En matemáticas , en topología general , la compactificación es el proceso o resultado de convertir un espacio topológico en un espacio compacto . [1] Un espacio compacto es un espacio en el que cada cubierta abierta del espacio contiene una subcubierta finita. Los métodos de compactificación son varios, pero cada uno es una forma de controlar que los puntos "se vayan al infinito" agregando de alguna manera "puntos al infinito" o evitando tal "escape".
Considere la línea real con su topología ordinaria. Este espacio no es compacto; en cierto sentido, los puntos pueden extenderse hasta el infinito hacia la izquierda o hacia la derecha. Es posible convertir la recta real en un espacio compacto añadiendo un único "punto en el infinito" que denotaremos por ∞. La compactación resultante es homeomorfa a un círculo en el plano (que, como subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano, es compacto). Cada secuencia que se extendió hasta el infinito en la línea real convergerá a ∞ en esta compactación. La dirección en la que un número se acerca al infinito en la recta numérica (ya sea en la dirección - o en la dirección +) aún se conserva en el círculo; porque si un número se acerca al infinito desde la dirección - en la recta numérica, entonces el punto correspondiente en el círculo puede acercarse a ∞ desde la izquierda, por ejemplo. Entonces, si un número se acerca al infinito desde la dirección + en la recta numérica, entonces el punto correspondiente en el círculo puede acercarse a ∞ desde la derecha.
Intuitivamente, el proceso se puede representar de la siguiente manera: primero se reduce la línea real al intervalo abierto (− π , π ) en el eje x ; luego doble los extremos de este intervalo hacia arriba (en la dirección y positiva ) y muévalos uno hacia el otro, hasta obtener un círculo al que le falta un punto (el más alto). Este punto es nuestro nuevo punto ∞ "en el infinito"; agregarlo completa el círculo compacto.
Un poco más formalmente: representamos un punto en el círculo unitario por su ángulo , en radianes , yendo de − π a π por simplicidad. Identifique cada uno de esos puntos θ en el círculo con el punto correspondiente en la línea real tan ( θ /2). Esta función no está definida en el punto π , ya que tan( π /2) no está definida; Identificaremos este punto con nuestro punto ∞.
Dado que tanto las tangentes como las tangentes inversas son continuas, nuestra función de identificación es un homeomorfismo entre la recta real y el círculo unitario sin ∞. Lo que hemos construido se llama compactificación de un punto de Alexandroff de la línea real, que se analiza con mayor generalidad a continuación. También es posible compactar la recta real sumando dos puntos, +∞ y −∞; esto da como resultado la línea real extendida .
Una incorporación de un espacio topológico X como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de X. A menudo resulta útil incrustar espacios topológicos en espacios compactos , debido a las propiedades especiales que tienen los espacios compactos.
Las incrustaciones en espacios compactos de Hausdorff pueden resultar de especial interés. Dado que todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio de Tychonoff , y cada subespacio de un espacio de Tychonoff es Tychonoff, concluimos que cualquier espacio que posea una compactación de Hausdorff debe ser un espacio de Tychonoff. De hecho, lo contrario también es cierto; ser un espacio de Tychonoff es necesario y suficiente para poseer una compactación de Hausdorff.
El hecho de que clases grandes e interesantes de espacios no compactos tengan de hecho compactaciones de tipos particulares hace que la compactación sea una técnica común en topología.
Para cualquier espacio topológico no compacto X, la compactación de un punto ( Alexandroff ) α X de X se obtiene agregando un punto adicional ∞ (a menudo llamado punto en el infinito ) y definiendo los conjuntos abiertos del nuevo espacio como los conjuntos abiertos de X. junto con los conjuntos de la forma G ∪ {∞}, donde G es un subconjunto abierto de X tal que es cerrado y compacto. La compactación de un punto de X es Hausdorff si y sólo si X es Hausdorff y localmente compacto . [2]
De particular interés son las compactaciones de Hausdorff, es decir, compactaciones en las que el espacio compacto es Hausdorff . Un espacio topológico tiene compactación de Hausdorff si y sólo si es Tychonoff . En este caso, hay una compactación de Hausdorff única ( hasta el homeomorfismo ) "más general", la compactificación de X de Stone-Čech , denotada por βX ; formalmente, esto exhibe la categoría de espacios compactos de Hausdorff y mapas continuos como una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios de Tychonoff y mapas continuos.
