Glosario de geometría algebraica

Este es un glosario de geometría algebraica .

Véase también glosario de álgebra conmutativa , glosario de geometría algebraica clásica y glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de la teoría de números, consulte el glosario de aritmética y geometría diofántica .

Por simplicidad, a menudo se omite una referencia al esquema base; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema de base fija S y un morfismo, un S -morfismo.

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${\displaystyle\eta}$: Un punto genérico . Por ejemplo, el punto asociado al cero ideal para cualquier esquema integral afín.
F ( norte ), F ( D ): 1. Si X es un esquema proyectivo con la gavilla giratoria de Serre y si F es un módulo -, entonces ${\mathcal {O}}_{X}(1)$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $F(n)=F\otimes _ {{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).$; 2. Si D es un divisor de Cartier y F es un módulo ( X arbitrario), entonces si D es un divisor de Weil y F es reflexivo, entonces se reemplaza F ( D ) por su casco reflexivo (y aún se llama al resultado F ( D ).) ${\mathcal {O}}_{X}$ $F(D)=F\otimes _ {{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).$
| D |: El sistema lineal completo de un divisor de Weil D en una variedad completa normal X sobre un campo algebraicamente cerrado k ; eso es, . Existe una biyección entre el conjunto de k -puntos racionales de | D | y el conjunto de divisores de Weil efectivos en X que son linealmente equivalentes a D . ^[1] Se utiliza la misma definición si D es un divisor de Cartier en una variedad completa sobre k . $|D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))$
[X/G]: El cociente de la pila de, digamos , un espacio algebraico X por una acción de un esquema de grupo G.
$X/\!/G$: El cociente GIT de un esquema X por una acción de un esquema grupal G.
ln: Una notación ambigua. Por lo general , significa una n -ésima potencia tensor de L , pero también puede significar el número de autointersección de L. Si la estructura es de haz en X , entonces significa la suma directa de n copias de . $L={\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$
${\mathcal {O}}_{X}(-1)$: El paquete de líneas tautológicas . Es el dual de la gavilla retorcida de Serre . ${\mathcal {O}}_{X}(1)$
${\mathcal {O}}_{X}(1)$: La gavilla retorcida de Serre . Es el dual del haz de líneas tautológicas . También se le llama haz de hiperplano. ${\mathcal {O}}_{X}(-1)$
${\mathcal {O}}_{X}(D)$: 1. Si D es un divisor Cartier efectivo en X , entonces es el inverso del haz ideal de D.; 2. La mayoría de las veces, es la imagen de D bajo el homomorfismo de grupo natural del grupo de divisores de Cartier al grupo Picard de X , el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en X. ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $\operatorname {Imagen} (X)$; 3. En general, la gavilla corresponde a un divisor de Weil D (en un esquema normal ). No es necesario que sea localmente libre, sólo reflexivo . ${\mathcal {O}}_{X}(D)$; 4. Si D es un divisor, entonces es parte integral de D. $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ ${\mathcal {O}}_{X}$
$\Omega _ {X}^{p}$: 1. es el haz de diferenciales de Kähler en X. $\Omega _ {X}^{1}$; 2. es la p -ésima potencia exterior de . $\Omega _ {X}^{p}$ $\Omega _ {X}^{1}$
$\Omega _ {X}^{p}(\log D)$: 1. Si p es 1, este es el haz de diferenciales logarítmicos de Kähler en X a lo largo de D (formas aproximadamente diferenciales con polos simples a lo largo de un divisor D ).; 2. es la p -ésima potencia exterior de . $\Omega _ {X}^{p}(\log D)$ $\Omega _ {X}^{1}(\log D)$
P ( V ): La notación es ambigua. Su significado tradicional es la proyectivización de un espacio vectorial k de dimensión finita V ; es decir, (el Proj del anillo de funciones polinómicas k [ V ]) y sus k puntos corresponden a líneas en V . Por el contrario , Hartshorne y EGA escriben P ( V ) para el Proj del álgebra simétrica de V. $\mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))$
Q-factorial: Una variedad normal es -factorial si todo divisor de -Weil es -Cartier. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$
Especificaciones ( R ): El conjunto de todos los ideales primos en un anillo R con topología de Zariski; se llama espectro primo de R .
Especificación _X ( F ): La especificación relativa del álgebra O _X F. También se denota por Spec ( F ) o simplemente Spec ( F ).
Especificar ( R ): El conjunto de todas las valoraciones de un anillo R con una determinada topología débil; se llama espectro de Berkovich de R.

A

abeliano: 1. Una variedad abeliana es una variedad de grupo completo. Por ejemplo, considere la variedad compleja o una curva elíptica sobre un campo finito . $\mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}$ $E$ $\mathbb {F} _ {q}$; 2. Un esquema abeliano es una familia (plana) de variedades abelianas.
fórmula complementaria: 1. Si D es un divisor Cartier efectivo en una variedad algebraica X , ambas admitiendo haces dualizantes , entonces la fórmula de adjunción dice: . $\omega _ {D}, \ omega _ {X}$ $\omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}$; 2. Si, además, X y D son suaves, entonces la fórmula equivale a decir: ¿ dónde están los divisores canónicos de D y X ? $K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}$ $K_{D},K_{X}$
afín: 1. El espacio afín es aproximadamente un espacio vectorial donde uno ha olvidado qué punto es el origen.; 2. Una variedad afín es una variedad en un espacio afín.; 3. Un esquema afín es un esquema que es el espectro primo de algún anillo conmutativo.; 4. Un morfismo se denomina afín si la preimagen de cualquier subconjunto afín abierto vuelve a ser afín. En términos más sofisticados, los morfismos afines se definen mediante la construcción Spec global para haces de álgebras O _X , definida por analogía con el espectro de un anillo . Los morfismos afines importantes son los haces de vectores y los morfismos finitos .; 5. El cono afín sobre una subvariedad cerrada X de un espacio proyectivo es la Spec del anillo de coordenadas homogéneo de X.
geometría algebraica: La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia soluciones a ecuaciones algebraicas.
geometría algebraica sobre el campo con un elemento: Uno de los objetivos es demostrar la hipótesis de Riemann . ^[2] Ver también El campo con un elemento y Peña, Javier López; Lorscheid, Oliver (31 de agosto de 2009). "Mapeo F_1-land: una descripción general de las geometrías sobre el campo con un elemento". arXiv : 0909.0069 [matemáticas.AG].así como ^[3]^[4] .
grupo algebraico: Un grupo algebraico es una variedad algebraica que también es un grupo de tal manera que las operaciones del grupo son morfismos de variedades.
esquema algebraico: Un esquema separado de tipo finito sobre un campo. Por ejemplo, una variedad algebraica es un esquema algebraico irreducible reducido.
conjunto algebraico: Un conjunto algebraico sobre un campo k es un esquema separado reducido de tipo finito sobre . Un conjunto algebraico irreducible se llama variedad algebraica. $\operatorname {Especificación} (k)$
espacio algebraico: Un espacio algebraico es un cociente de un esquema por la relación de equivalencia étale .
variedad algebraica: Una variedad algebraica sobre un campo k es un esquema integral separado de tipo finito sobre . Tenga en cuenta que no suponer que k es algebraicamente cerrado provoca alguna patología; por ejemplo, no es una variedad ya que el anillo de coordenadas no es un dominio integral . $\operatorname {Especificación} (k)$ $\operatorname {Especificación} \mathbb {C} \times _ {\mathbb {R} }\operatorname {Especificación} \mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _ {\mathbb {R} }\mathbb {C}$
paquete de vectores algebraicos: Una gavilla localmente libre de rango finito.
amplio: Un paquete de líneas en una variedad proyectiva es amplio si alguna potencia tensor del mismo es muy amplia.
Geometría arakelov: Geometría algebraica sobre la compactación de Spec del anillo de números enteros racionales . Véase geometría de Arakelov . ^[5] $\mathbb {Z}$
género aritmético: El género aritmético de una variedad proyectiva X de dimensión r es . $(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)$
pila de arte: Otro término para una pila algebraica .
artiniano: 0 dimensiones y noetheriano. La definición se aplica tanto a un esquema como a un anillo.

