la cohomología étale por Michael Artin (incluido en SGA 4 ), y fueron fundamentales para establecer la teoría para contener análogos esperados de resultados de la cohomología singular . Una declaración general de Alexander Grothendieck conocida como la conjetura de pureza cohomológica absoluta fue demostrada por Ofer Gabber. [3] Se trata de una inmersión cerrada de esquemas (regulares, noetherianos) que es puramente de codimensión d , y la cohomología local relativa en la teoría étale. Con coeficientes mod n donde n es invertible, la cohomología debería ocurrir solo con el índice 2 d (y tomar un valor predicho). [4]