álgebra de Schur

En matemáticas, las álgebras de Schur , que llevan el nombre de Issai Schur , son ciertas álgebras de dimensión finita estrechamente asociadas con la dualidad de Schur-Weyl entre grupos generales lineales y simétricos . Se utilizan para relacionar las teorías de representación de esos dos grupos . Su uso fue promovido por la influyente monografía de JA Green publicada por primera vez en 1980. ^[1] El nombre "álgebra de Schur" se debe a Green. En el caso modular (sobre campos infinitos de característica positiva), Gordon James y Karin Erdmann utilizaron las álgebras de Schur para demostrar que los problemas (aún abiertos) de calcular números de descomposición para grupos lineales generales y grupos simétricos son en realidad equivalentes. ^{[2] Friedlander y} Suslin utilizaron álgebras de Schur para demostrar la generación finita de cohomología de esquemas de grupos finitos . ^[3]

Construcción

El álgebra de Schur se puede definir para cualquier anillo conmutativo y números enteros . Considere el álgebra de polinomios (con coeficientes en ) en variables de conmutación , 1 ≤ i , j ≤ . Denotamos por los polinomios homogéneos de grado . Los elementos de son k -combinaciones lineales de monomios formadas multiplicando los generadores (permitiendo la repetición). De este modo ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n,r\geq 0}$ ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{ij}}$

${\displaystyle k[x_{ij}]=\bigoplus _{r\geq 0}A_{k}(n,r).}$

Ahora, tiene una estructura de coalgebra natural con comultiplicación y cuenta los homomorfismos de álgebra dados en los generadores por ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Delta (x_{ij})=\textstyle \sum _{l}x_{il}\otimes x_{lj},\quad \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}\quad }$    ( Delta de Kronecker ).

Dado que la comultiplicación es un homomorfismo de álgebra, es una biálgebra . Se comprueba fácilmente que es una subcoálgebra de la biálgebra , para cada r  ≥ 0. ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle k[x_{ij}]}$

Definición. El álgebra de Schur (en grado ) es el álgebra . Es decir, es el dual lineal de . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{k}(n,r)=\mathrm {Hom} _{k}(A_{k}(n,r),k)}$ ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$

Es un hecho general que el dual lineal de una coalgebra es un álgebra de forma natural, donde la multiplicación en el álgebra se induce dualizando la comultiplicación en la coalgebra. Para ver esto, dejemos ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta (a)=\textstyle \sum a_{i}\otimes b_{i}}$

y, dados funcionales lineales , en , definen su producto como el funcional lineal dado por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum f(a_{i})g(b_{i}).}$

El elemento de identidad para esta multiplicación de funcionales es la unidad en . ${\displaystyle A}$

Propiedades principales

• Una de las propiedades más básicas se expresa como álgebra centralizadora. Sea el espacio de los vectores columna de rango sobre y forme el tensor de potencia ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle V=k^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle V^{\otimes r}=V\otimes \cdots \otimes V\quad (r{\text{ factors}}).}$

Entonces el grupo simétrico de letras actúa naturalmente en el espacio tensorial mediante permutación de lugares, y se tiene un isomorfismo ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong \mathrm {End} _{{\mathfrak {S}}_{r}}(V^{\otimes r}).}$

En otras palabras, puede verse como el álgebra de endomorfismos del espacio tensorial que conmuta con la acción del grupo simétrico . ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$

• ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$es libre de rango dado por el coeficiente binomial . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tbinom {n^{2}+r-1}{r}}}$
• Se conocen varias bases de , muchas de las cuales están indexadas por pares de cuadros de forma semiestándar de Young , que varían a lo largo del conjunto de particiones en no más de partes. ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$
• En caso de que k sea un campo infinito, también puede identificarse con el álgebra envolvente (en el sentido de H. Weyl) para la acción del grupo lineal general que actúa sobre (a través de la acción diagonal sobre los tensores, inducida por la acción natural de sobre dado por multiplicación de matrices). ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle V^{\otimes r}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle V=k^{n}}$
• Las álgebras de Schur están "definidas sobre números enteros". Esto significa que satisfacen la siguiente propiedad de cambio de escalares:

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong S_{\mathbb {Z} }(n,r)\otimes _{\mathbb {Z} }k}$

para cualquier anillo conmutativo . ${\displaystyle k}$

• Las álgebras de Schur proporcionan ejemplos naturales de álgebras cuasihereditarias ^[4] (según las definen Cline, Parshall y Scott) y, por tanto, tienen buenas propiedades homológicas . En particular, las álgebras de Schur tienen una dimensión global finita .