B

Función de aprendizaje: La característica ponderada de Euler de una (bonita) pila X con respecto a la función de Behrend es el grado de la clase fundamental virtual de X.
Fórmula de trazas de Behrend: La fórmula de trazas de Behrend generaliza la fórmula de trazas de Grothendieck ; ambas fórmulas calculan la traza de Frobenius en la cohomología l -ádica.
grande: Un paquete de líneas grande L en X de dimensión n es un paquete de líneas tal que . $\displaystyle \limsup _ {l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0$
morfismo biracional: Un morfismo biracional entre esquemas es un morfismo que se convierte en isomorfismo después de restringirse a algún subconjunto denso abierto. Uno de los ejemplos más comunes de mapa biracional es el mapa inducido por una explosión.
explotar: Una explosión es una transformación biracional que reemplaza un subesquema cerrado con un divisor Cartier efectivo. Precisamente, dado un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado , la explosión de X a lo largo de Z es un morfismo propio tal que (1) es un divisor Cartier efectivo, llamado divisor excepcional y (2) es universal con respecto a (1 ). Concretamente, se construye como el Proj relativo del álgebra de Rees con respecto a la gavilla ideal que determina Z. $Z\subconjunto X$ $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ $\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ $\pi$ $O_{X}$

C

Calabi–Yau

La métrica de Calabi-Yau es una métrica de Kähler cuya curvatura de Ricci es cero.

canónico

1. El haz canónico en una variedad normal X de dimensión n es donde i es la inclusión del lugar liso U y es el haz de formas diferenciales en U de grado n . Si el campo base tiene característica cero en lugar de normalidad, entonces se puede reemplazar i por una resolución de singularidades.

\omega _ {X}=i_ {*} \ Omega _ {U}^{n}

\Omega _ {U}^{n}

2. La clase canónica de una variedad normal X es la clase divisora tal que .

{\ Displaystyle K_ {X}}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. El divisor canónico es un representante de la clase canónica denotada por el mismo símbolo (y no bien definida).

{\ Displaystyle K_ {X}}

4. El anillo canónico de una variedad normal X es el anillo de sección de la gavilla canónica .

modelo canónico

El modelo canónico es el proyecto de un anillo canónico (suponiendo que el anillo se genere de forma finita).

Cartier

Un divisor Cartier efectivo D en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuyo haz ideal es invertible (localmente libre de rango uno).

Regularidad de Castelnuovo-Mumford

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de una gavilla coherente F en un espacio proyectivo sobre un esquema S es el entero más pequeño r tal que

f:\mathbf {P} _ {S}^{n}\to S

R^{i}f_{*}F(ri)=0

para todo i > 0.

de cadena

Un esquema es catenaria , si todas las cadenas entre dos subesquemas cerrados irreducibles tienen la misma longitud. Los ejemplos incluyen prácticamente todo, por ejemplo, variedades en un campo, y es difícil construir ejemplos que no sean catenarios.

fibra central

Una fibra especial.

grupo de comida

El k -ésimo grupo de Chow de una variedad suave X es el grupo abeliano libre generado por subvariedades cerradas de dimensión k (grupo de k - ciclos ) equivalentes racionales de módulo .

A_{k}(X)

clasificación

1. La clasificación es un principio rector en todas las matemáticas donde se intenta describir todos los objetos que satisfacen ciertas propiedades hasta equivalencias dadas mediante datos más accesibles, como invariantes o incluso algún proceso constructivo. En geometría algebraica se distingue entre invariantes discretas y continuas. Para invariantes de clasificación continua, se intenta además proporcionar alguna estructura geométrica que conduzca a espacios de módulos .

2. Las curvas completas suaves sobre un campo algebraicamente cerrado se clasifican hasta equivalencia racional por su género . (a) . curvas racionales , es decir, la curva es biracional a la recta proyectiva . (b) . Curvas elípticas , es decir, la curva es un esquema de grupo unidimensional completo después de elegir cualquier punto de la curva como identidad. (C) . Curvas hiperbólicas , también llamadas curvas de tipo general . Consulte curvas algebraicas para ver ejemplos . La clasificación de curvas suaves se puede refinar por el grado de curvas incrustadas proyectivamente , en particular cuando se restringe a curvas planas . Tenga en cuenta que todas las curvas suaves completas son proyectivas en el sentido de que admiten incrustaciones en el espacio proyectivo, pero para que el grado esté bien definido, la elección de dicha incrustación debe especificarse explícitamente. La aritmética de una curva suave completa sobre un campo numérico (en particular el número y la estructura de sus puntos racionales) se rige por la clasificación de la base de la curva asociada cambiada a un cierre algebraico. Consulte el teorema de Faltings para obtener detalles sobre las implicaciones aritméticas.

g

g=0

\mathbb {P} ^{1}

g=1

g\geq 2

3. Clasificación de superficies completamente lisas sobre un campo algebraicamente cerrado hasta equivalencia racional. Consulte una descripción general de la clasificación o la clasificación Enriques-Kodaira para obtener más detalles.

4. Clasificación de singularidades resp. barrios asociados de Zariski sobre campos algebraicamente cerrados hasta el isomorfismo. (a) En la característica 0, el resultado de resolución de Hironaka atribuye invariantes a una singularidad que los clasifica. (b) Para curvas y superficies, la resolución es conocida en cualquier característica que también produzca una clasificación. Consulte aquí para curvas o aquí para curvas y superficies .

5. Clasificación de las variedades Fano en pequeña dimensión.

6. El programa modelo mínimo es un enfoque para la clasificación biracional de variedades suaves completas en dimensiones superiores (al menos 2). Si bien el objetivo original son las variedades suaves, las singularitas terminales aparecen de forma natural y forman parte de una clasificación más amplia.

7. Clasificación de grupos reductivos escindidos hasta isomorfismo sobre cuerpos algebraicamente cerrados.

pila clasificadora

Un análogo de un espacio de clasificación para torsores en geometría algebraica; ver pila de clasificación .

cerrado

Los subesquemas cerrados de un esquema X se definen como aquellos que ocurren en la siguiente construcción. Sea J un haz cuasi coherente de ideales . El soporte del haz cociente es un subconjunto cerrado Z de X y es un esquema llamado subesquema cerrado definido por el haz cuasi coherente de ideales J. ^[6] La razón por la que la definición de subesquemas cerrados se basa en tal construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, un subconjunto cerrado de un esquema no tiene una estructura única como subesquema.

{\mathcal {O}}_{X}

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

Cohen-Macaulay

Un esquema se llama Cohen-Macaulay si todos los anillos locales son Cohen-Macaulay . Por ejemplo, los esquemas regulares y Spec k [ x,y ]/( xy ) son Cohen-Macaulay, pero

no es.

gavilla coherente

Una gavilla coherente en un esquema noetheriano X es una gavilla cuasi coherente que se genera de forma finita como módulo O _X.

cónico

Una curva algebraica de grado dos.

conectado

El esquema está conectado como un espacio topológico. Dado que los componentes conectados refinan los componentes irreducibles, cualquier esquema irreducible está conectado, pero no al revés. Un esquema afín Spec(R) está conectado si y solo si el anillo R no posee idempotentes distintos de 0 y 1; un anillo de este tipo también se denomina anillo conectado . Ejemplos de esquemas conectados incluyen el espacio afín , el espacio proyectivo y un ejemplo de un esquema que no está conectado es Spec ( k [ x ] × k [ x ])

compactación

Véase por ejemplo el teorema de compactación de Nagata .

anillo de cox

Una generalización de un anillo de coordenadas homogéneo. Véase anillo de Cox .

crepante

Un morfismo crepante entre variedades normales es un morfismo tal que .

f:X\a Y

f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}

curva

Una variedad algebraica de dimensión uno.

