En la rama de las matemáticas conocida como álgebra universal (y en sus aplicaciones), un álgebra subdirectamente irreducible es un álgebra que no se puede factorizar como un producto subdirecto de álgebras "más simples". Las álgebras subdirectamente irreducibles desempeñan un papel en álgebra un tanto análogo al de los primos en la teoría de números .
Se dice que un álgebra universal A es subdirectamente irreducible cuando A tiene más de un elemento y cuando cualquier representación subdirecta de A incluye (como factor) un álgebra isomorfa a A , siendo el isomorfismo dado por el mapa de proyección.
El teorema de representación subdirecta del álgebra universal establece que toda álgebra es subdirectamente representable por sus cocientes subdirectamente irreducibles . Por lo tanto, una definición equivalente de "subdirectamente irreducible" es cualquier álgebra A que no sea subdirectamente representable por aquellos de sus cocientes no isomorfos a A. (Esto no es exactamente lo mismo que "por sus cocientes propios" porque un cociente propio de A puede ser isomorfo a A , por ejemplo, el cociente de la semirretícula ( Z , min ) obtenida al identificar solo los dos elementos 3 y 4.)
Un corolario inmediato es que cualquier variedad , como una clase cerrada bajo homomorfismos , subálgebras y productos directos , está determinada por sus miembros subdirectamente irreducibles, ya que cada álgebra A en la variedad puede construirse como una subálgebra de un producto directo adecuado de los cocientes subdirectamente irreducibles de A , todos los cuales pertenecen a la variedad porque A lo hace. Por esta razón, a menudo no se estudia la variedad en sí, sino solo sus irreducibles subdirectos.
Un álgebra A es subdirectamente irreducible si y solo si contiene dos elementos que se identifican por cada cociente propio, equivalentemente, si y solo si su red Con A de congruencias tiene un elemento mínimo no identidad. Es decir, cualquier irreducible subdirecto debe contener un par específico de elementos que atestiguan su irreducibilidad de esta manera. Dado tal testigo ( a , b ) de la irreducibilidad subdirecta, decimos que el irreducible subdirecto es ( a , b )-irreducible.
Dada cualquier clase C de álgebras similares, el lema de Jónsson (debido a Bjarni Jónsson ) establece que si la variedad HSP( C ) generada por C es congruentemente distributiva, sus irreducibles subdirectos están en HSP U ( C ), es decir, son cocientes de subálgebras de ultraproductos de miembros de C . (Si C es un conjunto finito de álgebras finitas, la operación de ultraproducto es redundante).
Una condición necesaria y suficiente para que un álgebra de Heyting sea subdirectamente irreducible es que haya un elemento máximo estrictamente inferior a 1. El par testigo es ese elemento y 1, y la identificación de cualquier otro par a , b de elementos identifica tanto a → b como b → a con 1, colapsando así todo lo que esté por encima de esas dos implicaciones a 1. Por lo tanto, toda cadena finita de dos o más elementos como un álgebra de Heyting es subdirectamente irreducible.
Por el Lema de Jónsson, las álgebras subdirectamente irreducibles de una variedad congruente-distributiva generadas por un conjunto finito de álgebras finitas no son mayores que las álgebras generadoras, ya que los cocientes y subálgebras de un álgebra A nunca son mayores que la propia A. Por ejemplo, los irreducibles subdirectos en la variedad generada por un álgebra de Heyting linealmente ordenada finita H deben ser simplemente los cocientes no degenerados de H , es decir, todas las álgebras de Heyting no degeneradas linealmente ordenadas más pequeñas. Las condiciones no se pueden omitir en general: por ejemplo, la variedad de todas las álgebras de Heyting es generada por el conjunto de sus álgebras subdirectamente irreducibles finitas, pero existen álgebras de Heyting subdirectamente irreducibles de cardinalidad arbitraria (infinita) . También existe un único álgebra finita que genera una variedad (no congruente-distributiva) con irreducibles subdirectos arbitrariamente grandes. [2]