funtores representables

En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un funtor representable es un determinado functor de una categoría arbitraria a la categoría de conjuntos . Dichos functores dan representaciones de una categoría abstracta en términos de estructuras conocidas (es decir, conjuntos y funciones ), lo que permite utilizar, en la medida de lo posible, el conocimiento sobre la categoría de conjuntos en otros entornos.

Desde otro punto de vista, los functores representables para una categoría C son los functores dados con C . Su teoría es una amplia generalización de los conjuntos superiores en posets y del teorema de Cayley en teoría de grupos .

Definición

Sea C una categoría localmente pequeña y sea Set la categoría de conjuntos . Para cada objeto A de C, sea Hom( A ,–) el functor hom que asigna el objeto X al conjunto Hom( A , X ).

Se dice que un funtor F  : C → Set es representable si es naturalmente isomorfo a Hom( A ,–) para algún objeto A de C . Una representación de F es un par ( A , Φ) donde

Φ : Hom( A ,–) → F

es un isomorfismo natural.

Un funtor contravariante G de C a Set es lo mismo que un funtor G  : C ^op → Set y comúnmente se llama presheaf . Un presheaf es representable cuando es naturalmente isomorfo al funtor hom contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C .

Elementos universales

Según el lema de Yoneda , las transformaciones naturales de Hom( A ,–) a F están en correspondencia uno a uno con los elementos de F ( A ). Dada una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F el elemento correspondiente u ∈ F ( A ) viene dado por

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

Por el contrario, dado cualquier elemento u ∈ F ( A ) podemos definir una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F vía

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

donde f es un elemento de Hom( A , X ). Para obtener una representación de F queremos saber cuándo la transformación natural inducida por u es un isomorfismo. Esto lleva a la siguiente definición:

Un elemento universal de un funtor F  : C → Set es un par ( A , u ) formado por un objeto A de C y un elemento u ∈ F ( A ) tal que por cada par ( X , v ) formado por un objeto X de C y un elemento v ∈ F ( X ) existe un morfismo único f  : A → X tal que ( Ff )( u ) = v .

Un elemento universal puede verse como un morfismo universal desde el conjunto de un punto {•} al funtor F o como un objeto inicial en la categoría de elementos de F.

La transformación natural inducida por un elemento u ∈ F ( A ) es un isomorfismo si y sólo si ( A , u ) es un elemento universal de F . Por lo tanto , concluimos que las representaciones de F están en correspondencia uno a uno con elementos universales de F. Por este motivo, es común referirse a los elementos universales ( A , u ) como representaciones.

Ejemplos

• Considere el functor contravariante P  : Conjunto → Conjunto que asigna cada conjunto a su conjunto de potencias y cada función a su mapa de imagen inverso . Para representar este funtor necesitamos un par ( A , u ) donde A es un conjunto y u es un subconjunto de A , es decir, un elemento de P ( A ), tal que para todos los conjuntos X , el conjunto hom Hom( X , A ) es isomorfo a P ( X ) mediante Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ). Tome A = {0,1} yu = {1}. Dado un subconjunto S ⊆ X, la función correspondiente de X a A es la función característica de S.
• Los funtores olvidadizos de Set suelen ser representables. En particular, un funtor olvidadizo está representado por ( A , u ) siempre que A sea un objeto libre sobre un conjunto singleton con generador u .
  • El funtor olvidadizo Grp → Conjunto en la categoría de grupos está representado por ( Z , 1).
  • El funtor olvidadizo Anillo → Conjunto en la categoría de anillos está representado por ( Z [ x ], x ), el anillo polinomial en una variable con coeficientes enteros .
  • El funtor olvidadizo Vect → Establecido en la categoría de espacios vectoriales reales está representado por ( R , 1).
  • El funtor olvidadizo Arriba → Conjunto en la categoría de espacios topológicos está representado por cualquier espacio topológico singleton con su elemento único.
• Un grupo G puede considerarse una categoría (incluso un grupoide ) con un objeto que denotamos por •. Un functor de G a Set corresponde entonces a un G -set . El único hom-functor Hom(•,–) de G a Set corresponde al canónico G -set G con la acción de multiplicación por la izquierda. Los argumentos estándar de la teoría de grupos muestran que un functor de G a Set es representable si y sólo si el correspondiente G -set es simplemente transitivo (es decir, un G -torsor o un montón ). Elegir una representación equivale a elegir una identidad para el montón.
• Sea C la categoría de complejos CW con morfismos dados por clases de homotopía de funciones continuas. Para cada número natural n hay un funtor contravariante H ⁿ  : C → Ab que asigna a cada complejo CW su enésimo grupo de cohomología ⁽ con coeficientes enteros). Componiendo esto con el functor olvidadizo tenemos un functor contravariante de C a Set . El teorema de representabilidad de Brown en topología algebraica dice que este functor está representado por un complejo CW K ( Z , n ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane .
• Sea R un anillo conmutativo con identidad y sea R - Mod la categoría de R -módulos. Si M y N son módulos unitarios sobre R , hay un functor covariante B : R - Mod → Conjunto que asigna a cada R -módulo P el conjunto de R -maps bilineales M × N → P y a cada R -módulo homomorfismo f  : P → Q la función B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ) que envía cada mapa bilineal g  : M × N → P al mapa bilineal f ∘ g  : M × N → Q . El funtor B está representado por el módulo R M ⊗ _R N . ^[1]

