En matemáticas , un grupo reductivo es un tipo de grupo algebraico lineal sobre un campo . Una definición es que un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo perfecto es reductivo si tiene una representación que tiene un núcleo finito y es una suma directa de representaciones irreducibles . Los grupos reductivos incluyen algunos de los grupos más importantes en matemáticas, como el grupo lineal general GL ( n ) de matrices invertibles , el grupo ortogonal especial SO ( n ) y el grupo simpléctico Sp (2 n ). Los grupos algebraicos simples y (más generalmente) los grupos algebraicos semisimples son reductivos.
Claude Chevalley demostró que la clasificación de grupos reductivos es la misma en cualquier campo algebraicamente cerrado . En particular, los grupos algebraicos simples se clasifican mediante diagramas de Dynkin , como en la teoría de grupos de Lie compactos o álgebras de Lie complejas semisimples . Los grupos reductivos en un campo arbitrario son más difíciles de clasificar, pero para muchos campos, como los números reales R o un campo numérico , la clasificación se comprende bien. La clasificación de grupos finitos simples dice que la mayoría de los grupos finitos simples surgen como el grupo G ( k ) de k - puntos racionales de un grupo algebraico simple G sobre un campo finito k , o como variantes menores de esa construcción.
Los grupos reductivos tienen una rica teoría de la representación en varios contextos. Primero, se pueden estudiar las representaciones de un grupo reductivo G sobre un campo k como un grupo algebraico, que son acciones de G sobre k -espacios vectoriales. Pero también se pueden estudiar las representaciones complejas del grupo G ( k ) cuando k es un campo finito, o las representaciones unitarias de dimensión infinita de un grupo reductivo real, o las representaciones automórficas de un grupo algebraico adélico . La teoría de la estructura de grupos reductivos se utiliza en todas estas áreas.
Un grupo algebraico lineal sobre un campo k se define como un esquema de subgrupo cerrado suave de GL ( n ) sobre k , para algún entero positivo n . De manera equivalente, un grupo algebraico lineal sobre k es un esquema de grupo afín suave sobre k .
Un grupo algebraico lineal conectado sobre un campo algebraicamente cerrado se llama semisimple si cada subgrupo normal conectado y soluble de es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conectado sobre un campo algebraicamente cerrado se llama reductivo si el subgrupo normal unipotente conectado suave más grande es trivial. [1] Este subgrupo normal se llama radical unipotente y se denota . (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos estén conectados). Un grupo sobre un campo arbitrario k se llama semisimple o reductivo si el cambio de base es semisimple o reductivo, donde es un cierre algebraico de k . (Esto es equivalente a la definición de grupos reductivos en la introducción cuando k es perfecto. [2] ) Cualquier toro sobre k , como el grupo multiplicativo G m , es reductivo.
Sobre campos de característica cero, otra definición equivalente de grupo reductivo es un grupo conectado que admite una representación semisimple fiel que permanece semisimple sobre su cierre algebraico [3] página 424 .
Un grupo algebraico lineal G sobre un campo k se llama simple (o k - simple ) si es semisimple, no trivial, y todo subgrupo normal conexo suave de G sobre k es trivial o igual a G. [4] (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple".) Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, en que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier número entero n al menos 2 y cualquier campo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple y su centro es el esquema de grupo μ n de n- ésimas raíces de la unidad.
Una isogenia central de grupos reductivos es un homomorfismo sobreyectivo con un esquema de subgrupo central finito . Todo grupo reductivo sobre un campo admite una isogenia central a partir del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo, sobre cualquier campo k ,
Es un poco incómodo que la definición de un grupo reductivo sobre un cuerpo implique el paso a la clausura algebraica. Para un campo perfecto k , eso se puede evitar: un grupo algebraico lineal G sobre k es reductivo si y sólo si todo k -subgrupo k normal unipotente conexo suave de G es trivial. Para un campo arbitrario, la última propiedad define un grupo pseudoreductivo , que es algo más general.
Un grupo reductor G sobre un campo k se llama división si contiene un toro máximo dividido T sobre k (es decir, un toro dividido en G cuya base cambia a un toro máximo en ). Es equivalente a decir que T es un toro dividido en G que es máximo entre todos los k -tori en G. [5] Este tipo de grupos son útiles porque su clasificación se puede describir mediante datos combinatorios llamados datos raíz.