"Más general" o formalmente "reflexivo" significa que el espacio βX se caracteriza por la propiedad universal de que cualquier función continua desde X hasta un espacio compacto de Hausdorff K puede extenderse a una función continua desde βX hasta K de una manera única. Más explícitamente, βX es un espacio compacto de Hausdorff que contiene X tal que la topología inducida en X por βX es la misma que la topología dada en X , y para cualquier mapa continuo f : X → K , donde K es un espacio compacto de Hausdorff, hay es un mapa continuo único g : βX → K para el cual g restringido a X es idénticamente f .
La compactación de Stone-Čech se puede construir explícitamente de la siguiente manera: sea C el conjunto de funciones continuas desde X hasta el intervalo cerrado [0, 1] . Entonces cada punto en X puede identificarse con una función de evaluación en C. Por tanto, X puede identificarse con un subconjunto de [0, 1] C , el espacio de todas las funciones desde C hasta [0, 1] . Dado que este último es compacto según el teorema de Tychonoff , la clausura de X como subconjunto de ese espacio también será compacta. Se trata de la compactación de Stone-Čech. [3] [4]
Walter Benz e Isaak Yaglom han demostrado cómo se puede utilizar la proyección estereográfica sobre un hiperboloide de una sola hoja para proporcionar una compactación para números complejos divididos . De hecho, el hiperboloide es parte de una cuádrica en el cuatro espacio proyectivo real. El método es similar al utilizado para proporcionar una variedad base para la acción grupal del grupo conforme del espacio-tiempo . [5]
El espacio proyectivo real RP n es una compactificación del espacio euclidiano R n . Para cada posible "dirección" en la que los puntos en R n pueden "escapar", se agrega un nuevo punto en el infinito (pero cada dirección se identifica con su opuesta). La compactación de un punto de Alexandroff de R que construimos en el ejemplo anterior es de hecho homeomorfa a RP 1 . Sin embargo, tenga en cuenta que el plano proyectivo RP 2 no es la compactación de un punto del plano R 2 ya que se agrega más de un punto.
El espacio proyectivo complejo CP n es también una compactación de C n ; la compactación de un punto de Alexandroff del plano C es (homeomorfa a) la línea proyectiva compleja CP 1 , que a su vez puede identificarse con una esfera, la esfera de Riemann .
Pasar al espacio proyectivo es una herramienta común en geometría algebraica porque los puntos agregados en el infinito conducen a formulaciones más simples de muchos teoremas. Por ejemplo, dos líneas diferentes en RP 2 se cruzan precisamente en un punto, afirmación que no es cierta en R 2 . De manera más general, el teorema de Bézout , que es fundamental en la teoría de la intersección , se cumple en el espacio proyectivo pero no en el espacio afín. Este comportamiento distinto de las intersecciones en el espacio afín y el espacio proyectivo se refleja en la topología algebraica en los anillos de cohomología : la cohomología del espacio afín es trivial, mientras que la cohomología del espacio proyectivo no es trivial y refleja las características clave de la teoría de la intersección (dimensión y grado de una subvariedad, siendo la intersección Poincaré dual al producto de taza ).
La compactación de espacios de módulos generalmente requiere permitir ciertas degeneraciones, por ejemplo, permitir ciertas singularidades o variedades reducibles. Esto se utiliza notablemente en la compactación de Deligne-Mumford del espacio de módulos de curvas algebraicas .
En el estudio de subgrupos discretos de grupos de Lie , el espacio cociente de clases laterales es a menudo un candidato para una compactación más sutil para preservar la estructura a un nivel más rico que el simplemente topológico.
Por ejemplo, las curvas modulares se compactan mediante la adición de puntos individuales para cada cúspide , convirtiéndolas en superficies de Riemann (y así, dado que son curvas compactas, algebraicas ). Aquí las cúspides están ahí por una buena razón: las curvas parametrizan un espacio de celosías , y esas celosías pueden degenerar ("ir al infinito"), a menudo de varias maneras (teniendo en cuenta alguna estructura auxiliar de nivel ). Las cúspides representan esas diferentes "direcciones hacia el infinito".
Eso es todo por las celosías del avión. En el espacio euclidiano de n dimensiones se pueden plantear las mismas preguntas, por ejemplo sobre Esto es más difícil de compactar. Hay una variedad de compactaciones, como la compactificación Borel-Serre, la compactificación reductiva Borel-Serre y las compactaciones Satake, que se pueden formar.
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