Gavilla dualizadora

Concepto de geometría algebraica

En geometría algebraica, la gavilla dualizadora en un esquema propio X de dimensión n sobre un campo k es una gavilla coherente junto con un funcional lineal ${\displaystyle \omega _{X}}$

${\displaystyle t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k}$

que induce un isomorfismo natural de espacios vectoriales

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi }$

para cada haz coherente F en X (el superíndice * se refiere a un espacio vectorial dual ). ^[1] El funcional lineal se llama morfismo de traza . ${\displaystyle t_{X}}$

Un par , si existe, es único hasta un isomorfismo natural. De hecho, en el lenguaje de la teoría de categorías , es un objeto que representa el functor contravariante de la categoría de haces coherentes en X a la categoría de k -espacios vectoriales. ${\displaystyle (\omega _{X},t_{X})}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}}$

Para una variedad proyectiva normal X , la gavilla dualizadora existe y de hecho es la gavilla canónica : donde hay un divisor canónico . De manera más general, el haz dualizador existe para cualquier esquema proyectivo. ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})}$ ${\displaystyle K_{X}}$

Existe la siguiente variante del teorema de dualidad de Serre : para un esquema proyectivo X de dimensión pura n y una gavilla de Cohen-Macaulay F en X tal que sea de dimensión pura n , existe un isomorfismo natural ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Supp} (F)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}$.

En particular, si X en sí es un esquema de Cohen-Macaulay , entonces la dualidad anterior es válida para cualquier haz localmente libre.

Gavilla de dualización relativa

Dado un morfismo de esquemas presentado finitamente , (Kleiman 1980) define la gavilla dualizadora relativa o como ^[3] la gavilla tal que para cada subconjunto abierto y una gavilla cuasi coherente en , hay un isomorfismo canónico ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$ ${\displaystyle \omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F}$,

que es funcional y se desplaza con restricciones abiertas. ${\displaystyle F}$

Ejemplo : ^[4] Si es un morfismo de intersección local completo entre esquemas de tipo finito sobre un campo, entonces (por definición) cada punto tiene una vecindad abierta y una factorización , una incrustación regular de codimensión seguida de un morfismo suave de dimensión relativa. . Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}}$

donde es el haz de diferenciales relativos de Kähler y es el paquete normal a . ${\displaystyle \Omega _{\pi }^{1}}$ ${\displaystyle N_{U/Z}}$ ${\displaystyle i}$

Ejemplos

Haz dualizante de una curva nodal

Para una curva suave C , su haz dualizante puede estar dado por el haz canónico . ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}}$

Para una curva nodal C con un nodo p , podemos considerar la normalización con dos puntos x , y identificados. Sea el haz de formas 1 racionales con posibles polos simples en x e y , y sea el subhaz que consta de formas 1 racionales con la suma de residuos en x e y igual a cero. Entonces la imagen directa define una gavilla dualizadora para la curva nodal C. La construcción se puede generalizar fácilmente a curvas nodales con múltiples nodos. ${\displaystyle \pi :{\tilde {C}}\to C}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$ ${\displaystyle \pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$

Esto se utiliza en la construcción del paquete de Hodge en el espacio de módulos compactados de curvas : nos permite extender la gavilla canónica relativa sobre el límite que parametriza las curvas nodales. El paquete de Hodge se define entonces como la imagen directa de un haz relativo dualizante.

Haz dualizante de esquemas proyectivos.

Como se mencionó anteriormente, la gavilla dualizadora existe para todos los esquemas proyectivos. Para X un subesquema cerrado de P ⁿ de codimensión r , su haz dualizante se puede dar como . En otras palabras , se utiliza el haz dualizador en el ambiente P ⁿ para construir el haz dualizante en X. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}$

Ver también

• dualidad coherente
• gavilla reflexiva
• Anillo Gorenstein
• Módulo dualizador

Nota

1. Hartshorne 1977, cap. III, § 7.
2. Kollár y Mori 1998, teorema 5.71.
3. Kleiman 1980, Definición 6
4. Arbarello, Cornalba y Griffiths 2011, cap. X., cerca del final del § 2.

Referencias

• Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, Pensilvania (2011). Geometría de Curvas Algebraicas . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi :10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2. SEÑOR  2807457.
• Kleiman, Steven L. (1980). "Dualidad relativa para haces cuasi coherentes" (PDF) . Composición Matemática . 41 (1): 39–60. SEÑOR  0578050.
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-63277-5, señor  1658959
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157

enlaces externos

• Vakil, Ravi. «BASES DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA CLASES 53 Y 54» (PDF) . Matemáticas 216: Fundamentos de la geometría algebraica 2005-06 .
• Gavilla dualizadora relativa (referencia, comportamiento)