Un ejemplo fundamental de grupo reductor es el grupo lineal general de matrices invertibles n × n sobre un campo k , para un número natural n . En particular, el grupo multiplicativo G m es el grupo GL (1), por lo que su grupo G m ( k ) de k -puntos racionales es el grupo k * de elementos distintos de cero de k bajo multiplicación. Otro grupo reductor es el grupo lineal especial SL ( n ) sobre un campo k , el subgrupo de matrices con determinante 1. De hecho, SL ( n ) es un grupo algebraico simple para n al menos 2.
Un grupo simple importante es el grupo simpléctico Sp (2 n ) sobre un campo k , el subgrupo de GL (2 n ) que conserva una forma bilineal alterna no degenerada en el espacio vectorial k 2 n . Asimismo, el grupo ortogonal O ( q ) es el subgrupo del grupo lineal general que conserva una forma cuadrática no degenerada q en un espacio vectorial sobre un campo k . El grupo algebraico O ( q ) tiene dos componentes conectados , y su componente identidad SO ( q ) es reductivo, de hecho simple para q de dimensión n al menos 3. (Para k de característica 2 y n impar, el esquema de grupo O ( q ) es de hecho conexo pero no suave sobre k . El grupo simple SO ( q ) siempre se puede definir como el subgrupo conexo suave máximo de O ( q ) sobre k .) Cuando k es algebraicamente cerrado, dos cuadráticos cualesquiera (no degenerados) las formas de la misma dimensión son isomorfas, por lo que es razonable llamar a este grupo SO ( n ). Para un campo general k , diferentes formas cuadráticas de dimensión n pueden producir grupos simples no isomorfos SO ( q ) sobre k , aunque todos tienen el mismo cambio de base en la clausura algebraica .
El grupo y sus productos se denominan toros algebraicos . Son ejemplos de grupos reductivos ya que se insertan a través de la diagonal y, desde esta representación, su radical unipotente es trivial. Por ejemplo, incrustado desde el mapa.
Tenga en cuenta que la normalidad del radical unipotente implica que el grupo cociente es reductivo. Por ejemplo,
Todo grupo de Lie compacto y conectado tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción proporciona una correspondencia uno a uno entre grupos de Lie compactos conectados y grupos reductivos complejos, hasta el isomorfismo. Para un grupo de Lie compacto K con complexificación G , la inclusión de K en el grupo reductor complejo G ( C ) es una equivalencia de homotopía , con respecto a la topología clásica en G ( C ). Por ejemplo, la inclusión del grupo unitario U ( n ) a GL ( n , C ) es una equivalencia de homotopía.
Para un grupo reductivo G sobre un campo de característica cero, todas las representaciones de dimensión finita de G (como grupo algebraico) son completamente reducibles , es decir, son sumas directas de representaciones irreducibles. [6] De ahí el nombre de "reductivo". Tenga en cuenta, sin embargo, que la reducibilidad completa falla para los grupos reductores en características positivas (aparte de tori). Más detalladamente: un esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un campo k se llama linealmente reductivo si sus representaciones de dimensión finita son completamente reducibles. Para k de característica cero, G es linealmente reductivo si y sólo si el componente identidad G o de G es reductivo. [7] Sin embargo, para k de característica p >0, Masayoshi Nagata demostró que G es linealmente reductivo si y sólo si G o es de tipo multiplicativo y G / G o tiene orden primo con respecto a p . [8]
La clasificación de los grupos algebraicos reductivos se realiza en términos del sistema de raíces asociado , como en las teorías de álgebras de Lie complejas semisimples o grupos de Lie compactos. Así es como aparecen las raíces para los grupos reductivos.
Sea G un grupo reductor dividido sobre un campo k , y sea T un toro máximo dividido en G ; entonces T es isomorfo a ( G m ) n para algún n , donde n se llama rango de G . Cada representación de T (como grupo algebraico) es una suma directa de representaciones unidimensionales. [9] Un peso para G significa una clase de isomorfismo de representaciones unidimensionales de T , o equivalentemente un homomorfismo T → G m . Los pesos forman un grupo X ( T ) bajo producto tensorial de representaciones, con X ( T ) isomorfo al producto de n copias de los números enteros , Z n .
