Álgebra de Lie dividida

En el campo matemático de la teoría de Lie , un álgebra de Lie dividida es un par donde es un álgebra de Lie y es una subálgebra de Cartan desdobladora , donde "desdoblamiento" significa que para todo , es triangularizable . Si un álgebra de Lie admite un desdoblamiento, se denomina álgebra de Lie divisible . ^[1] Nótese que para las álgebras de Lie reductivas, se requiere que la subálgebra de Cartan contenga el centro. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tal como el de los números complejos , todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles (de hecho, la subálgebra de Cartan no sólo actúa mediante matrices triangularizables, sino que, más aún, actúa mediante matrices diagonalizables) y todas las divisiones son conjugadas; por lo tanto, las álgebras de Lie divididas son de mayor interés para cuerpos no algebraicamente cerrados.

Las álgebras de Lie divididas son de interés tanto porque formalizan la forma real dividida de un álgebra de Lie compleja, como porque las álgebras de Lie semisimples divididas (más generalmente, álgebras de Lie reductivas divididas) sobre cualquier cuerpo comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados (por ejemplo, tienen esencialmente la misma teoría de representación), y la subálgebra de Cartan desdoblada cumple el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en (Bourbaki 2005), por ejemplo.

Propiedades

• En un cuerpo algebraicamente cerrado, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. En un cuerpo no algebraicamente cerrado, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas en general; sin embargo, en un álgebra de Lie semisimple divisible, todas las álgebras de Cartan divisibles son conjugadas.
• Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.
• Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, existen álgebras de Lie semisimples no divisibles. ^[2]
• En un álgebra de Lie divisible, pueden existir subálgebras de Cartan que no sean divisibles. ^[3]
• Las sumas directas de álgebras de Lie divisibles y los ideales en álgebras de Lie divisibles son divisibles.

Álgebras de Lie reales divididas

Para un álgebra de Lie real, divisible es equivalente a cualquiera de estas condiciones: ^[4]

• El rango real es igual al rango complejo.
• El diagrama de Satake no tiene vértices negros ni flechas.

Cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene un álgebra de Lie real dividida única (hasta isomorfismo), que también es semisimple, y es simple si y solo si el álgebra de Lie compleja lo es. ^[5]

Para las álgebras de Lie semisimples reales, las álgebras de Lie divididas son opuestas a las álgebras de Lie compactas : el grupo de Lie correspondiente está "lo más lejos posible" de ser compacto.

Ejemplos

Las formas reales divididas para las álgebras de Lie semisimples complejas son: ^[6]

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• Álgebras de Lie excepcionales: tienen formas reales divididas E I, E V, E VIII, F I, G . ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Éstas son las álgebras de Lie de los grupos reales divididos de los grupos de Lie complejos.

Nótese que para y , la forma real son los puntos reales del (álgebra de Lie del) mismo grupo algebraico , mientras que para se deben usar las formas divididas (de índice máximo indefinido), ya que el grupo SO es compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Véase también

• Álgebra de Lie compacta
• Forma real
• Número complejo dividido
• Grupo ortogonal dividido

Referencias

1. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple dividida, pág. 77)
2. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple dividida, Ejercicio 2 a pág. 77)
3. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple dividida, Ejercicio 2b pág . 77)
4. (Onishchik y Vinberg 1994, pág.157)
5. (Onishchik y Vinberg 1994, Teorema 4.4, p.158)
6. (Onishchik y Vinberg 1994, pág.158)

• Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de Lie semisimples divididas", Elementos de matemáticas: grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 7-9 , Springer, ISBN 978-3-540-43405-4
• Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), "4.4: Álgebras de Lie semisimples reales divididas", Grupos de Lie y álgebras de Lie III: estructura de los grupos de Lie y álgebras de Lie , Springer, págs. 157–158, ISBN 978-3-540-54683-2