En matemáticas , la cohomología de Galois es el estudio de la cohomología de grupo de módulos de Galois , es decir, la aplicación del álgebra homológica a módulos para grupos de Galois . Un grupo de Galois G asociado a una extensión de campo L / K actúa de forma natural sobre algunos grupos abelianos , por ejemplo los construidos directamente a partir de L , pero también a través de otras representaciones de Galois que pueden derivarse por medios más abstractos. La cohomología de Galois explica la forma en que la toma de elementos invariantes de Galois no logra ser un funtor exacto .
La teoría actual de la cohomología de Galois se concretó alrededor de 1950, cuando se dio cuenta de que la cohomología de Galois de los grupos de clases ideales en la teoría algebraica de números era una forma de formular la teoría de campos de clases , en el momento en que estaba en el proceso de deshacerse de las conexiones con Funciones L. La cohomología de Galois no supone que los grupos de Galois sean grupos abelianos, por lo que esta era una teoría no abeliana . Fue formulada de manera abstracta como una teoría de la formación de clases . Dos acontecimientos ocurridos en la década de 1960 cambiaron la situación. En primer lugar, la cohomología de Galois apareció como la capa fundamental de la teoría de la cohomología étale (en términos generales, la teoría tal como se aplica a los esquemas de dimensión cero). En segundo lugar, la teoría de campos de clases no abeliana se lanzó como parte de la filosofía de Langlands .
Los primeros resultados identificables como cohomología de Galois se conocían mucho antes, en la teoría algebraica de números y la aritmética de curvas elípticas . El teorema de la base normal implica que el primer grupo de cohomología del grupo aditivo de L desaparecerá; Este es el resultado de extensiones de campo generales, pero Richard Dedekind lo conocía de alguna forma . El resultado correspondiente para el grupo multiplicativo se conoce como Teorema 90 de Hilbert , y se conocía antes de 1900. La teoría de Kummer fue otra de las primeras partes de la teoría, dando una descripción del homomorfismo conector procedente del m -ésimo mapa de potencia.
De hecho, durante un tiempo el caso multiplicativo de un 1- cociclo para grupos que no son necesariamente cíclicos se formuló como la solubilidad de las ecuaciones de Noether , llamada así por Emmy Noether ; aparecen bajo este nombre en el tratamiento que Emil Artin hace de la teoría de Galois, y es posible que hayan sido folklore en la década de 1920. El caso de 2-cociclos para el grupo multiplicativo es el del grupo de Brauer , y las implicaciones parecen haber sido bien conocidas por los algebraistas de la década de 1930.
En otra dirección, la de los torsores , éstos ya estaban implícitos en los argumentos del descenso infinito de Fermat para las curvas elípticas . Se realizaron numerosos cálculos directos y la demostración del teorema de Mordell-Weil tuvo que realizarse mediante algún sustituto de una prueba de finitud para un grupo H 1 particular . La naturaleza 'retorcida' de los objetos sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados , que no son isomórficos pero que lo son a través del cierre algebraico , también se conocía en muchos casos vinculados a otros grupos algebraicos (como formas cuadráticas , álgebras simples , Severi-Brauer variedades ), en la década de 1930, antes de que llegara la teoría general.
Las necesidades de la teoría de números se expresaban en particular por el requisito de tener control de un principio local-global para la cohomología de Galois. Esto se formuló mediante resultados de la teoría de campos de clases, como el teorema de la norma de Hasse . En el caso de las curvas elípticas, condujo a la definición clave del grupo Tate-Shafarevich en el grupo Selmer , que es la obstrucción al éxito de un principio local-global. A pesar de su gran importancia, por ejemplo en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , resultó muy difícil controlarla, hasta que los resultados de Karl Rubin permitieron demostrar que en algunos casos era finita (un resultado que generalmente se cree, ya que su orden conjetural fue predicho por una fórmula de función L).
El otro desarrollo importante de la teoría, que también involucró a John Tate, fue el resultado de la dualidad Tate-Poitou .
Técnicamente hablando, G puede ser un grupo lucrativo , en cuyo caso las definiciones deben ajustarse para permitir solo cocadenas continuas.
La cohomología de Galois es el estudio de la cohomología grupal de los grupos de Galois. [1] Sea una extensión de campo con grupo de Galois y un grupo abeliano sobre el que actúa. El grupo de cohomología:
Cuando el campo de extensión es el cierre separable del campo , a menudo se escribe en su lugar y
El teorema 90 de Hilbert en lenguaje cohomológico es la afirmación de que el primer grupo de cohomología con valores en el grupo multiplicativo de es trivial para una extensión de Galois :
El segundo grupo de cohomología describe los sistemas de factores adjuntos al grupo de Galois. Así, para cualquier extensión normal , el grupo de Brauer relativo puede identificarse con el grupo
