En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también juega un papel fundamental en la teoría de la descendencia (descenso fielmente plano). [1] El término piso aquí proviene de módulos planos .
Existen varias topologías planas ligeramente diferentes, las más comunes son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura de subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi compacto es una tapadera. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con el descenso . La topología "pura" fielmente plana sin otras condiciones de finitud, como cuasi compacidad o presentación finita, no se utiliza mucho porque no es subcanónica; en otras palabras, los functores representables no necesitan ser gavillas.
Lamentablemente, la terminología para topologías planas no está estandarizada. Algunos autores utilizan el término "topología" para una pretopología, y existen varias pretopologías ligeramente diferentes, a veces llamadas (pre)topología fppf o fpqc, que a veces dan la misma topología.
Grothendieck introdujo la cohomología plana alrededor de 1960. [4]
Sea X un esquema afín . Definimos una cobertura fppf de X como una familia de morfismos finita y conjuntamente sobreyectiva.
con cada X afín y cada φ plano , presentado de forma finita . Esto genera una pretopología : para X arbitrario, definimos una cobertura fppf de X como una familia
que es una cobertura fppf después del cambio de base a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fppf . (Esta no es la misma topología que obtendríamos si comenzamos con X y X a arbitrarios y tomamos las familias de cobertura como familias sobreyectivas conjuntas de morfismos planos presentados finitamente). Escribimos Fppf para la categoría de esquemas con la topología fppf .
El pequeño sitio fppf de X es la categoría O ( X fppf ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que forma parte de alguna familia de cobertura. (Esto no implica que el morfismo sea plano, presentado de forma finita). Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con las aplicaciones fijas de X. El sitio fppf grande de X es la categoría Fppf/X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerado con la topología fppf.
"Fppf" es una abreviatura de "fidèlement plate de présentation finie", es decir, "fielmente plano y de presentación finita". Cada familia sobreyectiva de morfismos planos y presentados finitamente es una familia de cobertura para esta topología, de ahí el nombre. La definición de la pretopología fppf también se puede dar con una condición de cuasi-finitud adicional; del Corolario 17.16.2 en EGA IV 4 se deduce que esto da la misma topología.
Sea X un esquema afín. Definimos una cobertura fpqc de X como una familia de morfismos finita y conjuntamente sobreyectiva { u α : X α → X } con cada X α afín y cada u α plano . Esto genera una pretopología: para X arbitrario, definimos una cobertura fpqc de X como una familia { u α : X α → X } que es una cobertura fpqc después del cambio de base a un subesquema afín abierto de X. Esta pretopología genera una topología llamada topología fpqc . (Esta no es la misma topología que obtendríamos si comenzamos con X y X α arbitrarios y tomamos las familias de cobertura como familias sobreyectivas conjuntas de morfismos planos). Escribimos Fpqc para la categoría de esquemas con la topología fpqc.
El pequeño sitio fpqc de X es la categoría O ( X fpqc ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que forma parte de alguna familia de cobertura. Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos de X. El sitio fpqc grande de X es la categoría Fpqc/X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerado con la topología fpqc.
"Fpqc" es una abreviatura de "fidèlement plate quasi-compacte", es decir, "fielmente plana y casi compacta". Cada familia sobreyectiva de morfismos planos y cuasicompactos es una familia de cobertura para esta topología, de ahí el nombre.
El procedimiento para definir los grupos de cohomología es el estándar: la cohomología se define como la secuencia de funtores derivados del functor tomando las secciones de un haz de grupos abelianos .
Si bien estos grupos tienen varias aplicaciones, en general no son fáciles de calcular, excepto en los casos en que se reducen a otras teorías, como la cohomología étale .
El siguiente ejemplo muestra por qué la "topología fielmente plana" sin condiciones de finitud no se comporta bien. Supongamos que X es la recta afín sobre un campo algebraicamente cerrado k . Para cada punto cerrado x de X podemos considerar el anillo local R x en este punto, que es un anillo de valoración discreto cuyo espectro tiene un punto cerrado y un punto abierto (genérico). Pegamos estos espectros identificando sus puntos abiertos para obtener un esquema Y. Hay un mapa natural de Y a X. La línea afín X está cubierta por los conjuntos Spec( R x ) que están abiertos en la topología fielmente plana, y cada uno de estos conjuntos tiene un mapa natural para Y , y estos mapas son los mismos en las intersecciones. Sin embargo, no se pueden combinar para dar un mapa de X a Y , porque los espacios subyacentes de X e Y tienen topologías diferentes.