La representación adjunta es la acción de G por conjugación sobre su álgebra de Lie . Una raíz de G significa un peso distinto de cero que se produce en la acción de T ⊂ G sobre . El subespacio de correspondiente a cada raíz es unidimensional, y el subespacio de fijado por T es exactamente el álgebra de Lie de T. [10] Por lo tanto, el álgebra de Lie de G se descompone junto con subespacios unidimensionales indexados por el conjunto Φ de raíces:
Por ejemplo, cuando G es el grupo GL ( n ), su álgebra de Lie es el espacio vectorial de todas las matrices n × n sobre k . Sea T el subgrupo de matrices diagonales en G . Luego, la descomposición del espacio raíz se expresa como la suma directa de las matrices diagonales y los subespacios unidimensionales indexados por las posiciones fuera de la diagonal ( i , j ). Escribiendo L 1 ,..., L n para la base estándar de la red de pesos X ( T ) ≅ Z n , las raíces son los elementos Li − L j para todo i ≠ j de 1 a n .
Las raíces de un grupo semisimple forman un sistema de raíces ; esta es una estructura combinatoria que se puede clasificar completamente. De manera más general, las raíces de un grupo reductivo forman un dato de raíz , una ligera variación. [11] El grupo Weyl de un grupo reductor G significa el grupo cociente del normalizador de un toro máximo por el toro, W = N G ( T )/ T . El grupo de Weyl es de hecho un grupo finito generado por reflexiones. Por ejemplo, para el grupo GL ( n ) (o SL ( n ) ), el grupo Weyl es el grupo simétrico Sn .
Hay un número finito de subgrupos de Borel que contienen un toro máximo dado, y se permutan simplemente transitivamente por el grupo Weyl (que actúa por conjugación ). [12] Una elección del subgrupo de Borel determina un conjunto de raíces positivas Φ + ⊂ Φ, con la propiedad de que Φ es la unión disjunta de Φ + y −Φ + . Explícitamente, el álgebra de Lie de B es la suma directa del álgebra de Lie de T y los espacios de raíces positivas:
Por ejemplo, si B es el subgrupo Borel de matrices triangulares superiores en GL ( n ), entonces esta es la descomposición obvia del subespacio de matrices triangulares superiores en . Las raíces positivas son L i − L j para 1 ≤ i < j ≤ n .
Una raíz simple significa una raíz positiva que no es la suma de otras dos raíces positivas. Escribe Δ para el conjunto de raíces simples. El número r de raíces simples es igual al rango del subgrupo conmutador de G , llamado rango semisimple de G (que es simplemente el rango de G si G es semisimple). Por ejemplo, las raíces simples para GL ( n ) (o SL ( n )) son L i − L i +1 para 1 ≤ i ≤ n − 1.
Los sistemas de raíces se clasifican mediante el correspondiente diagrama de Dynkin , que es un grafo finito (con algunas aristas dirigidas o múltiples). El conjunto de vértices del diagrama de Dynkin es el conjunto de raíces simples. En resumen, el diagrama de Dynkin describe los ángulos entre las raíces simples y sus longitudes relativas, con respecto a un producto interno invariante del grupo Weyl en la red de pesos. Los diagramas de Dynkin conectados (correspondientes a grupos simples) se muestran a continuación.
Para un grupo reductivo dividido G sobre un campo k , un punto importante es que una raíz α determina no solo un subespacio unidimensional del álgebra de Lie de G , sino también una copia del grupo aditivo G a en G con la Lie dada álgebra, llamado subgrupo raíz U α . El subgrupo raíz es la copia única del grupo aditivo en G que está normalizado por T y que tiene el álgebra de Lie dada. [10] Todo el grupo G es generado (como grupo algebraico) por T y los subgrupos de raíces, mientras que el subgrupo B de Borel es generado por T y los subgrupos de raíces positivas. De hecho, un grupo semisimple dividido G es generado únicamente por los subgrupos raíz.
Para un grupo reductor dividido G sobre un campo k , los subgrupos conectados suaves de G que contienen un subgrupo Borel B de G dado están en correspondencia uno a uno con los subconjuntos del conjunto Δ de raíces simples (o equivalentemente, los subconjuntos del conjunto de vértices del diagrama de Dynkin). Sea r el orden de Δ, el rango semisimple de G. Cada subgrupo parabólico de G está conjugado a un subgrupo que contiene B por algún elemento de G ( k ). Como resultado, hay exactamente 2 r clases de conjugación de subgrupos parabólicos en G sobre k . [13] Explícitamente, el subgrupo parabólico correspondiente a un subconjunto dado S de Δ es el grupo generado por B junto con los subgrupos raíz U −α para α en S . Por ejemplo, los subgrupos parabólicos de GL ( n ) que contienen el subgrupo B de Borel anterior son los grupos de matrices invertibles con entradas cero debajo de un conjunto dado de cuadrados a lo largo de la diagonal, como por ejemplo:
Por definición, un subgrupo parabólico P de un grupo reductor G sobre un campo k es un k -subgrupo suave tal que la variedad cociente G / P es propia sobre k , o equivalentemente proyectiva sobre k . Así, la clasificación de subgrupos parabólicos equivale a una clasificación de las variedades proyectivas homogéneas para G (con grupo estabilizador suave; eso no es ninguna restricción para k de característica cero). Para GL ( n ), estas son las variedades de banderas , que parametrizan secuencias de subespacios lineales de dimensiones dadas a 1 ,..., a i contenidos en un espacio vectorial fijo V de dimensión n :
Para el grupo ortogonal o el grupo simpléctico, las variedades homogéneas proyectivas tienen una descripción similar a las variedades de banderas isotrópicas con respecto a una forma cuadrática o simpléctica determinada. Para cualquier grupo reductivo G con un subgrupo B de Borel , G / B se denomina variedad bandera o variedad bandera de G.