D

deformación: Sea un morfismo de esquemas y X un esquema S. Entonces, una deformación X ' de X es un esquema S ' junto con un cuadrado de retroceso en el que X es el retroceso de X ' (normalmente se supone que X ' es plano ). $S\a S'$
locus de degeneración: Dado un mapa de paquetes de vectores sobre una variedad X (es decir, un esquema X -morfismo entre los espacios totales de los paquetes), el lugar de degeneración es el lugar (teórico de esquema) . $f:E\a F$ $X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}$
degeneración: 1. Se dice que un esquema X degenera a un esquema (llamado límite de X ) si hay un esquema con fibra genérica X y fibra especial . $X_{0}$ $\pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}$ $X_{0}$; 2. Una degeneración plana es una degeneración tal que es plana. $\pi$
dimensión: La dimensión , por definición la longitud máxima de una cadena de subesquemas cerrados irreducibles, es una propiedad global. Se puede ver localmente si un esquema es irreductible. Depende sólo de la topología, no de la estructura. Véase también Dimensión global . Ejemplos: esquemas equidimensionales en dimensión 0: esquemas artinianos , 1: curvas algebraicas , 2: superficies algebraicas .
grado: 1. El grado de un paquete de líneas L en una variedad completa es un número entero d tal que . $\chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})$; 2. Si x es un ciclo en una variedad completa sobre un campo k , entonces su grado es . $f:X\to \operatorname {Especificación} k$ $f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z}$; 3. Para conocer el grado de un morfismo finito, consulte morfismo de variedades#Grado de un morfismo finito .
geometría algebraica derivada: Una aproximación a la geometría algebraica utilizando espectros de anillos ( conmutativos ) en lugar de anillos conmutativos ; ver geometría algebraica derivada .
divisorio: 1. Una gavilla divisoria en una variedad normal es una gavilla reflexiva de la forma O _X ( D ) para algún divisor de Weil D .; 2. Un esquema divisorial es un esquema que admite una familia amplia de gavillas invertibles. Un ejemplo básico es un esquema que admite un amplio haz invertible.
dominante: Un morfismo f : X → Y se llama dominante , si la imagen f ( X ) es densa . Un morfismo de esquemas afines Spec A → Spec B es denso si y sólo si el núcleo del mapa correspondiente B → A está contenido en el radical nil de B.
complejo dualizante: Véase Dualidad coherente .
gavilla dualizante: En un esquema proyectivo de Cohen-Macaulay de dimensión pura n , la gavilla dualizadora es una gavilla coherente en X tal que se cumple para cualquier gavilla F localmente libre en X ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva suave, entonces es una gavilla canónica . ${\displaystyle\omega}$ $H^{ni}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}$

mi

Elementos de geometría algébrique

La EGA fue un intento incompleto de sentar las bases de la geometría algebraica basada en la noción de esquema , una generalización de una variedad algebraica. Séminaire de géométrie algébrique continúa donde lo dejó el EGA. Hoy es una de las referencias estándar en geometría algebraica.

curva elíptica

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno.

esencialmente de tipo finito

Localización de un esquema de tipo finito.

Étale

Un morfismo f : Y → X es étale si es plano y no ramificado. Hay varias otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades suaves y sobre un campo algebraicamente cerrado , los morfismos étale son precisamente los que inducen un isomorfismo de espacios tangentes , lo que coincide con la noción habitual de mapa étale en geometría diferencial. Los morfismos Étale forman una clase muy importante de morfismos; se utilizan para construir la llamada topología étale y en consecuencia la cohomología étale , que es hoy en día una de las piedras angulares de la geometría algebraica.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

secuencia de Euler

La secuencia exacta de gavillas:

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,

donde P ⁿ es el espacio proyectivo sobre un campo y el último término distinto de cero es la gavilla tangente , se llama secuencia de Euler .

teoría de la intersección equivariante

Véase el Capítulo II de http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F -regular: Relacionado con el morfismo de Frobenius . ^[7]
fano: Una variedad Fano es una variedad proyectiva suave X cuyo haz anticanónico es amplio. $\omega _{X}^{-1}$
fibra: Dado entre esquemas, la fibra de f sobre y es, como conjunto, la preimagen ; tiene la estructura natural de un esquema sobre el campo residual de y como producto de fibra , donde tiene la estructura natural de un esquema sobre Y como especificación del campo residual de y . $f:X\to Y$ $f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}$ $X\times _{Y}\{y\}$ $\{y\}$
producto de fibra: 1. Otro término para el " retroceso " en la teoría de categorías.; 2. Una pila dada para : un objeto sobre B es un triple ( x , y , ψ), x en F ( B ), y en H ( B ), ψ un isomorfismo en G ( B ); una flecha de ( x , y , ψ) a ( x' , y ' , ψ') es un par de morfismos tales que . El cuadrado resultante con proyecciones obvias no conmuta; más bien, conmuta al isomorfismo natural; es decir, viaja 2 veces. $F\times _{G}H$ $f:F\to G,g:H\to G$ $f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)$ $\alpha :x\to x',\beta :y\to y'$ $\psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi$
final: Una de las ideas fundamentales de Grothendieck es enfatizar las nociones relativas , es decir, condiciones sobre morfismos más que condiciones sobre los esquemas mismos. La categoría de esquemas tiene un objeto final , el espectro del anillo de números enteros; para que cualquier esquema acabe , y de una forma única. $\mathbb {Z}$ $S$ ${\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )$
finito: El morfismo f : Y → X es finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada uno sea afín (por ejemplo, de la forma ) y, además, se genere de forma finita como un módulo. Ver morfismo finito . Los morfismos finitos son cuasi finitos, pero no todos los morfismos que tienen fibras finitas son cuasi finitos, y los morfismos de tipo finito no suelen ser cuasi finitos. $X$ ${\text{Spec }}B$ $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ ${\text{Spec }}A$ $A$ $B$
tipo finito (localmente): El morfismo f : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera de forma finita como un -álgebra. El morfismo f : Y → X es de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por un número finito de conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera de forma finita como un álgebra. $X$ ${\text{Spec }}B$ $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ ${\text{Spec }}A$ $A$ $B$ $X$ ${\text{Spec }}B$ $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ ${\text{Spec }}A$ $A$ $B$
fibras finitas: El morfismo f : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas. $x\in X$
presentación finita: Si y es un punto de Y , entonces el morfismo f es de presentación finita en y (o presentado finitamente en y ) si hay una vecindad afín abierta U de f(y) y una vecindad afín abierta V de y tal que f ( V ) ⊆ U y es un álgebra presentada finitamente . El morfismo f es localmente de presentación finita si se presenta finitamente en todos los puntos de Y. Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente de presentación finita si, y sólo si, es localmente de tipo finito. ^[8] El morfismo f : Y → X es de presentación finita (o Y se presenta finitamente sobre X ) si es localmente de presentación finita, cuasicompacto y cuasiseparado. Si X es localmente noetheriano, entonces f es de presentación finita si, y sólo si, es de tipo finito. ^[9] ${\mathcal {O}}_{Y}(V)$ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$
variedad de bandera: El tipo de bandera parametriza una bandera de espacios vectoriales.
departamento: Un morfismo es plano si da lugar a un mapa plano sobre tallos. Al considerar un morfismo f : Y → X como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de , el significado geométrico de planitud podría describirse aproximadamente diciendo que las fibras no varían demasiado. $f$ $X$ $f^{-1}(x)$
formal: Ver esquema formal .

