Retroceso (teoría de categorías)

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un pullback (también llamado producto de fibra , producto de fibra , producto fibroso o cuadrado cartesiano ) es el límite de un diagrama que consta de dos morfismos $f : X \to Z$ y $g : Y \to Z$ con un codominio común. El pullback se escribe

P = X \times f, Z, g Y

Generalmente los morfismos $f$ y $g$ se omiten de la notación, y luego se escribe el pullback

P = X \times Z Y

El pullback viene equipado con dos morfismos naturales $P \to X$ y $P \to Y$ . El pullback de dos morfismos $f$ y $g$ no necesita existir, pero si existe, está esencialmente definido de manera única por los dos morfismos. En muchas situaciones, $X \times Z Y$ puede considerarse intuitivamente como formado por pares de elementos $(x, y)$ con $x$ en $X$ , $y$ en $Y$ , y $f (x) = g (y)$ . Para la definición general, se utiliza una propiedad universal , que esencialmente expresa el hecho de que el pullback es la forma "más general" de completar los dos morfismos dados a un cuadrado conmutativo .

El concepto dual del pullback es el pushout .

Propiedad universal

Explícitamente, un pullback de los morfismos $f$ y $g$ consiste en un objeto $P$ y dos morfismos $p 1 : P \to X$ y $p 2 : P \to Y$ para los cuales el diagrama

conmuta . Además, el pullback $(P, p 1, p 2)$ debe ser universal con respecto a este diagrama. ^[1] Es decir, para cualquier otro triple $(Q, q 1, q 2)$ donde $q 1 : Q \to X$ y $q 2 : Q \to Y$ son morfismos con $f q 1 = g q 2$ , debe existir un único $u : Q \to P$ tal que

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

Esta situación se ilustra en el siguiente diagrama conmutativo.

Como ocurre con todas las construcciones universales, un pullback, si existe, es único salvo isomorfismo . De hecho, dados dos pullbacks $(A, a 1, a 2)$ y $(B, b 1, b 2)$ del mismo cospan $X \to Z \leftarrow Y$ , existe un isomorfismo único entre $A$ y $B$ respecto de la estructura del pullback.

Retroceso y producto

El pullback es similar al producto , pero no lo mismo. Se puede obtener el producto "olvidando" que existen los morfismos $f$ y $g , y olvidando que existe el objeto$ $Z.$ Entonces se queda una categoría discreta que contiene solo los dos objetos $X$ e $Y$ , y ninguna flecha entre ellos. Esta categoría discreta se puede utilizar como el conjunto de índices para construir el producto binario ordinario. Por lo tanto, el pullback se puede considerar como el producto ordinario (cartesiano), pero con una estructura adicional. En lugar de "olvidar" $Z$ , $f$ y $g$ , también se pueden "trivializar" especializando $Z$ para que sea el objeto terminal (asumiendo que existe). Entonces, $f$ y $g$ se determinan de forma única y , por lo tanto, no llevan información, y el pullback de este cospan se puede ver como el producto de $X$ e $Y.$

Ejemplos

Anillos conmutativos

En la categoría de anillos conmutativos (con identidad), el pullback se denomina producto fibroso. Sean A $,$ B $y$ C $anillos$ conmutativos (con identidad) y homomorfismos de anillo $α : A \to C$ y $β : B \to C$ (que preservan la identidad) . Entonces el pullback de este diagrama existe y está dado por el subanillo del anillo producto $A$ $\times$ $B$ definido por

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

junto con los morfismos

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

dado por y para todos . Entonces tenemos $\beta '(a,b)=a$ $\alpha '(a,b)=b$ $(a,b)\in A\times _{C}B$

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

Grupos y módulos

En completa analogía con el ejemplo de los anillos conmutativos anterior, se puede demostrar que todos los retrocesos existen en la categoría de grupos y en la categoría de módulos sobre algún anillo fijo.

Conjuntos

En la categoría de conjuntos , el pullback de las funciones $f : X \to Z$ y $g : Y \to Z$ siempre existe y está dado por el conjunto

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

junto con las restricciones de los mapas de proyección $π 1$ y $π 2$ a $X \times Z Y$ .

Alternativamente, se puede ver el retroceso en $el conjunto$ de forma asimétrica:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

donde es la unión disjunta de conjuntos (los conjuntos involucrados no son disjuntos por sí mismos a menos que $f$ resp. $g$ sea inyectivo ). En el primer caso, la proyección $π$ $1$ extrae el índice $x mientras que$ $π$ $2$ olvida el índice, dejando elementos de $Y$ . $\coprod$

Este ejemplo motiva otra forma de caracterizar el pullback: como el ecualizador de los morfismos $f \circ p 1, g \circ p 2 : X \times Y \to Z$ donde $X \times Y$ es el producto binario de $X$ e $Y$ y $p 1$ y $p 2$ son las proyecciones naturales. Esto muestra que existen pullbacks en cualquier categoría con productos binarios e ecualizadores. De hecho, por el teorema de existencia para límites , todos los límites finitos existen en una categoría con productos binarios e ecualizadores; equivalentemente, todos los límites finitos existen en una categoría con objeto terminal y pullbacks (por el hecho de que producto binario = pullback en el objeto terminal, y que un ecualizador es un pullback que involucra producto binario).