Chevalley demostró en 1958 que los grupos reductivos sobre cualquier campo algebraicamente cerrado se clasifican hasta el isomorfismo mediante datos de raíz. [14] En particular, los grupos semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado se clasifican hasta isogenias centrales mediante su diagrama de Dynkin, y los grupos simples corresponden a los diagramas conexos. Por tanto, existen grupos simples de tipos A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 . Este resultado es esencialmente idéntico a las clasificaciones de grupos de Lie compactos o álgebras de Lie complejas semisimples, realizadas por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En particular, las dimensiones, centros y otras propiedades de los grupos algebraicos simples se pueden leer en la lista de grupos de Lie simples . Es de destacar que la clasificación de los grupos reductivos es independiente de la característica. A modo de comparación, hay muchas más álgebras de Lie simples en característica positiva que en característica cero.
Los grupos excepcionales G de tipo G 2 y E 6 habían sido construidos anteriormente, al menos en la forma del grupo abstracto G ( k ), por LE Dickson . Por ejemplo, el grupo G 2 es el grupo de automorfismos de un álgebra de octoniones sobre k . Por el contrario, los grupos Chevalley del tipo F 4 , E 7 , E 8 sobre un campo de característica positiva eran completamente nuevos.
De manera más general, la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma en cualquier campo. [15] Un grupo semisimple G sobre un campo k se llama simplemente conexo si cada isogenia central de un grupo semisimple a G es un isomorfismo. (Para G semisimple sobre los números complejos , estar simplemente conexo en este sentido es equivalente a que G ( C ) sea simplemente conexo en la topología clásica). La clasificación de Chevalley da que, sobre cualquier campo k , hay un grupo semisimple dividido simplemente conexo único. G con un diagrama de Dynkin dado, con grupos simples correspondientes a los diagramas conectados. En el otro extremo, un grupo semisimple es de tipo adjunto si su centro es trivial. Los grupos semisimples divididos sobre k con el diagrama de Dynkin dado son exactamente los grupos G / A , donde G es el grupo simplemente conectado y A es un esquema de k -subgrupo del centro de G.
Por ejemplo, los grupos simples divididos simplemente conectados sobre un campo k correspondientes a los diagramas de Dynkin "clásicos" son los siguientes:
El grupo de automorfismo externo de un grupo reductor dividido G sobre un campo k es isomorfo al grupo de automorfismo del dato raíz de G. Además, el grupo de automorfismos de G se divide como un producto semidirecto :
donde Z es el centro de G. [16] Para un grupo G dividido semisimple simplemente conectado sobre un campo, el grupo de automorfismo externo de G tiene una descripción más simple: es el grupo de automorfismo del diagrama de Dynkin de G.
Un esquema de grupo G sobre un esquema S se llama reductivo si el morfismo G → S es suave y afín, y toda fibra geométrica es reductiva. (Para un punto p en S , la fibra geométrica correspondiente significa el cambio de base de G a una clausura algebraica del campo residual de p ). Ampliando el trabajo de Chevalley, Michel Demazure y Grothendieck demostraron que los esquemas de grupos reductivos divididos sobre cualquier esquema S no vacío son clasificados por datos raíz. [17] Esta afirmación incluye la existencia de grupos de Chevalley como esquemas de grupo sobre Z , y dice que cada grupo reductivo dividido sobre un esquema S es isomorfo al cambio de base de un grupo de Chevalley de Z a S.