GRAMO

g ^r_d: Dada una curva C , un divisor D sobre ella y un subespacio vectorial , se dice que el sistema lineal es ag ^r_d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag ^r_d si existe tal sistema lineal. $V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))$ $\mathbb {P} (V)$
Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg: El teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg establece que un esquema X puede recuperarse de la categoría de haces cuasi coherentes en X. ^[10] El teorema es un punto de partida para la geometría algebraica no conmutativa ya que, tomando el teorema como un axioma, definir un esquema no conmutativo equivale a definir la categoría de haces cuasi coherentes en él. Véase también https://mathoverflow.net/q/16257
paquete G: Un paquete G principal.
punto genérico: Un punto denso.
género: Ver género #aritmético, #género geométrico.
fórmula de género: La fórmula del género para una curva nodal en el plano proyectivo dice que el género de la curva se da como donde d es el grado de la curva y δ es el número de nodos (que es cero si la curva es suave). $g=(d-1)(d-2)/2-\delta$
género geométrico: El género geométrico de una variedad proyectiva suave X de dimensión n es (donde la igualdad es el teorema de dualidad de Serre ). $\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
punto geométrico: El espectro primo de un campo algebraicamente cerrado.
propiedad geométrica: Una propiedad de un esquema X sobre un campo k es " geométrica " si se cumple para cualquier extensión de campo . $X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}$ $E/k$
cociente geométrico: El cociente geométrico de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un buen cociente tal que las fibras son órbitas.
gerbe: Un gerbe es (aproximadamente) una pila que localmente no está vacía y en la que dos objetos son localmente isomórficos.
cociente git: El cociente GIT es cuando y cuando . $X/\!/G$ $\operatorname {Spec} (A^{G})$ $X=\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Proj} (A^{G})$ $X=\operatorname {Proj} A$
buen cociente: El buen cociente de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un morfismo invariante tal que $f:X\to Y$ $(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.$
Gorenstein: 1. Un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein .; 2. Se dice que una variedad normal es -Gorenstein si el divisor canónico es -Cartier (y no es necesario que sea Cohen-Macaulay). $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$; 3. Algunos autores llaman Gorenstein a una variedad normal si el divisor canónico es Cartier; tenga en cuenta que este uso es incompatible con el significado 1.
Teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider: El teorema de fuga de Grauert-Riemenschneider extiende el teorema de fuga de Kodaira a haces de imágenes directas superiores; ver también https://arxiv.org/abs/1404.1827
Anillo de variedades de Grothendieck.: El anillo de variedades de Grothendieck es el grupo abeliano libre generado por clases de isomorfismo de variedades con la relación: donde Z es una subvariedad cerrada de una variedad X y equipada con la multiplicación $[X]=[Z]+[X-Z]$ $[X]\cdot [Y]=[X\times Y].$
Teorema de desaparición de Grothendieck: El teorema de desaparición de Grothendieck se refiere a la cohomología local .
esquema de grupo: Un esquema de grupo es un esquema cuyos conjuntos de puntos tienen las estructuras de un grupo .
variedad de grupo: Un término antiguo para un grupo algebraico "suave".

h

polinomio de Hilbert: El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un campo es la característica de Euler . $\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))$
paquete de hodge: El paquete de Hodge en el espacio de módulos de las curvas (de género fijo) es aproximadamente un paquete de vectores cuya fibra sobre una curva C es el espacio vectorial . $\Gamma (C,\omega _{C})$
hiperelíptico: Una curva es hiperelíptica si tiene una g ¹₂ (es decir, hay un sistema lineal de dimensión 1 y grado 2).
haz de hiperplano: Otro término para la gavilla retorcida de Serre . Es el dual del haz de líneas tautológicas (de ahí el término). ${\mathcal {O}}_{X}(1)$

I

imagen

Si f : Y → X es cualquier morfismo de esquemas, la imagen teórica de esquemas de f es el único subesquema cerrado i : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal :

f factores a través de i ,
si j : Z ′ → X es cualquier subesquema cerrado de X tal que f factorice a través de j , entonces i también factorice a través de j . ^[11]^[12]

Esta noción es distinta de la imagen habitual de la teoría de conjuntos de f , f ( Y ). Por ejemplo, el espacio subyacente de Z siempre contiene (pero no es necesariamente igual a) el cierre de Zariski de f ( Y ) en X , por lo que si Y es cualquier subesquema abierto (y no cerrado) de X y f es el mapa de inclusión, entonces Z es diferente de f ( Y ). Cuando Y se reduce, entonces Z es el cierre de Zariski de f ( Y ) dotado de la estructura de subesquema cerrado reducido. Pero en general, a menos que f sea cuasicompacto, la construcción de Z no es local en X.

inmersión

Las inmersiones f : Y → X son mapas que factorizan isomorfismos con subesquemas. Específicamente, una inmersión abierta se factoriza mediante un isomorfismo con un subesquema abierto y una inmersión cerrada se factoriza mediante un isomorfismo con un subesquema cerrado. ^[13] De manera equivalente, f es una inmersión cerrada si, y sólo si, induce un homeomorfismo desde el espacio topológico subyacente de Y a un subconjunto cerrado del espacio topológico subyacente de X , y si el morfismo es sobreyectivo. ^[14] Una composición de inmersiones es nuevamente una inmersión. ^[15] Algunos autores, como Hartshorne en su libro Algebraic Geometry y Q. Liu en su libro Algebraic Geometry and Arithmetic Curves , definen las inmersiones como la combinación de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada. Estas inmersiones son inmersiones en el sentido anterior, pero lo contrario es falso. Además, según esta definición, la combinación de dos inmersiones no es necesariamente una inmersión. Sin embargo, las dos definiciones son equivalentes cuando f es cuasicompacto. ^[16] Tenga en cuenta que una inmersión abierta se describe completamente por su imagen en el sentido de espacios topológicos, mientras que una inmersión cerrada no lo es: y puede ser homeomorfa pero no isomorfa. Esto sucede, por ejemplo, si I es el radical de J pero J no es un ideal radical. Cuando se especifica un subconjunto cerrado de un esquema sin mencionar la estructura del esquema, generalmente se hace referencia a la llamada estructura del esquema reducida , es decir, la estructura del esquema correspondiente al ideal radical único que consiste en todas las funciones que desaparecen en ese subconjunto cerrado.

f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}

\operatorname {Spec} A/I

\operatorname {Spec} A/J

esquema ind

Un esquema ind es un límite inductivo de inmersiones cerradas de esquemas.

gavilla reversible

Una gavilla localmente libre de rango uno. De manera equivalente, es un torsor para el grupo multiplicativo (es decir, paquete de líneas).