Propiedades

Unicidad

Las representaciones de funtores son únicas hasta un isomorfismo único. Es decir, si ( A ₁ ,Φ ₁ ) y ( A ₂ ,Φ ₂ ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ : A ₁ → A ₂ tal que

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$

como isomorfismos naturales de Hom( A ₂ ,–) a Hom( A ₁ ,–). Este hecho se desprende fácilmente del lema de Yoneda .

Expresado en términos de elementos universales: si ( A ₁ , u ₁ ) y ( A ₂ , u ₂ ) representan el mismo functor, entonces existe un isomorfismo único φ: A ₁ → A ₂ tal que

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

Preservación de límites

Los functores representables son naturalmente isomorfos a los functores Hom y, por lo tanto, comparten sus propiedades. En particular, los funtores representables (covariantes) preservan todos los límites . De ello se deduce que cualquier funtor que no consiga preservar algún límite no es representable.

Los functores representables contravariantes llevan los colimits a límites.

Adjunto izquierdo

Cualquier funtor K  : C → Conjunto con un adjunto izquierdo F  : Conjunto → C está representado por ( FX , η _X (•)) donde X = {•} es un conjunto singleton y η es la unidad del adjunto.

Por el contrario, si K está representado por un par ( A , u ) y todos los copoderes pequeños de A existen en C , entonces K tiene un F adjunto izquierdo que envía cada conjunto I al I -ésimo copoder de A.

Por lo tanto, si C es una categoría con todos los copoderes pequeños, un funtor K  : C → Set es representable si y sólo si tiene un adjunto izquierdo.

Relación con morfismos universales y adjuntos.

Las nociones categóricas de morfismos universales y funtores adjuntos se pueden expresar utilizando funtores representables.

Sea G  : D → C un funtor y sea X un objeto de C . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de X a G si y sólo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom _C ( X , G –) de D a Set . Se deduce que G tiene un F adjunto izquierdo si y sólo si Hom _C ( X , G –) es representable para todo X en C . El isomorfismo natural Φ _X  : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) produce la conjunción; eso es

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

es una biyección para todos X e Y .

Las afirmaciones duales también son ciertas. Sea F  : C → D un functor y sea Y un objeto de D . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de F a Y si y solo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom _D ( F –, Y ) de C a Set . De ello se deduce que F tiene un G adjunto derecho si y sólo si Hom _D ( F –, Y ) es representable para todo Y en D . ^[2]

Ver también

• Clasificador de subobjetos
• Teorema de densidad

Referencias

1. Hungerford, Thomas. Álgebra . Springer-Verlag. pag. 470.ISBN​ 3-540-90518-9.
2. Nourani, Ciro. Una teoría del modelo funcional: aplicaciones más nuevas a la topología algebraica, conjuntos descriptivos y categorías informáticas Topos . Prensa CRC. pag. 28.ISBN​ 1482231506.

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.