Generalizaciones

• Las álgebras generalizadas de Schur (asociadas a cualquier grupo algebraico reductivo ) fueron introducidas por Donkin en los años 1980. ^[5] Estos también son cuasihereditarios.
• Casi al mismo tiempo, Dipper y James ^[6] introdujeron las álgebras de Schur cuantificadas (o álgebras q-Schur para abreviar), que son un tipo de deformación q de las álgebras clásicas de Schur descritas anteriormente, en las que el grupo simétrico se reemplaza por el álgebra de Hecke correspondiente y el grupo lineal general por un grupo cuántico apropiado .
• También existen álgebras q-Schur generalizadas , que se obtienen generalizando el trabajo de Dipper y James de la misma manera que Donkin generalizó las álgebras clásicas de Schur. ^[7]
• Hay más generalizaciones, como las álgebras afines q-Schur ^[8] relacionadas con las álgebras afines de Kac-Moody Lie y otras generalizaciones, como las álgebras ciclotómicas q-Schur ^[9] relacionadas con las álgebras de Ariki-Koike (que son q- deformaciones de ciertos grupos de reflexión complejos ).

El estudio de estas diversas clases de generalizaciones constituye un área activa de la investigación contemporánea.

Referencias

1. JA Green , Representaciones polinómicas de GL _n , Springer Lecture Notes 830, Springer-Verlag 1980. MR 2349209, ISBN 978-3-540-46944-5 , ISBN 3-540-46944-3  
2. Karin Erdmann, Números de descomposición para grupos simétricos y factores de composición de módulos Weyl. Revista de Álgebra 180 (1996), 316–320. doi :10.1006/jabr.1996.0067 SEÑOR 1375581
3. Eric Friedlander y Andrei Suslin , Cohomología de esquemas de grupos finitos en un campo. Inventiones Mathematicae 127 (1997), 209-270. Señor 1427618 doi :10.1007/s002220050119
4. Edward Cline, Brian Parshall y Leonard Scott, Álgebras de dimensión finita y categorías de mayor peso. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik [Diario de Crelle] 391 (1988), 85–99. Señor 0961165
5. Stephen Donkin, Sobre álgebras de Schur y álgebras relacionadas, I. Journal of Algebra 104 (1986), 310–328. doi :10.1016/0021-8693(86)90218-8 SEÑOR 0866778
6. Richard Dipper y Gordon James, El álgebra q-Schur. Actas del London Math. Sociedad (3) 59 (1989), 23–50. doi :10.1112/plms/s3-59.1.23 SEÑOR 0997250
7. Stephen Doty, Presentación de álgebras q-Schur generalizadas. Teoría de la representación 7 (2003), 196--213 (electrónico). doi :10.1090/S1088-4165-03-00176-6
8. RM Green, El álgebra q-Schur afín. Revista de Álgebra 215 (1999), 379--411. doi :10.1006/jabr.1998.7753
9. Richard Dipper, Gordon James y Andrew Mathas, Álgebras ciclotómicas q-Schur. Matemáticas. Zeitschrift 229 (1998), 385-416. doi :10.1007/PL00004665 SEÑOR 1658581

Otras lecturas

• Stuart Martin, Álgebras de Schur y teoría de la representación , Cambridge University Press 1993. MR 2482481, ISBN 978-0-521-10046-5 
• Andrew Mathas, Álgebras de Iwahori-Hecke y álgebras de Schur del grupo simétrico, University Lecture Series, vol.15, American Mathematical Society, 1999. MR 1711316, ISBN 0-8218-1926-7 
• Hermann Weyl , Los grupos clásicos. Sus Invariantes y Representaciones . Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1939. SEÑOR 0000255, ISBN 0-691-05756-7