En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de anillos , el término anillo irreducible se utiliza de diferentes maneras.
- Un anillo (irreducible) es un anillo en el que la intersección de dos ideales distintos de cero siempre es distinta de cero.
- Un anillo directamente irreducible es un anillo que no puede escribirse como la suma directa de dos anillos distintos de cero .
- Un anillo subdirectamente irreducible es un anillo con un ideal bilateral mínimo único y distinto de cero.
- Un anillo con un espectro irreducible es un anillo cuyo espectro es irreducible como espacio topológico.
Los anillos "irreducibles por encuentro" se denominan "anillos irreducibles" en álgebra conmutativa . En este artículo se adopta el término "irreducible por encuentro" para distinguir entre los distintos tipos que se analizan.
Los anillos irreducibles de encuentro desempeñan un papel importante en el álgebra conmutativa, y los anillos directamente irreducibles y subdirectamente irreducibles desempeñan un papel en la teoría general de la estructura de los anillos. Las álgebras subdirectamente irreducibles también han encontrado uso en la teoría de números .
Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen identidad multiplicativa , pero no son necesariamente conmutativos .
Definiciones
Los términos "reducible por encuentro", "reducible directamente" y "reducible subdirectamente" se utilizan cuando un anillo no es irreducible por encuentro, o no es directamente irreducible, o no es subdirectamente irreducible, respectivamente.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo conmutativo R :
- R es irreducible;
- El ideal cero en R es irreducible , es decir, la intersección de dos ideales distintos de cero de A siempre es distinta de cero.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :
- R es subdirectamente irreducible;
- cuando R se escribe como un producto subdirecto de anillos, entonces una de las proyecciones de R sobre un anillo en el producto subdirecto es un isomorfismo ;
- La intersección de todos los ideales distintos de cero de R es distinta de cero.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo conmutativo R : [1]
Ejemplos y propiedades
Si R es subdirectamente irreducible o irreducible-totalmente, entonces también es directamente irreducible, pero las recíprocas no son verdaderas.
- Todos los dominios integrales son irreducibles, pero no todos son subdirectamente irreducibles (por ejemplo, Z ). De hecho, un anillo conmutativo es un dominio si y solo si es irreducible y reducido .
- Un anillo conmutativo es un dominio si y sólo si su espectro es irreducible y es reducido . [2] [3] [4]
- El anillo cociente Z /4 Z es un anillo que tiene los tres sentidos de irreducibilidad, pero no es un dominio. Su único ideal propio es 2 Z /4 Z , que es maximal , por lo tanto primo. El ideal también es minimal .
- El producto directo de dos anillos distintos de cero nunca es directamente irreducible y, por lo tanto, nunca es irreducible en su totalidad ni subdirectamente irreducible. Por ejemplo, en Z × Z la intersección de los ideales distintos de cero {0} × Z y Z × {0} es igual al ideal cero {0} × {0}.
- Los anillos conmutativos directamente irreducibles son anillos conexos ; es decir, sus únicos elementos idempotentes son 0 y 1.
Generalizaciones
Los anillos irreducibles conmutativos juegan un papel elemental en la geometría algebraica , donde este concepto se generaliza al concepto de un esquema irreducible . [ cita requerida ]
Notas
- ^ El proyecto Stacks, etiqueta 02D4
- ^ El proyecto Stacks, Etiqueta 01OK
- ^ El proyecto Stacks, Tag 01ON
- ^ El proyecto Stacks, etiqueta 01J2