\mathbb {G} _{m}

integral

Un esquema que es a la vez reducido e irreducible se llama integral . Para los esquemas localmente noetherianos, ser integral equivale a ser un esquema conexo que está cubierto por los espectros de dominios integrales . (Estrictamente hablando, esto no es una propiedad local, porque la unión disjunta de dos esquemas integrales no es integral. Sin embargo, para esquemas irreducibles, es una propiedad local). Por ejemplo, el esquema Spec k [ t ]/ f , f El polinomio irreducible es integral, mientras que Spec A × B. ( A , B ≠ 0) no lo es.

irreducible

Se dice que un esquema X es irreducible cuando (como espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados excepto si uno es igual a X. Usando la correspondencia de ideales primos y puntos en un esquema afín, esto significa que X es irreducible si X está conectado y todos los anillos Ai _tienen exactamente un ideal primo mínimo . (Por lo tanto, los anillos que poseen exactamente un ideal primo mínimo también se denominan irreducibles ). Cualquier esquema noetheriano se puede escribir de forma única como la unión de un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos irreducibles máximos, llamados componentes irreducibles . El espacio afín y el espacio proyectivo son irreducibles, mientras que Spec k [ x,y ]/( xy ) =

no es.

j

variedad jacobiana: La variedad jacobiana de una curva proyectiva X es la parte de grado cero de la variedad Picard . $\operatorname {Pic} (X)$

k

Teorema de desaparición de Kempf: El teorema de desaparición de Kempf se refiere a la desaparición de la cohomología superior de una variedad de bandera.
klt: Abreviatura de " terminal de registro kawamata "
Dimensión de Kodaira: 1. La dimensión de Kodaira (también llamada dimensión de Iitaka ) de un haz de líneas semiamplias L es la dimensión de Proj del anillo de sección de L.; 2. La dimensión Kodaira de una variedad normal X es la dimensión Kodaira de su haz canónico.
Teorema de desaparición de Kodaira: Véase el teorema de desaparición de Kodaira .
mapa de Kuranishi: Ver estructura de Kuranishi .

l

número de lelong: Ver número de Lelong .
estructura de niveles: ver http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf
linealización: Otro término para la estructura de un paquete equivariante de haz /vector.
local: Las propiedades más importantes de los esquemas son de naturaleza local , _es decir , un esquema X tiene una cierta propiedad P si y sólo si para cualquier cobertura de X por subesquemas abiertos Xi , es decir, X = Xi _, cada Xi tiene la propiedad _P.Suele ocurrir que basta con comprobar una portada, no todas las posibles. También se dice que una determinada propiedad es Zariski-local , si es necesario distinguir entre la topología Zariski y otras topologías posibles, como la topología étale . Considere un esquema X y una cobertura mediante subesquemas abiertos afines Spec A _i . Usando el diccionario entre anillos (conmutativos) y esquemas afines, las propiedades locales son, por tanto _, propiedades de los anillos Ai . Una propiedad P es local en el sentido anterior, si y sólo si la propiedad correspondiente de los anillos es estable bajo localización . Por ejemplo, podemos hablar de esquemas localmente noetherianos , es decir, aquellos que están cubiertos por los espectros de los anillos noetherianos . El hecho de que las localizaciones de un anillo noetheriano sigan siendo noetherianas significa que la propiedad de un esquema de ser localmente noetheriana es local en el sentido anterior (de ahí el nombre). Otro ejemplo: si un anillo se reduce (es decir, no tiene elementos nilpotentes distintos de cero ), también lo son sus localizaciones. Un ejemplo de propiedad no local es la separación (consulte la definición a continuación). Cualquier esquema afín está separado, por lo tanto, cualquier esquema está separado localmente. Sin embargo, las piezas afines pueden pegarse patológicamente para producir un esquema no separado. La siguiente es una lista (no exhaustiva) de propiedades locales de los anillos, que se aplican a los esquemas. Sea X = Spec A _i una cobertura de un esquema mediante subesquemas afines abiertos. Para mayor precisión, sea k un campo en lo siguiente. Sin embargo , la mayoría de los ejemplos también funcionan con los números enteros Z como base, o incluso con bases más generales. Conexo, irreductible, reducido, integral, normal, regular, Cohen-Macaulay, localmente noetheriano, dimensión, catenaria, Gorenstein. $\cup$ $\cup$
intersección completa local: Los anillos locales son anillos de intersección completos . Ver también: incrustación regular .
uniformización local: La uniformización local es un método para construir una forma más débil de resolución de singularidades mediante anillos de valoración .
localmente factorial: Los anillos locales son dominios de factorización únicos .
localmente de presentación finita: Cf. presentación finita arriba.
localmente de tipo finito: El morfismo f : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera de forma finita como un -álgebra. $X$ ${\text{Spec }}B$ $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ ${\text{Spec }}A$ $A$ $B$
localmente noetheriano: Los Ai _son anillos noetherianos . Si además un número finito de tales espectros afines cubre X , el esquema se llama noetheriano . Si bien es cierto que el espectro de un anillo noetheriano es un espacio topológico noetheriano , lo contrario es falso. Por ejemplo, la mayoría de los esquemas en geometría algebraica de dimensión finita son localmente noetherianos, pero no lo son. $GL_{\infty }=\cup GL_{n}$
geometría logarítmica
estructura de registro: Ver estructura del registro . La idea se debe a Fontaine-Illusie y Kato.
grupo de bucle: Consulte grupo de bucles (el artículo vinculado no analiza un grupo de bucles en geometría algebraica; por ahora, consulte también ind-scheme ).

METRO

módulos: Véase, por ejemplo, espacio de módulos .
Si bien gran parte de los primeros trabajos sobre módulos, especialmente desde [Mum65], pusieron énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia los funtores de módulos y las pilas de módulos. La tarea principal es comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de "familias agradables", la existencia de un espacio de módulos gruesos debería ser casi automática. El espacio de módulos gruesos ya no es el objeto fundamental, sino que es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el funtor de módulos o en la pila de módulos.
Kollár, János, Capítulo 1, "Libro sobre módulos de superficies".
El programa modelo mínimo de Mori: El programa de modelo mínimo es un programa de investigación que tiene como objetivo realizar una clasificación biracional de variedades algebraicas de dimensión mayor que 2.
morfismo: 1. Un morfismo de variedades algebraicas viene dado localmente por polinomios.; 2. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios localmente anillados .; 3. Un morfismo de pilas (sobre, digamos, la categoría de S -esquemas) es un funtor tal que donde la estructura se asigna a la categoría base. $f:F\to G$ $P_{G}\circ f=P_{F}$ $P_{F},P_{G}$

norte

nef: Ver paquete de líneas nef .
no singular: Un término arcaico para "suave" como en una variedad suave .
normal: 1. Un esquema integral se llama normal , si los anillos locales son dominios integralmente cerrados . Por ejemplo, todos los esquemas regulares son normales, mientras que las curvas singulares no lo son.; 2. Se dice que una curva suave es k -normal si las hipersuperficies de grado k cortan la serie lineal completa . Es proyectivamente normal si es k -normal para todo k > 0. Por tanto, se dice que "una curva es proyectivamente normal si el sistema lineal que la incrusta es completo". El término "linealmente normal" es sinónimo de 1-normal. $C\subset \mathbf {P} ^{r}$ $|{\mathcal {O}}_{C}(k)|$; 3. Se dice que una subvariedad cerrada es proyectivamente normal si la cobertura afín sobre X es un esquema normal ; es decir, el anillo de coordenadas homogéneo de X es un dominio integralmente cerrado. Este significado es consistente con el de 2. $X\subset \mathbf {P} ^{r}$
normal: 1. Si X es un subesquema cerrado de un esquema Y con haz ideal I , entonces el haz normal a X es . Si la integración de X en Y es regular , es localmente libre y se llama paquete normal . $(I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})$; 2. El cono normal a X es . Si X está incrustado regularmente en Y , entonces el cono normal es isomorfo al espacio total del paquete normal a X. $\operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})$ $\operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))$
cruces normales: Abreviaturas nc para cruce normal y snc para cruce normal simple. Se refiere a varias nociones estrechamente relacionadas, como nc divisor, nc singularidad, snc divisor y snc singularidad. Ver cruces normales .
normalmente generado: Se dice que normalmente se genera un paquete de líneas L en una variedad X si, para cada número entero n > 0, el mapa natural es sobreyectivo. $\Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})$

oh

abierto: 1. Un morfismo f : Y → X de esquemas se llama abierto ( cerrado ), si el mapa subyacente de espacios topológicos es abierto (cerrado, respectivamente), es decir, si los subesquemas abiertos de Y se asignan a subesquemas abiertos de X (y de manera similar para cerrado). Por ejemplo, los morfismos planos presentados finitamente están abiertos y los mapas propios están cerrados.; 2. Un subesquema abierto de un esquema X es un subconjunto abierto U con estructura haz . ^[14] ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$
orbital: Hoy en día, un orbifold se define a menudo como una pila de Deligne-Mumford sobre la categoría de variedades diferenciables. ^[17]

PAG

p -grupo divisible

Ver p -grupo divisible (más o menos un análogo de los puntos de torsión de una variedad abeliana).

lápiz

Un sistema lineal de dimensión uno.

grupo picardo

El grupo Picard de X es el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en X , siendo la multiplicación el producto tensorial .

