Esquema de grupo fundamental

En matemáticas, el esquema de grupo fundamental es un esquema de grupo canónicamente asociado a un esquema sobre un esquema de Dedekind (por ejemplo, el espectro de un cuerpo o el espectro de un anillo de valoración discreto ). Es una generalización del grupo fundamental étale . Aunque su existencia fue conjeturada por Alexander Grothendieck , la primera prueba de su existencia se debe, para esquemas definidos sobre cuerpos, a Madhav Nori . ^{[1] [2] [3]} Una prueba de su existencia para esquemas definidos sobre esquemas de Dedekind se debe a Marco Antei , Michel Emsalem y Carlo Gasbarri. ^{[4] [5]}

Historia

El grupo fundamental (topológico) asociado a un espacio topológico es el grupo de las clases de equivalencia bajo homotopía de los bucles contenidos en el espacio. Aunque todavía se está estudiando para la clasificación de variedades algebraicas incluso en geometría algebraica , para muchas aplicaciones el grupo fundamental se ha encontrado inadecuado para la clasificación de objetos, como esquemas , que son más que simples espacios topológicos. El mismo espacio topológico puede tener de hecho varias estructuras de esquema distintas, pero su grupo fundamental topológico siempre será el mismo. Por lo tanto, se hizo necesario crear un nuevo objeto que tuviera en cuenta la existencia de un haz estructural junto con un espacio topológico. Esto condujo a la creación del grupo fundamental étale , el límite proyectivo de todos los grupos finitos que actúan sobre recubrimientos étale del esquema dado . Sin embargo, en característica positiva este último tiene limitaciones obvias, ya que no tiene en cuenta la existencia de esquemas de grupo que no son étale (por ejemplo, cuando la característica es ) y que actúan sobre torsores sobre , una generalización natural de los recubrimientos. Fue a partir de esta idea que Grothendieck esperaba la creación de un nuevo grupo fundamental verdadero ( un vrai groupe fondamental , en francés), cuya existencia conjeturó, allá por principios de los años 1960 en su célebre SGA 1, Capítulo X. Tuvo que pasar más de una década antes de que saliera a la luz un primer resultado sobre la existencia del esquema de grupo fundamental. Como se mencionó en la introducción, este resultado se debió a Madhav Nori, quien en 1976 publicó su primera construcción de este nuevo objeto para esquemas definidos sobre cuerpos. En cuanto al nombre, decidió abandonar el nombre de grupo fundamental verdadero y lo llamó, como lo conocemos hoy en día, esquema de grupo fundamental . ^[1] También se suele denotar como , donde significa Nori, para distinguirlo de los grupos fundamentales anteriores y de sus generalizaciones modernas. La demostración de la existencia de esquemas definidos sobre regulares de dimensión 1 tuvo que esperar unos cuarenta años más. Existen varias generalizaciones como el esquema de grupo fundamental - ^[6] y el esquema de grupo fundamental cuasi finito . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi ^{N}(X,x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi ^{S}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$

Definición y construcción

La definición original y la primera construcción fueron propuestas por Nori para esquemas sobre cuerpos. Luego fueron adaptadas a un rango más amplio de esquemas. Hasta ahora, las únicas teorías completas existen para esquemas definidos sobre esquemas de dimensión 0 ( espectros de cuerpos) o dimensión 1 (esquemas de Dedekind), por lo que esto es lo que se discutirá a continuación: ${\displaystyle X}$

Definición

Sea un esquema de Dedekind (que puede ser el espectro de un cuerpo) y un morfismo fielmente plano , localmente de tipo finito. Supongamos que tiene una sección . Decimos que tiene un esquema de grupo fundamental si existe un - torsor pro-finito y plano , con una sección tal que para cualquier -torsor finito con una sección existe un único morfismo de torsores que envía a . ^{[2] [4]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$

Sobre un campo

En la actualidad existen varios resultados de existencia para el esquema de grupo fundamental de un esquema definido sobre un cuerpo . Nori proporciona el primer teorema de existencia cuando es perfecto y es un morfismo propio de esquemas con esquema reducido y conexo. Suponiendo la existencia de una sección , entonces el esquema de grupo fundamental de en se construye como el esquema de grupo afín naturalmente asociado a la categoría tannakiana neutra (sobre ) de fibrados vectoriales esencialmente finitos sobre . ^[1] Nori también demuestra que el esquema de grupo fundamental existe cuando es cualquier cuerpo y es cualquier tipo finito, esquema reducido y conexo sobre . Sin embargo, en esta situación no hay categorías tannakianas involucradas. ^[2] Desde entonces se han agregado varios otros resultados de existencia, incluidos algunos esquemas no reducidos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