En el contexto de grupos de Lie en lugar de grupos algebraicos, un grupo reductivo real es un grupo de Lie G tal que hay un grupo algebraico lineal L sobre R cuyo componente de identidad (en la topología de Zariski ) es reductivo, y un homomorfismo G → L ( R ) cuyo núcleo es finito y cuya imagen es abierta en L ( R ) (en la topología clásica). También es estándar asumir que la imagen de la representación adjunta Ad( G ) está contenida en Int( g C ) = Ad( L 0 ( C )) (que es automático para G conectado). [18]
En particular, cada grupo de Lie semisimple conectado (lo que significa que su álgebra de Lie es semisimple) es reductivo. Además, el grupo de Lie R es reductivo en este sentido, ya que puede verse como el componente identidad de GL (1, R ) ≅ R *. El problema de clasificar los grupos reductivos reales se reduce en gran medida a clasificar los grupos de Lie simples. Estos se clasifican por su diagrama de Satake ; o simplemente se puede consultar la lista de grupos de Lie simples (hasta coberturas finitas).
Se han desarrollado teorías útiles de representaciones admisibles y representaciones unitarias para grupos reductivos reales en esta generalidad. Las principales diferencias entre esta definición y la definición de grupo algebraico reductivo tienen que ver con el hecho de que un grupo algebraico G sobre R puede ser conexo como grupo algebraico mientras que el grupo de Lie G ( R ) no es conexo, y de la misma manera para simplemente grupos conectados.
Por ejemplo, el grupo lineal proyectivo PGL (2) está conexo como un grupo algebraico sobre cualquier cuerpo, pero su grupo de puntos reales PGL (2, R ) tiene dos componentes conexos. El componente de identidad de PGL (2, R ) (a veces llamado PSL (2, R )) es un grupo reductivo real que no puede verse como un grupo algebraico. De manera similar, SL (2) está simplemente conectado como un grupo algebraico sobre cualquier campo, pero el grupo de Lie SL (2, R ) tiene un grupo fundamental isomorfo a los números enteros Z , por lo que SL (2, R ) tiene espacios de cobertura no triviales . Por definición, todas las coberturas finitas de SL (2, R ) (como el grupo metapléctico ) son grupos reductivos reales. Por otro lado, la cobertura universal de SL (2, R ) no es un grupo reductivo real, a pesar de que su álgebra de Lie es reductiva , es decir, el producto de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana.
Para un grupo reductivo real conectado G , la variedad cociente G / K de G por un subgrupo compacto máximo K es un espacio simétrico de tipo no compacto. De hecho, todo espacio simétrico de tipo no compacto surge de esta forma. Estos son ejemplos centrales en la geometría de Riemann de variedades con curvatura seccional no positiva . Por ejemplo, SL (2, R )/ SO (2) es el plano hiperbólico y SL (2, C )/ SU (2) es el espacio tridimensional hiperbólico.
Para un grupo reductor G sobre un campo k que es completo con respecto a una valoración discreta (como los números p-ádicos Q p ), el edificio afín X de G desempeña el papel del espacio simétrico. Es decir, X es un complejo simplicial con una acción de G ( k ), y G ( k ) conserva una métrica CAT(0) en X , el análogo de una métrica con curvatura no positiva. La dimensión del edificio afín es el rango k de G. Por ejemplo, el edificio de SL (2, Q p ) es un árbol .
Para un grupo reductivo dividido G sobre un campo k , las representaciones irreducibles de G (como grupo algebraico) están parametrizadas por los pesos dominantes , que se definen como la intersección de la red de pesos X ( T ) ≅ Z n con un cono convexo. (una cámara de Weyl ) en R n . En particular, esta parametrización es independiente de la característica de k . Con más detalle, arregle un toro máximo dividido y un subgrupo de Borel, T ⊂ B ⊂ G . Entonces B es el producto semidirecto de T con un subgrupo unipotente conectado suave U. Defina un vector de mayor peso en una representación V de G sobre k como un vector v distinto de cero tal que B mapee la línea atravesada por v en sí misma. Entonces B actúa sobre esa línea a través de su grupo cociente T , por algún elemento λ de la red de pesos X ( T ). Chevalley demostró que cada representación irreducible de G tiene un vector de peso máximo único hasta los escalares; el correspondiente "peso más alto" λ es dominante; y todo peso dominante λ es el peso más alto de una única representación irreducible L (λ) de G , hasta el isomorfismo. [19]
Queda el problema de describir la representación irreductible con el mayor peso dado. Para k de característica cero, existen respuestas esencialmente completas. Para un peso dominante λ, defina el módulo de Schur ∇(λ) como el k -espacio vectorial de secciones del G -haz de líneas equivariante en la variedad de bandera G / B asociada a λ; esta es una representación de G . Para k de característica cero, el teorema de Borel-Weil dice que la representación irreducible L (λ) es isomorfa al módulo de Schur ∇(λ). Además, la fórmula del carácter de Weyl da el carácter (y en particular la dimensión) de esta representación.