Incrustación de plücker

La incrustación de Plücker es la incrustación cerrada de la variedad Grassmanniana en un espacio proyectivo.

plurígeno

El enésimo plurigenus de una variedad proyectiva suave es . Véase también número de Hodge .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

Mapa de residuos de Poincaré

Véase residuo de Poincaré .

punto

Un esquema es un espacio localmente anillado , por lo que a fortiori es un espacio topológico , pero los significados del punto de son tres:

S

$S$

un punto del espacio topológico subyacente; $P$
un punto valorado de es un morfismo de a , para cualquier esquema ; $T$ $S$ $T$ $S$ $T$
un punto geométrico , donde se define sobre (está equipado con un morfismo para) , donde es un campo , es un morfismo desde hasta donde es una clausura algebraica de . $S$ ${\textrm {Spec}}(K)$ $K$ ${\textrm {Spec}}({\overline {K}})$ $S$ ${\overline {K}}$ $K$

Los puntos geométricos son lo que en los casos más clásicos, por ejemplo variedades algebraicas que son variedades complejas , serían los puntos en sentido ordinario. Los puntos del espacio subyacente incluyen análogos de los puntos genéricos (en el sentido de Zariski , no en el de André Weil ), que se especializan en puntos del sentido ordinario. Los puntos valorados se consideran, a través del lema de Yoneda , como una forma de identificarse con el funtor representable que establece. Históricamente hubo un proceso por el cual la geometría proyectiva agregaba más puntos ( por ejemplo, puntos complejos, líneas en el infinito ) para simplificar la geometría refinando los objetos básicos. Los puntos valorados representaron un enorme paso adelante. Como parte del enfoque predominante de Grothendieck , existen tres nociones correspondientes de fibra de un morfismo: la primera es la simple imagen inversa de un punto. Los otros dos se forman mediante la creación de productos de fibra de dos morfismos. Por ejemplo, una fibra geométrica de un morfismo se considera como . Esto hace que la extensión desde esquemas afines , donde es solo el producto tensorial de R-álgebras , a todos los esquemas de operación del producto de fibra sea un resultado significativo (aunque técnicamente anodino).

P

T

S

h_{S}

T

S^{\prime }\to S

S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})

polarización

una incrustación en un espacio proyectivo

Proyecto

Ver construcción del proyecto .

fórmula de proyección

La fórmula de proyección dice que, para un morfismo de esquemas, un módulo y un módulo localmente libre de rango finito, existe un isomorfismo natural (en resumen, es lineal con respecto a la acción de haces localmente libres).

f:X\to Y

{\mathcal {O}}_{X}

{\mathcal {F}}

{\mathcal {O}}_{Y}

{\mathcal {E}}

f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E

f_{*}

descriptivo

1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo.

2. Un esquema proyectivo sobre un esquema S es un esquema S que factoriza algún espacio proyectivo como un subesquema cerrado.

\mathbf {P} _{S}^{N}\to S

3. Los morfismos proyectivos se definen de manera similar a los morfismos afines: f : Y → X se llama proyectivo si factoriza como una inmersión cerrada seguida de la proyección de un espacio proyectivo a . ^[18] Nótese que esta definición es más restrictiva que la de EGA , II.5.5.2. Este último se define como proyectivo si está dado por el Proj global de un Álgebra O _X graduada cuasi coherente tal que se genera de forma finita y genera el álgebra . Ambas definiciones coinciden cuando es afín o más generalmente si es cuasicompacto, separado y admite un haz amplio, ^[19] por ejemplo si es un subesquema abierto de un espacio proyectivo sobre un anillo .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X

X

f

{\mathcal {S}}

{\mathcal {S}}_{1}

{\mathcal {S}}

X

X

\mathbb {P} _{A}^{n}

A

paquete proyectivo

Si E es una gavilla localmente libre en un esquema X , el paquete proyectivo P ( E ) de E es el Proj global del álgebra simétrica del dual de E : tenga en cuenta que esta definición es estándar hoy en día (por ejemplo, la teoría de la intersección de Fulton ) pero difiere de EGA y Hartshorne (no aceptan dual).

\mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).

proyectivamente normal

Ver #normal.

adecuado

Un morfismo es apropiado si está separado, es universalmente cerrado (es decir, de modo que los productos de fibra que lo acompañan sean mapas cerrados) y de tipo finito. Los morfismos proyectivos son adecuados; pero lo contrario no es cierto en general. Ver también variedad completa . Una propiedad profunda de los morfismos propios es la existencia de una factorización de Stein , es decir, la existencia de un esquema intermedio tal que un morfismo pueda expresarse como uno con fibras conectadas, seguido de un morfismo finito.

propiedad p

Sea P una propiedad de un esquema que es estable bajo cambio de base (de tipo finito, propio, suave, étale, etc.). Entonces se dice que un morfismo representable tiene la propiedad P si, para cualquier esquema con B , el cambio de base tiene la propiedad P.

f:F\to G

B\to G

F\times _{G}B\to B

pseudo-reductivo

Pseudoreductivo generaliza reductivo en el contexto de un grupo algebraico lineal suave conectado .

dimensión pura

Un esquema tiene dimensión pura d si cada componente irreducible tiene dimensión d .

q

casi coherente: Un haz cuasi coherente en un esquema noetheriano X es un haz de módulos O _X que está dado localmente por módulos.
casi compacto: Un morfismo f : Y → X se llama cuasicompacto , si para alguna (equivalentemente: cada) cubierta afín abierta de X por alguna U _i = Spec B _i , las preimágenes f ⁻¹ ( U _i ) son cuasicompactas .
cuasi finito: El morfismo f : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas. $x\in X$
cuasi proyectivo: Una variedad cuasiproyectiva es una subvariedad localmente cerrada de un espacio proyectivo.
casi separados: Un morfismo f : Y → X se llama cuasi-separado o ( Y está cuasi-separado sobre X ) si el morfismo diagonal Y → Y × _X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y se denomina cuasi-separado si Y está cuasi-separado sobre Spec( Z ). ^[20]
casi dividido: Un grupo reductor definido sobre un campo está cuasi dividido si y sólo si admite un subgrupo Borel definido sobre . Cualquier grupo reductor cuasi dividido es un grupo reductor dividido, pero hay grupos reductores cuasi divididos que no son reductivos divididos. $G$ $k$ $B\subseteq G$ $k$
esquema de cotización: Un esquema Quot parametriza cocientes de gavillas libres localmente en un esquema proyectivo.
pila de cocientes: Generalmente denotado por [ X / G ], una pila de cocientes generaliza un cociente de un esquema o variedad.