Sobre un plan de Dedekind

Sea un esquema de Dedekind de dimensión 1, un esquema conexo cualquiera y un morfismo fielmente plano localmente de tipo finito. Supóngase la existencia de una sección . Entonces la existencia del esquema de grupo fundamental como esquema de grupo sobre ha sido probada por Marco Antei , Michel Emsalem y Carlo Gasbarri en las siguientes situaciones: ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle x:S\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$

• cuando por cada fibra se reducen ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X_{s}}$
• cuando para cada el anillo local está integralmente cerrado (por ejemplo cuando es normal ). ${\displaystyle x\in X\setminus X_{\eta }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle X}$

Sobre un esquema de Dedekind, sin embargo, no hay necesidad de considerar solamente esquemas de grupos finitos : de hecho, los esquemas de grupos cuasi-finitos son también una generalización muy natural de los esquemas de grupos finitos sobre cuerpos. ^[7] Es por esto que Antei, Emsalem y Gasbarri también definieron el esquema de grupo fundamental cuasi-finito como sigue: sea un esquema de Dedekind y un morfismo fielmente plano , localmente de tipo finito. Supongamos que tiene una sección . Decimos que tiene un esquema de grupo fundamental cuasi-finito si existe un - torsor pro-cuasi-finito y plano , con una sección tal que para cualquier -torsor cuasi-finito con una sección hay un morfismo único de torsores que envían a . ^[4] Probaron la existencia de cuando para cada las fibras son integrales y normales. ${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X_{s}}$

Propiedades

Conexiones con elgrupo fundamental de estrellas

Se puede considerar el cociente pro-étale más grande de . Cuando el esquema base es el espectro de un cuerpo algebraicamente cerrado , entonces coincide con el grupo fundamental étale . Más precisamente, el grupo de puntos es isomorfo a . ^[8] ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)(k)}$ ${\displaystyle \pi ^{\text{ét}}(X,x)}$

La fórmula del producto

Para dos esquemas proyectivos suaves cualesquiera sobre un campo algebraicamente cerrado se cumple la fórmula del producto, es decir . ^[9] Este resultado fue conjeturado por Nori ^[1] y demostrado por Vikram Mehta y Subramanian. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\times _{k}\pi _{1}(Y,y)\simeq \pi _{1}(X\times _{k}Y,x\times _{k}y)}$

Notas

1. Nori, Madhav V. (1976). "Sobre las representaciones del grupo fundamental" (PDF) . Compositio Mathematica . 33 (1): 29–42. MR  0417179. Zbl  0337.14016.
2. Nori, Madhav V. (1982). "El esquema de grupo fundamental". Actas de Ciencias Matemáticas . 91 (2): 73–122. doi :10.1007/BF02967978. S2CID  121156750.
3. Szamuely, Tamás (2009). Grupos de Galois y Grupos Fundamentales . doi :10.1017/CBO9780511627064. ISBN 9780521888509.
4. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Sobre la existencia del esquema en grupos fundamentales". Épijournal de Géométrie Algébrique . arXiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436. S2CID  227029191.
5. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Fe de erratas para "Alturas de fibrados vectoriales y el esquema de grupo fundamental de una curva"". Revista matemática de Duke . 169 (16). doi :10.1215/00127094-2020-0065. S2CID  225148904.
6. Langer, Adrián (2011). "Sobre el esquema de grupo fundamental". Anales del Instituto Fourier . 61 (5): 2077–2119. arXiv : 0905.4600 . doi :10.5802/aif.2667. S2CID  53506862. ${\displaystyle S}$
7. Bosch, Sigfrido; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990). Modelos Neron . doi :10.1007/978-3-642-51438-8. ISBN 978-3-642-08073-9.
8. Deligne, P.; Milne, JS (1982). Ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 900. doi :10.1007/978-3-540-38955-2. ISBN 978-3-540-11174-0.
9. Mehta, VB; Subramanian, S. (2002). "Sobre el esquema de grupo fundamental". Invenciones Mathematicae . 148 (1): 143-150. Código Bib : 2002 InMat.148..143M. doi :10.1007/s002220100191. S2CID  121329868.