Morfismo cuasi-finito

Tipos de merfismo en geometría algebraica

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , un morfismo f  : X → Y de esquemas es cuasi-finito si es de tipo finito y satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1]

• Cada punto x de X está aislado en su fibra f ⁻¹ ( f ( x )). En otras palabras, cada fibra es un conjunto discreto (y por tanto finito).
• Para cada punto x de X , el esquema f ⁻¹ ( f ( x )) = X × _Y Spec κ( f ( x )) es un esquema κ( f ( x )) finito . (Aquí κ( p ) es el campo de residuos en un punto p .)
• Para cada punto x de X , se genera finitamente sobre . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\otimes \kappa (f(x))}$ ${\displaystyle \kappa (f(x))}$

Los morfismos cuasi-finitos fueron definidos originalmente por Alexander Grothendieck en SGA 1 y no incluían la hipótesis del tipo finito. Esta hipótesis fue añadida a la definición en EGA II 6.2 porque permite dar una caracterización algebraica de la cuasi-finitud en términos de tallos .

Para un morfismo general f  : X → Y y un punto x en X , se dice que f es cuasi-finito en x si existen vecindades afines abiertas U de x y V de f ( x ) tales que f ( U ) está contenido en V y tales que la restricción f  : U → V es cuasi-finita. f es localmente cuasi-finito si es cuasi-finito en cada punto en X . ^[2] Un morfismo localmente cuasi-finito cuasi-compacto es cuasi-finito.

Propiedades

Para un morfismo f , las siguientes propiedades son verdaderas. ^[3]

• Si f es cuasi-finito, entonces la función inducida f _roja entre esquemas reducidos es cuasi-finita.
• Si f es una inmersión cerrada, entonces f es cuasi-finito.
• Si X es noetheriano y f es una inmersión, entonces f es cuasi-finito.
• Si g : Y → Z , y si g ∘ f es cuasi-finito, entonces f es cuasi-finito si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
  1. g está separada,
  2. X es noetheriano,
  3. X × _Z Y es localmente noetheriano.

La cuasi-finitez se conserva mediante el cambio de base. El producto compuesto y de fibra de morfismos cuasi-finitos es cuasi-finito. ^[3]

Si f no está ramificada en un punto x , entonces f es cuasi-finita en x . Por el contrario, si f es cuasi-finita en x , y si además , el anillo local de x en la fibra f ⁻¹ ( f ( x )), es un cuerpo y una extensión finita separable de κ( f ( x )), entonces f no está ramificada en x . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)),x}}$

Los morfismos finitos son cuasi-finitos. ^{[5] Un} morfismo propio cuasi-finito localmente de presentación finita es finito. ^[6] De hecho, un morfismo es finito si y solo si es propio y localmente cuasi-finito. ^[7] Dado que los morfismos propios son de tipo finito y los morfismos de tipo finito son cuasi-compactos ^[8] uno puede omitir la calificación localmente , es decir, un morfismo es finito si y solo si es propio y cuasi-finito.

Una forma generalizada del Teorema Principal de Zariski es la siguiente: ^[9] Supóngase que Y es cuasi-compacto y cuasi-separado. Sea f cuasi-finito, separado y de presentación finita. Entonces f se factoriza como donde el primer morfismo es una inmersión abierta y el segundo es finito. ( X es abierto en un esquema finito sobre Y ). ${\displaystyle X\hookrightarrow X'\to Y}$

Véase también

• El esquema del grupo fundamental cuasi-finito

Notas

1. EGA II, Definición 6.2.3
2. EGA III, Err _III , 20.
3. EGA II, Proposición 6.2.4.
4. EGA IV ₄ , Teorema 17.4.1.
5. EGA II, Corollaire 6.1.7.
6. EGA IV ₃ , Teorema 8.11.1.
7. "Lema 02LS". The Stacks Project . Consultado el 31 de enero de 2022 .
8. "Definición 29.15.1". The Stacks Project . Consultado el 15 de agosto de 2023 .
9. EGA IV ₃ , Teorema 8.12.6.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Michèle Raynaud (2003) [1971]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) (en francés) (Ed. actualizada). Sociedad Matemática de Francia. XVIII+327. ISBN 2-85629-141-4.
• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1961). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi :10.1007/bf02699291.
• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1966). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255.