Para un grupo reductivo dividido G sobre un campo k de característica positiva, la situación es mucho más sutil, porque las representaciones de G normalmente no son sumas directas de irreducibles. Para un peso dominante λ, la representación irreducible L (λ) es el único submódulo simple (el zócalo ) del módulo de Schur ∇(λ), pero no necesita ser igual al módulo de Schur. La dimensión y el carácter del módulo de Schur vienen dados por la fórmula del carácter de Weyl (como en la característica cero), de George Kempf . [20] Las dimensiones y caracteres de las representaciones irreductibles L (λ) son en general desconocidas, aunque se ha desarrollado una gran cantidad de teoría para analizar estas representaciones. Un resultado importante es que la dimensión y el carácter de L (λ) se conocen cuando la característica p de k es mucho mayor que el número de Coxeter de G , por Henning Andersen , Jens Jantzen y Wolfgang Soergel (demostrando la conjetura de Lusztig en ese sentido). caso). Su fórmula de caracteres para p grande se basa en los polinomios de Kazhdan-Lusztig , que son combinatoriamente complejos. [21] Para cualquier primo p , Simon Riche y Geordie Williamson conjeturaron los caracteres irreducibles de un grupo reductivo en términos de los polinomios p -Kazhdan-Lusztig, que son aún más complejos, pero al menos computables. [22]
Como se analizó anteriormente, la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma en cualquier campo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede resultar difícil, dependiendo del campo base. Algunos ejemplos entre los grupos clásicos son:
Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrados y se entienden para algunos otros campos, como los campos numéricos, pero para campos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.
Un grupo reductor sobre un campo k se llama isotrópico si tiene k -rango mayor que 0 (es decir, si contiene un toro dividido no trivial) y, en caso contrario, anisotrópico . Para un grupo semisimple G sobre un campo k , las siguientes condiciones son equivalentes:
Para k perfecto, también es equivalente a decir que G ( k ) contiene un elemento unipotente distinto de 1. [25]
Para un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo local k de característica cero (como los números reales), el grupo G ( k ) es compacto en la topología clásica (basada en la topología de k ) si y solo si G es reductivo y anisotrópico. [26] Ejemplo: el grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R tiene rango real min( p , q ), por lo que es anisotrópico si y solo si p o q es cero. [23]
Un grupo reductor G sobre un campo k se llama cuasi-división si contiene un subgrupo de Borel sobre k . Un grupo reductor dividido está casi dividido. Si G está casi dividido en k , entonces dos subgrupos de Borel cualesquiera de G están conjugados por algún elemento de G ( k ). [27] Ejemplo: el grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R se divide si y sólo si | pag - q | ≤ 1, y está cuasi dividido si y sólo si | pag - q | ≤ 2. [23]
Para un grupo semisimple dividido simplemente conectado G sobre un campo k , Robert Steinberg hizo una presentación explícita del grupo abstracto G ( k ). [28] Se genera mediante copias del grupo aditivo de k indexado por las raíces de G (los subgrupos de raíces), con relaciones determinadas por el diagrama de Dynkin de G.
Para un grupo semisimple dividido simplemente conectado G sobre un campo perfecto k , Steinberg también determinó el grupo de automorfismo del grupo abstracto G ( k ). Cada automorfismo es el producto de un automorfismo interno , un automorfismo diagonal (es decir, conjugación por un punto adecuado de un toro máximo), un automorfismo de grafo (correspondiente a un automorfismo del diagrama de Dynkin) y un automorfismo de campo (que proviene de un automorfismo del campo k ). [29]
Para un grupo algebraico k -simple G , el teorema de simplicidad de Tetas dice que el grupo abstracto G ( k ) está cerca de ser simple, bajo suposiciones leves. Es decir, supongamos que G es isotrópico sobre k y supongamos que el campo k tiene al menos 4 elementos. Sea G ( k ) + el subgrupo del grupo abstracto G ( k ) generado por k puntos de copias del grupo aditivo G a sobre k contenido en G. (Bajo el supuesto de que G es isotrópico sobre k , el grupo G ( k ) + no es trivial, e incluso Zariski es denso en G si k es infinito.) Entonces el grupo cociente de G ( k ) + por su centro es simple (como un grupo abstracto). [30] La prueba utiliza la maquinaria de pares BN de Jacques Tetas .