R

racional: 1. En un cuerpo algebraicamente cerrado, una variedad es racional si es biracional a un espacio proyectivo. Por ejemplo, las curvas racionales y las superficies racionales son aquellas biracionales a . $\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}$; 2. Dado un campo k y un esquema relativo X → S , un k -punto racional de X es un S -morfismo . $\operatorname {Spec} (k)\to X$
función racional: Un elemento en el campo de función donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos U de una variedad algebraica (irreducible) X . Véase también campo de funciones (teoría de esquemas) . $k(X)=\varinjlim k[U]$
curva normal racional: Una curva normal racional es la imagen de . Si d = 3, también se le llama cúbica torcida . $\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})$
singularidades racionales: Una variedad X sobre un campo de característica cero tiene singularidades racionales si existe una resolución de singularidades tal que y . $f:X'\to X$ $f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}$ $R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1$
reducido: 1. Un anillo conmutativo se reduce si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, es decir, su radical nil es el ideal cero, . De manera equivalente, se reduce si se trata de un régimen reducido. $R$ ${\sqrt {(0)}}=(0)$ $R$ $\operatorname {Spec} (R)$; 2. Un esquema X se reduce si sus tallos son anillos reducidos. De manera equivalente, X se reduce si, para cada subconjunto abierto , es un anillo reducido, es decir, no tiene secciones nilpotentes distintas de cero. ${\mathcal {O}}_{X,x}$ $U\subset X$ ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ $X$
reductivo: Un grupo algebraico lineal conectado sobre un campo es un grupo reductivo si y sólo si el radical unipotente del cambio de base de a un cierre algebraico es trivial. $G$ $k$ $R_{u}(G_{\overline {k}})$ $G_{\overline {k}}$ $G$ ${\overline {k}}$
gavilla reflexiva: Un haz coherente es reflexivo si la aplicación canónica del segundo dual es un isomorfismo.
regular: Un esquema regular es un esquema en el que los anillos locales son anillos locales regulares . Por ejemplo, las variedades suaves sobre un campo son regulares, mientras que Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )=no es.
incrustación regular: Una inmersión cerrada es una incrustación regular si cada punto de X tiene una vecindad afín en Y de modo que el ideal de X allí se genera mediante una secuencia regular . Si i es una incrustación regular, entonces el haz conormal de i , es decir, cuando es el haz ideal de X , está localmente libre. $i:X\hookrightarrow Y$ ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ ${\mathcal {I}}$
función regular: Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín .
morfismo representable: Un morfismo de pilas tal que, para cualquier morfismo de un esquema B , el cambio de base es un espacio algebraico. Si se reemplaza "espacio algebraico" por "esquema", se dice que es fuertemente representable. $F\to G$ $B\to G$ $F\times _{G}B$
resolución de singularidades: Una resolución de singularidades de un esquema X es un morfismo biracional propio tal que Z es suave . $\pi :Z\to X$
Fórmula de Riemann-Hurwitz: Dado un morfismo finito separable entre curvas proyectivas suaves, si está levemente ramificado (sin ramificación salvaje), por ejemplo, sobre un campo de característica cero, entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz relaciona el grado de π, los géneros de X , Y y el índices de ramificación : . Hoy en día, la fórmula se considera una consecuencia de la fórmula más general (que es válida incluso si π no es dócil): donde significa una equivalencia lineal y es el divisor de la gavilla cotangente relativa (llamada el diferente). $\pi :X\to Y$ $\pi$ $2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)$ $K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R$ $\sim$ $R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P$ $\Omega _{X/Y}$
Fórmula de Riemann-Roch: 1. Si L es un conjunto de líneas de grado d en una curva proyectiva suave de género g , entonces la fórmula de Riemann-Roch calcula la característica de Euler de L :. Por ejemplo, la fórmula implica que el grado del divisor canónico K es 2 g - 2. $\chi (L)=d-g+1$; 2. La versión general se debe a Grothendieck y se denomina fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch . Dice: si es un morfismo propio con X suave , S y si E es un paquete vectorial en X , entonces como igualdad en el grupo racional de Chow donde , significa un carácter de Chern y una clase de Todd del paquete tangente de un espacio, y , sobre los números complejos, es una integración a lo largo de fibras . Por ejemplo, si la base S es un punto, X es una curva suave de género g y E es un paquete de líneas L , entonces el lado izquierdo se reduce a la característica de Euler mientras que el lado derecho es $\pi :X\to S$ $\operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))$ $\pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}$ $\operatorname {ch}$ $\operatorname {td}$ $\pi _{*}$ $\pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.$
rígido: Toda deformación infinitesimal es trivial. Por ejemplo, el espacio proyectivo es rígido desde (y usando el mapa de Kodaira-Spencer ). $\operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0$
rigidizar: Un término heurístico, aproximadamente equivalente a "matar automorfismos". Por ejemplo, se podría decir "introducimos estructuras de niveles o puntos marcados para endurecer la situación geométrica".

S

Desde el punto de vista del propio Grothendieck, casi no debería haber una historia de los esquemas, sino sólo una historia de la resistencia a ellos: ... No hay ninguna cuestión histórica seria sobre cómo encontró Grothendieck su definición de esquemas. Estaba en el aire. Serre ha dicho bien que nadie inventó esquemas (conversación de 1995). La pregunta es: ¿qué hizo que Grothendieck creyera que debía utilizar esta definición para simplificar un artículo de 80 páginas de Serre en unas 1.000 páginas de Éléments de géométrie algébrique ?

[1]

esquema

Un esquema es un espacio localmente anillado que es localmente un espectro primo de un anillo conmutativo .

Schubert

1. Una celda de Schubert es una órbita B en el Grassmanniano , donde B es el Borel estándar; es decir, el grupo de matrices triangulares superiores.

\operatorname {Gr} (d,n)

2. Una variedad Schubert es el cierre de una célula de Schubert.

Desplazarse

Una voluta normal racional es una superficie reglada que para algunos tiene un grado en un espacio proyectivo .

n

\mathbb {P} ^{n+1}

n\in \mathbb {N} _{>1}

variedad secante

La variedad secante a una variedad proyectiva es el cierre de la unión de todas las rectas secantes a V en .

V\subset \mathbb {P} ^{r}

\mathbb {P} ^{r}

anillo de sección

El anillo de sección o el anillo de secciones de un haz de líneas L en un esquema X es el anillo graduado .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

Condiciones de Serre S _n

Véanse las condiciones de Serre sobre la normalidad . Véase también https://mathoverflow.net/q/22228

dualidad serre

Ver gavilla dualizante

apartado

Un morfismo separado es un morfismo tal que la fibra producto de consigo misma tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .

f

f

f

gavilla generada por secciones globales

Una gavilla con un conjunto de secciones globales que abarcan el tallo de la gavilla en cada punto. Ver Gavilla generada por secciones globales .

simple

1. El término "punto simple" es un término antiguo para referirse a "punto liso".

2. Un divisor de cruce normal simple (snc) es otro nombre para un divisor de cruce normal suave, es decir, un divisor que sólo tiene singularidades de cruce normal suaves. Aparecen en una fuerte desingularización así como en la estabilización para problemas de módulos de compactación.