Gráficas de funciones

Un ejemplo específico de un pullback lo da el gráfico de una función. Supongamos que es una función. El gráfico de $f$ es el conjunto El gráfico se puede reformular como el pullback de $f$ y la función identidad en $Y$ . Por definición, este pullback es y esto es igual a . $f\colon X\to Y$ $\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.$ $X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,$ $\Gamma _{f}$

Haces de fibras

Otro ejemplo de pullback proviene de la teoría de los fibrados : dada una función de fibrado $π : E \to B$ y una función continua $f : X \to B$ , el pullback (formado en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas ) $X \times B E$ es un fibrado sobre $X$ llamado fibrado de pullback . El diagrama conmutativo asociado es un morfismo de fibrados. Este es también el caso en la categoría de variedades diferenciables. Un caso especial es el pullback de dos fibrados $E 1, E 2 \to B$ . En este caso $E 1 \times E 2$ es un fibrado sobre $B \times B$ , y el pullback a lo largo de la función diagonal $B \to B \times B$ da un espacio homeomorfo (diffeomorfo) a $E 1 \times B E 2$ , que es un fibrado sobre $B$ . El retroceso de dos mapas transversales suaves en la misma variedad diferenciable es también una variedad diferenciable, y el espacio tangente del retroceso es el retroceso de los espacios tangentes a lo largo de los mapas diferenciales.

Preimágenes e intersecciones

Las preimágenes de conjuntos bajo funciones se pueden describir como retrocesos de la siguiente manera:

Supóngase $f : A \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Sea $g$ la función de inclusión $B 0 ↪ B$ . Entonces, un pullback de $f$ y $g$ (en $el conjunto$ ) está dado por la preimagen $f -1 [B 0]$ junto con la inclusión de la preimagen en $A$

f -1 [B 0] ↪ A

y la restricción de $f$ a $f -1 [B 0]$

f -1 [B 0] \to B 0

Debido a este ejemplo, en una categoría general, el pullback de un morfismo $f$ y un monomorfismo $g$ puede considerarse como la "preimagen" bajo $f$ del subobjeto especificado por $g$ . De manera similar, los pullbacks de dos monomorfismos pueden considerarse como la "intersección" de los dos subobjetos.

Mínimo común múltiplo

Consideremos el monoide multiplicativo de números enteros positivos $Z +$ como una categoría con un objeto. En esta categoría, el pullback de dos números enteros positivos $m$ y $n$ es simplemente el par , donde los numeradores son ambos el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ . El mismo par es también el pushout. $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$

Propiedades

En cualquier categoría con un objeto terminal $T$ , el retroceso $X \times T Y$ es simplemente el producto ordinario $X \times Y$ . ^[2]
Los monomorfismos son estables bajo condiciones de pullback: si la flecha $f$ en el diagrama es mónica, entonces también lo es la flecha $p 2$ . De manera similar, si $g$ es mónica, entonces también lo es $p 1$ . ^[3]
Los isomorfismos también son estables y, por lo tanto, por ejemplo, $X \times X Y ≅ Y$ para cualquier mapa $Y \to X$ (donde el mapa implícito $X \to X$ es la identidad).
En una categoría abeliana existen todos los pullbacks, ^[4] y preservan los núcleos , en el siguiente sentido: si

es un diagrama de pullback, entonces el morfismo inducido

ker(p 2) \to ker(f)

es un isomorfismo, ^[5] y también lo es el morfismo inducido

ker(p 1) \to ker(g)

. Todo diagrama de pullback da lugar así a un diagrama conmutativo de la siguiente forma, donde todas las filas y columnas son exactas :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

Además, en una categoría abeliana, si

X \to Z

es un epimorfismo, entonces también lo es su retroceso

P \to Y

, y simétricamente: si

Y \to Z

es un epimorfismo, entonces también lo es su retroceso

P \to X

. ^[6] En estas situaciones, el cuadrado de retroceso es también un cuadrado de expulsión. ^[7]

Existe un isomorfismo natural ( A × _C B )× _B D ≅ A × _C D . Explícitamente, esto significa:
- Si se dan las funciones f : A → C , g : B → C y h : D → B y
- El retroceso de f y g está dado por r : P → A y s : P → B , y
- El retroceso de s y h viene dado por t : Q → P y u : Q → D ,
- entonces el retroceso de f y gh viene dado por rt : Q → A y u : Q → D.

Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de retroceso, colocados uno al lado del otro y compartiendo un morfismo, forman un cuadrado de retroceso más grande cuando se ignora el morfismo interno compartido.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

Cualquier categoría con retrocesos y productos tiene ecualizadores.

Retrocesos débiles

Un retroceso débil de un cospan $X \to Z \leftarrow Y$ es un cono sobre el cospan que es solo débilmente universal, es decir, no se requiere que el morfismo mediador $u : Q \to P$ anterior sea único.

Véase también

Notas

^ Mitchell, pág. 9
^ Adámek, pág. 197.
^ Mitchell, pág. 9
^ Mitchell, pág. 32
^ Mitchell, pág. 15
^ Mitchell, pág. 34
^ Mitchell, pág. 39

Referencias

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF de 4,2 MB). Publicado originalmente por John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 (ahora edición gratuita en línea).
Cohn, Paul M. ; Universal Algebra (1981), D. Reidel Publishing, Holanda, ISBN 90-277-1213-1 (Publicado originalmente en 1965, por Harper & Row) .
Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Academic Press.

Enlaces externos

Página web interactiva que genera ejemplos de pullbacks en la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine.
retroceso en el n Lab