Las excepciones para campos de orden 2 o 3 se comprenden bien. Para k = F 2 , el teorema de simplicidad de Tetas sigue siendo válido excepto cuando G es dividido de tipo A 1 , B 2 o G 2 , o no dividido (es decir, unitario) de tipo A 2 . Para k = F 3 , el teorema se cumple excepto para G de tipo A 1 . [31]
Para un grupo k -simple G , para comprender todo el grupo G ( k ), se puede considerar el grupo de Whitehead W ( k , G ) = G ( k )/ G ( k ) + . Para G simplemente conectado y cuasi dividido, el grupo de Whitehead es trivial, por lo que todo el grupo G ( k ) es simple módulo de su centro. [32] De manera más general, el problema de Kneser-Tits pregunta qué isotrópicos k -grupos simples es trivial el grupo de Whitehead. En todos los ejemplos conocidos, W ( k , G ) es abeliano.
Para un grupo anisotrópico k -simple G , el grupo abstracto G ( k ) puede estar lejos de ser simple. Por ejemplo, sea D un álgebra de división con centro en un campo p -ádico k . Supongamos que la dimensión de D sobre k es finita y mayor que 1. Entonces G = SL (1, D ) es un grupo k -simple anisotrópico. Como se mencionó anteriormente, G ( k ) es compacto en la topología clásica. Dado que también está totalmente desconectado , G ( k ) es un grupo finito (pero no finito). Como resultado, G ( k ) contiene infinitos subgrupos normales de índice finito . [33]
Sea G un grupo algebraico lineal sobre los números racionales Q. Entonces G se puede extender a un esquema de grupo afín G sobre Z , y esto determina un grupo abstracto G ( Z ). Un grupo aritmético significa cualquier subgrupo de G ( Q ) que sea conmensurable con G ( Z ). (La aritmeticidad de un subgrupo de G ( Q ) es independiente de la elección de la estructura Z ). Por ejemplo, SL ( n , Z ) es un subgrupo aritmético de SL ( n , Q ).
Para un grupo de Lie G , una red en G significa un subgrupo discreto Γ de G tal que la variedad G /Γ tiene un volumen finito (con respecto a una medida G -invariante). Por ejemplo, un subgrupo discreto Γ es una red si G /Γ es compacto. El teorema de aritmeticidad de Margulis dice, en particular: para un grupo de Lie simple G de rango real al menos 2, toda red en G es un grupo aritmético.
Al buscar clasificar grupos reductivos que no necesitan dividirse, un paso es el índice de Tit , que reduce el problema al caso de grupos anisotrópicos. Esta reducción generaliza varios teoremas fundamentales en álgebra. Por ejemplo, el teorema de descomposición de Witt dice que una forma cuadrática no degenerada sobre un campo está determinada hasta el isomorfismo por su índice de Witt junto con su núcleo anisotrópico. Asimismo, el teorema de Artin-Wedderburn reduce la clasificación de álgebras simples centrales sobre un campo al caso de álgebras de división. Al generalizar estos resultados, Tit demostró que un grupo reductor sobre un campo k está determinado hasta el isomorfismo por su índice de Tit junto con su núcleo anisotrópico, un grupo k semisimple anisotrópico asociado .
Para un grupo reductor G sobre un campo k , el grupo absoluto de Galois Gal( k s / k ) actúa (continuamente) sobre el diagrama de Dynkin "absoluto" de G , es decir, el diagrama de Dynkin de G sobre un cierre separable k s ( que es también el diagrama de Dynkin de G sobre una clausura algebraica ). El índice de Tetas de G consta del dato raíz de G k s , la acción de Galois en su diagrama de Dynkin y un subconjunto invariante de Galois de los vértices del diagrama de Dynkin. Tradicionalmente, el índice de Tetas se dibuja rodeando las órbitas de Galois en el subconjunto dado.
Existe una clasificación completa de grupos cuasi divididos en estos términos. Es decir, para cada acción del grupo absoluto de Galois de un campo k en un diagrama de Dynkin, hay un único grupo H cuasi-dividido semisimple, simplemente conectado, sobre k con la acción dada. (Para un grupo cuasi dividido, cada órbita de Galois en el diagrama de Dynkin está rodeada por un círculo). Además, cualquier otro grupo semisimple simplemente conectado G sobre k con la acción dada es una forma interna del grupo cuasi dividido H , lo que significa que G es el grupo asociado a un elemento del conjunto de cohomología de Galois H 1 ( k , H / Z ), donde Z es el centro de H . En otras palabras, G es la torsión de H asociada a algún torsor H / Z sobre k , como se analiza en la siguiente sección.