3. En el contexto de los grupos algebraicos lineales hay grupos semisimples y grupos simples que son en sí mismos grupos semisimples con propiedades adicionales. Dado que todos los grupos simples son reductivos, un grupo simple dividido es un grupo simple que es reductivo dividido.

liso

El análogo de dimensiones superiores de los morfismos étale son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f : Y → X :

para cualquier y ∈ Y , hay vecindades afines abiertas V y U de y , x = f ( y ), respectivamente, tales que la restricción de f a V se factoriza como un morfismo étale seguido de la proyección del espacio n afín sobre U .
f es plana, localmente de presentación finita, y para cada punto geométrico de Y (un morfismo del espectro de un campo algebraicamente cerrado a Y ), la fibra geométrica es una variedad suave de n dimensiones en el sentido de la geometría algebraica clásica. ${\bar {y}}$ $k({\bar {y}})$ $X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))$ $k({\bar {y}})$

2. Un esquema suave sobre un campo perfecto k es un esquema X que es localmente de tipo finito y regular sobre k .

3. Un esquema suave sobre un campo k es un esquema X que es geométricamente suave: es suave.

X\times _{k}{\overline {k}}

especial

Un divisor D en una curva suave C es especial si , que se llama índice de especialidad, es positivo.

h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))

variedad esférica

Una variedad esférica es una variedad G normal ( G reductiva conectada) con una órbita densa abierta por un subgrupo Borel de G.

dividir

1. En el contexto de un grupo algebraico para ciertas propiedades existe la propiedad derivada split- . Generalmente es una propiedad automática o más común en campos algebraicamente cerrados . Si esta propiedad ya se cumple para definido sobre un campo no necesariamente algebraicamente cerrado, entonces se dice que satisface split- .

G

P

P

P

{\overline {k}}

G

k

G

P

2. Un grupo algebraico lineal definido sobre un campo es un toroide si solo su cambio de base a un cierre algebraico es isomorfo a un producto de grupos multiplicativos . es un toro dividido si y solo si es isomorfo sin ningún cambio de base. se dice que se divide en un campo intermedio si y sólo si su cambio de base es isomorfo a .

G

k

G_{\overline {k}}

{\overline {k}}

G_{m,{\overline {k}}}^{n}

G

G_{m,k}^{n}

G

k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}

G_{L}

L

G_{m,L}^{n}

3. Un grupo reductor definido sobre un campo es reductivo dividido si y sólo si un toro máximo definido es un toro dividido. Dado que cualquier grupo simple es reductivo, un grupo simple dividido significa un grupo simple que es reductivo dividido.

G

k

T\subseteq G

k

4. Un grupo algebraico lineal con solución conectado definido sobre un campo se divide si y solo si tiene una serie de composición definida de manera que cada cociente sucesivo sea isomorfo al grupo multiplicativo o al grupo aditivo sobre .

G

k

B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}

k

B_{i}/B_{i+1}

G_{m,k}

G_{m,a}

k

5. Un grupo algebraico lineal definido sobre un campo se divide si y solo si tiene un subgrupo Borel definido que está dividido en el sentido de grupos algebraicos lineales conectados y solubles.

G

k

B\subseteq G

k

6. En la clasificación de álgebras de Lie reales, las álgebras de Lie divididas juegan un papel importante. Existe una estrecha conexión entre los grupos de Lie lineales, sus álgebras de Lie asociadas y los grupos algebraicos lineales respectivamente . . El término división tiene significados similares para la teoría de Lie y los grupos algebraicos lineales.

k=\mathbb {R}

\mathbb {C}

estable

1. Una curva estable es una curva con cierta singularidad "leve", que se utiliza para construir un espacio de módulos de curvas que se comporta bien .

2. Se utiliza un paquete de vectores estable para construir el espacio de módulos de paquetes de vectores.

pila

Una pila parametriza conjuntos de puntos junto con automorfismos.

transformación estricta

Dada una ampliación a lo largo de un subesquema cerrado Z y un morfismo , la transformada estricta de Y (también llamada transformación adecuada) es la ampliación de Y a lo largo del subesquema cerrado . Si f es una inmersión cerrada, entonces el mapa inducido también es una inmersión cerrada.

\pi :{\widetilde {X}}\to X

f:Y\to X

{\widetilde {Y}}\to Y

f^{-1}Z

{\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}

subesquema

Un subesquema , sin calificador, de X es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de X.

superficie

Una variedad algebraica de dimensión dos.

variedad simétrica

Un análogo de un espacio simétrico . Ver variedad simétrica .

t

espacio tangente: Véase espacio tangente de Zariski .
haz de líneas tautológicas: El haz de líneas tautológico de un esquema proyectivo X es el dual de la gavilla retorcida de Serre ; eso es, . ${\mathcal {O}}_{X}(1)$ ${\mathcal {O}}_{X}(-1)$
teorema: Véase el teorema principal de Zariski , teorema de funciones formales , teorema de cambio de base de cohomología , Categoría: Teoremas en geometría algebraica .
incrustación de toro: Un término antiguo para una variedad tórica.
variedad tórica: Una variedad tórica es una variedad normal con la acción de un toro tal que el toro tiene una órbita densa abierta.
geometría tropical: Una especie de geometría algebraica lineal por partes. Ver geometría tropical .
toro: Un toro dividido es producto de un número finito de grupos multiplicativos . $\mathbb {G} _{m}$

Ud.

universal: 1. Si un funtor de módulo F está representado por algún esquema o espacio algebraico M , entonces un objeto universal es un elemento de F ( M ) que corresponde al morfismo de identidad M → M (que es un punto M de M ). Si los valores de F son clases de isomorfismo de curvas con estructura adicional, por ejemplo, entonces un objeto universal se llama curva universal . Un paquete tautológico sería otro ejemplo de objeto universal.; 2. Sean los módulos de curvas proyectivas suaves de género g y el de curvas proyectivas suaves de género g con puntos únicos marcados. En la literatura, el mapa olvidadizo a menudo se llama curva universal. ${\mathcal {M}}_{g}$ ${\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}$ $\pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}$
universalmente: Un morfismo tiene alguna propiedad universalmente si todos los cambios de base del morfismo tienen esta propiedad. Los ejemplos incluyen universalmente catenario , universalmente inyectivo .
no ramificado: Para un punto , considere el morfismo correspondiente de los anillos locales . Sea el ideal máximo de , y sea el ideal generado por la imagen de en . El morfismo no está ramificado (resp. G-no ramificado ) si es localmente de tipo finito (resp. localmente de presentación finita) y si para todo en , es el ideal máximo de y el mapa inducido es una extensión de campo separable finita . ^[21] Esta es la versión geométrica (y generalización) de una extensión de campo no ramificada en la teoría algebraica de números . $y$ $Y$ $f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}$ ${\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ $f$ $y$ $Y$ ${\mathfrak {n}}$ ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}$

V

variedad: sinónimo de "variedad algebraica".
muy amplio: Un haz de líneas L en una variedad X es muy amplio si X puede incrustarse en un espacio proyectivo de modo que L sea la restricción del haz giratorio de Serre O (1) en el espacio proyectivo.

W.

débilmente normal: un esquema es débilmente normal si cualquier morfismo biracional finito es un isomorfismo.
bien divisor: Otro término, pero más estándar, para un "ciclo de codimensión uno"; ver divisor .
buena reciprocidad: Véase reciprocidad de Weil .

z

Espacio Zariski-Riemann: Un espacio de Zariski-Riemann es un espacio localmente anillado cuyos puntos son anillos de valoración.

Notas

^ Prueba: Sea D un divisor de Weil en X. Si D' ~ D , entonces hay una función racional distinta de cero f en X tal que D + ( f ) = D' y luego f es una sección de O _X ( D ) si D' es efectiva. La dirección opuesta es similar. □
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^ Grothendieck y Dieudonné 1964, 1.2.1
^ La noción G-no ramificado es lo que se llama "no ramificado" en EGA, pero seguimos la definición de Raynaud de "no ramificado", de modo que las inmersiones cerradas no están ramificadas. Consulte la etiqueta 02G4 en el proyecto Stacks para obtener más detalles.

Referencias

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Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR 0463157
Kollár, János , "Libro sobre módulos de superficies" disponible en su sitio web [2]
Notas del curso de Martin Olsson escritas por Anton, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/writing/Stacks/Stacks.pdf
Un libro elaborado por muchos autores.