Álgebra de Lie compleja

En matemáticas , un álgebra de Lie compleja es un álgebra de Lie sobre números complejos .

Dada una álgebra de Lie compleja , su conjugado es una álgebra de Lie compleja con el mismo espacio vectorial real subyacente pero con actuando como en su lugar. ^[1] Como álgebra de Lie real, una álgebra de Lie compleja es trivialmente isomorfa a su conjugado. Una álgebra de Lie compleja es isomorfa a su conjugado si y solo si admite una forma real (y se dice que está definida sobre los números reales). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Forma real

Dada un álgebra de Lie compleja , se dice que un álgebra de Lie real es una forma real de si la complejización es isomorfa a . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una forma real es abeliana (resp. nilpotente, resoluble, semisimple) si y solo si es abeliana (resp. nilpotente, resoluble, semisimple). ^[2] Por otro lado, una forma real es simple si y solo si es simple o es de la forma donde son simples y son conjugados entre sí. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}}$

La existencia de una forma real en un álgebra de Lie compleja implica que es isomorfa a su conjugado; ^[1] de hecho, si , entonces sea el isomorfismo -lineal inducido por el conjugado complejo y luego ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \tau (i(x+iy))=\tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)}$,

lo cual quiere decir que es de hecho un isomorfismo -lineal. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por el contrario, ^{[ aclaración necesaria ]} supongamos que hay un isomorfismo -lineal ; sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es la función identidad en el espacio vectorial real subyacente. Luego definamos , que es claramente un álgebra de Lie real. Cada elemento en se puede escribir de forma única como . Aquí, y de manera similar fija . Por lo tanto, ; es decir, es una forma real. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\{z\in {\mathfrak {g}}|\tau (z)=z\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)}$ ${\displaystyle \tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau (z)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle z+\tau (z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

Álgebra de Lie compleja de un grupo de Lie complejo

Sea un álgebra de Lie compleja semisimple que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo . Sea un subálgebra de Cartan de y el subgrupo de Lie correspondiente a ; los conjugados de se denominan subgrupos de Cartan . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$

Supóngase que existe la descomposición dada por una elección de raíces positivas. Entonces la función exponencial define un isomorfismo de a un subgrupo cerrado . ^[3] El subgrupo de Lie correspondiente al subálgebra de Borel es cerrado y es el producto semidirecto de y ; ^[4] los conjugados de se denominan subgrupos de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle U\subset G}$ ${\displaystyle B\subset G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$

Notas

1. Knapp 2002, cap. VI, § 9.
2. Serre 2001, cap. II, § 8, Teorema 9.
3. Serre 2001, cap. VIII, § 4, Teorema 6 (a).
4. Serre 2001, cap. VIII, § 4, Teorema 6 (b).

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Knapp, AW (2002). Grupos de Lie más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. Vol. 120 (2.ª ed.). Boston·Basel·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• Serre, Jean-Pierre (2001). Álgebras de mentira complejas semisimples . Berlín: Springer. ISBN 3-5406-7827-1.