Ejemplo: Sea q una forma cuadrática no degenerada de dimensión par 2 n sobre un campo k de característica no 2, con n ≥ 5. (Estas restricciones se pueden evitar). Sea G el grupo simple SO ( q ) sobre k . El diagrama absoluto de Dynkin de G es de tipo D n , por lo que su grupo de automorfismo es de orden 2, intercambiando las dos "patas" del diagrama D n . La acción del grupo absoluto de Galois de k en el diagrama de Dynkin es trivial si y sólo si el discriminante con signo d de q en k */( k *) 2 es trivial. Si d no es trivial, entonces está codificado en la acción de Galois en el diagrama de Dynkin: el subgrupo índice-2 del grupo de Galois que actúa como identidad es . El grupo G se divide si y solo si q tiene un índice de Witt n , el máximo posible, y G se divide cuasi si y solo si q tiene un índice de Witt al menos n − 1. [23]
Un torsor para un esquema de grupo afín G sobre un campo k significa un esquema afín X sobre k con una acción de G tal que es isomorfa con la acción de sobre sí mismo por traducción a la izquierda. Un torsor también puede verse como un paquete G principal sobre k con respecto a la topología fppf en k , o la topología étale si G es suave sobre k . El conjunto puntiagudo de clases de isomorfismo de G -torsores sobre k se llama H 1 ( k , G ), en el lenguaje de la cohomología de Galois.
Los tortores surgen siempre que se busca clasificar formas de un objeto algebraico dado Y sobre un campo k , es decir, objetos X sobre k que se vuelven isomorfos a Y sobre la clausura algebraica de k . Es decir, tales formas (hasta el isomorfismo) están en correspondencia uno a uno con el conjunto H 1 ( k ,Aut( Y )). Por ejemplo, las formas cuadráticas (no degeneradas) de dimensión n sobre k se clasifican por H 1 ( k , O ( n )), y las álgebras simples centrales de grado n sobre k se clasifican por H 1 ( k , PGL ( n )). Además, las k formas de un grupo algebraico dado G (a veces llamadas "giros" de G ) se clasifican por H 1 ( k ,Aut( G )). Estos problemas motivan el estudio sistemático de G -torsores, especialmente para grupos reductivos G .
Cuando sea posible, se espera clasificar los G -torsores utilizando invariantes cohomológicos , que son invariantes que toman valores en la cohomología de Galois con grupos de coeficientes abelianos M , H a ( k , M ). En esta dirección, Steinberg demostró la "Conjetura I" de Serre : para un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo perfecto de dimensión cohomológica como máximo 1, H 1 ( k , G ) = 1. [34] (El caso de un El campo finito se conocía anteriormente como teorema de Lang .) De ello se deduce, por ejemplo, que todo grupo reductor sobre un campo finito está casi dividido.
La Conjetura II de Serre predice que para un grupo semisimple G simplemente conexo sobre un campo de dimensión cohomológica como máximo 2, H 1 ( k , G ) = 1. La conjetura se conoce para un campo numérico totalmente imaginario (que tiene dimensión cohomológica 2). De manera más general, para cualquier campo numérico k , Martin Kneser , Günter Harder y Vladimir Chernousov (1989) demostraron el principio de Hasse : para un grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , el mapa
es biyectivo. [35] Aquí v recorre todos los lugares de k , y k v es el campo local correspondiente (posiblemente R o C ). Además, el conjunto puntiagudo H 1 ( k v , G ) es trivial para todo campo local no arquimidiano k v , por lo que sólo importan los lugares reales de k . Harder (1975) demostró anteriormente un resultado análogo para un campo global k de característica positiva: para todo grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , H 1 ( k , G ) es trivial (ya que k no tiene lugares reales). [36]
En el caso ligeramente diferente de un grupo adjunto G sobre un campo numérico k , el principio de Hasse se cumple en una forma más débil: el mapa natural
es inyectivo. [37] Para G = PGL ( n ), esto equivale al teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether , que dice que un álgebra simple central sobre un campo numérico está determinado por sus invariantes locales.
Basándose en el principio de Hasse, se comprende bien la clasificación de grupos semisimples en campos numéricos. Por ejemplo, hay exactamente tres formas Q del grupo excepcional E 8 , correspondientes a las tres formas reales de E 8 .
