En geometría algebraica , un conjunto algebraico irreducible o variedad irreducible es un conjunto algebraico que no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios . Un componente irreducible de un conjunto algebraico es un subconjunto algebraico que es irreducible y máximo (para la inclusión de conjuntos ) para esta propiedad. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación xy = 0 no es irreducible, y sus componentes irreducibles son las dos líneas de ecuaciones x = 0 e y = 0 .
Es un teorema fundamental de la geometría algebraica clásica que cada conjunto algebraico puede escribirse de manera única como una unión finita de componentes irreducibles.
Estos conceptos pueden ser reformulados en términos puramente topológicos , utilizando la topología de Zariski , para la cual los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos: Un espacio topológico es irreducible si no es la unión de dos subconjuntos cerrados propios, y un componente irreducible es un subespacio maximal (necesariamente cerrado) que es irreducible para la topología inducida . Aunque estos conceptos pueden ser considerados para cada espacio topológico, esto rara vez se hace fuera de la geometría algebraica, ya que la mayoría de los espacios topológicos comunes son espacios de Hausdorff , y, en un espacio de Hausdorff, los componentes irreducibles son los singletons .
Un espacio topológico X es reducible si puede escribirse como una unión de dos subconjuntos propios cerrados , de Un espacio topológico es irreducible (o hiperconexo ) si no es reducible. De manera equivalente, X es irreducible si todos los subconjuntos abiertos no vacíos de X son densos , o si dos conjuntos abiertos no vacíos tienen una intersección no vacía .
Un subconjunto F de un espacio topológico X se llama irreducible o reducible, si F considerado como un espacio topológico a través de la topología del subespacio tiene la propiedad correspondiente en el sentido anterior. Es decir, es reducible si se puede escribir como una unión donde son subconjuntos cerrados de , ninguno de los cuales contiene
Un componente irreducible de un espacio topológico es un subconjunto irreducible máximo . Si un subconjunto es irreducible, su clausura también es irreducible, por lo que los componentes irreducibles son cerrados.
Cada subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en un componente irreducible (no necesariamente único) de X . [1] Cada punto está contenido en algún componente irreducible de X .
El espacio topológico vacío satisface vacuamente la definición anterior de irreducible (ya que no tiene subconjuntos propios). Sin embargo, algunos autores, [2] especialmente aquellos interesados en aplicaciones a la topología algebraica , excluyen explícitamente que el conjunto vacío sea irreducible. Este artículo no seguirá esa convención.
Todo conjunto algebraico afín o proyectivo se define como el conjunto de los ceros de un ideal en un anillo de polinomios . Un conjunto algebraico irreducible , más comúnmente conocido como variedad algebraica , es un conjunto algebraico que no se puede descomponer como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños. El teorema de Lasker-Noether implica que todo conjunto algebraico es la unión de un número finito de conjuntos algebraicos definidos de forma única, llamados sus componentes irreducibles . Estas nociones de irreducibilidad y componentes irreducibles son exactamente las definidas anteriormente, cuando se considera la topología de Zariski , ya que los conjuntos algebraicos son exactamente los conjuntos cerrados de esta topología.
El espectro de un anillo es un espacio topológico cuyos puntos son los ideales primos y los conjuntos cerrados son los conjuntos de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo. Para esta topología, un conjunto cerrado es irreducible si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen algún ideal primo, y los componentes irreducibles corresponden a ideales primos mínimos . El número de componentes irreducibles es finito en el caso de un anillo noetheriano .
Un esquema se obtiene uniendo espectros de anillos de la misma manera que una variedad se obtiene uniendo diagramas . Por lo tanto, la definición de irreducibilidad y componentes irreducibles se extiende inmediatamente a los esquemas.
En un espacio de Hausdorff , los subconjuntos irreducibles y los componentes irreducibles son los singletons . Este es el caso, en particular, de los números reales . De hecho, si X es un conjunto de números reales que no es un singleton, hay tres números reales tales que x ∈ X , y ∈ X , y x < a < y . El conjunto X no puede ser irreducible ya que
La noción de componente irreducible es fundamental en geometría algebraica y rara vez se considera fuera de esta área de las matemáticas: considere el subconjunto algebraico del plano
Para la topología de Zariski , sus subconjuntos cerrados son ella misma, el conjunto vacío, los singletons y las dos líneas definidas por x = 0 e y = 0. El conjunto X es, por tanto, reducible con estas dos líneas como componentes irreducibles.
El espectro de un anillo conmutativo es el conjunto de los ideales primos del anillo, dotado de la topología de Zariski , para la cual un conjunto de ideales primos es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo . En este caso un subconjunto irreducible es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal primo fijo.
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![{\displaystyle X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e30706a94ed5572f03c881c670730a29278b93c)