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Grupoide de mentiras

En matemáticas , un grupoide de Lie es un grupoide donde el conjunto de objetos y el conjunto de morfismos son ambos variedades , todas las operaciones de categoría (origen y destino, composición, mapa de asignación de identidad e inversión) son suaves y las operaciones de origen y destino

son inmersiones .

Por lo tanto, un grupoide de Lie puede considerarse como una "generalización de muchos objetos" de un grupo de Lie , de la misma manera que un grupoide es una generalización de muchos objetos de un grupo . En consecuencia, mientras que los grupos de Lie proporcionan un modelo natural para las simetrías continuas (clásicas) , los grupoides de Lie se utilizan a menudo como modelo para (y surgen de) simetrías generalizadas dependientes del punto. [1] Extendiendo la correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, los grupoides de Lie son las contrapartes globales de los algebroides de Lie .

Los grupoides de Lie fueron introducidos por Charles Ehresmann [2] [3] bajo el nombre de grupoides diferenciables .

Definición y conceptos básicos

Un grupoide de Lie consta de

de tal manera que

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , un grupoide de Lie puede definirse de manera más compacta como un grupoide (es decir, una categoría pequeña donde todos los morfismos son invertibles) tal que los conjuntos de objetos y de morfismos son variedades, las funciones , , , y son suaves y y son inmersiones. Por lo tanto, un grupoide de Lie no es simplemente un objeto grupoide en la categoría de variedades suaves : hay que plantearse la propiedad adicional de que y son inmersiones.

Los grupoides de Lie suelen denotarse con , donde las dos flechas representan la fuente y el destino. La notación también se utiliza con frecuencia, especialmente cuando se enfatiza la estructura simplicial del nervio asociado .

Para incluir más ejemplos naturales, no se requiere en general que la variedad sea de Hausdorff o de segundo orden contable (mientras que y todos los demás espacios lo son).

Definiciones alternativas

La definición original de Ehresmann requería que y poseyeran una estructura suave de modo que sólo sea suave y las aplicaciones y sean subimersiones (es decir, tengan rango localmente constante ). Esta definición resultó ser demasiado débil y fue reemplazada por Pradines por la que se utiliza actualmente. [4]

Aunque algunos autores [5] introdujeron definiciones más débiles que no requerían que fueran sumersiones, estas propiedades son fundamentales para desarrollar toda la teoría de Lie de grupoides y algebroides.

Primeras propiedades

El hecho de que el mapa de origen y el de destino de un grupoide de Lie sean inmersiones suaves tiene algunas consecuencias inmediatas:

Subobjetos y morfismos

Un subgrupoide de Lie de un grupoide de Lie es un subgrupoide (es decir, una subcategoría de la categoría ) con el requisito adicional de que sea una subvariedad inmersa. En cuanto a una subcategoría, un subgrupoide (de Lie) se denomina ancho si . Cualquier grupoide de Lie tiene dos subgrupoides anchos canónicos:

Un subgrupoide de Lie normal es un subgrupoide de Lie ancho en su interior tal que, para cada uno con , se tiene . Los grupos de isotropía de son, por lo tanto, subgrupos normales de los grupos de isotropía de .

Un morfismo grupoide de Lie entre dos grupoides de Lie y es un morfismo grupoide (es decir, un funtor entre las categorías y ), donde tanto y son suaves. El núcleo de un morfismo entre grupoides de Lie sobre la misma variedad base es automáticamente un subgrupoide de Lie normal.

El cociente tiene una estructura de grupoide natural, de modo que la proyección es un morfismo de grupoide; sin embargo, a diferencia de los cocientes de grupos de Lie , puede no ser un grupoide de Lie en general. En consecuencia, los teoremas de isomorfismo para grupoides no se pueden especializar para toda la categoría de grupoides de Lie, sino solo para clases especiales. [6]

Un grupoide de Lie se denomina abeliano si sus grupos de Lie isotrópicos son abelianos . Por razones similares a las anteriores, si bien la definición de abelianización de un grupo se extiende a los grupoides de teoría de conjuntos, en el caso de Lie el análogo del cociente puede no existir o ser suave. [7]

Bisecciones

Una bisección de un grupoide de Lie es una función suave tal que y es un difeomorfismo de . Para superar la falta de simetría entre la fuente y el destino, una bisección se puede definir de manera equivalente como una subvariedad tal que y son difeomorfismos; la relación entre las dos definiciones está dada por . [8]

El conjunto de bisecciones forma un grupo , con la multiplicación definida como y la inversión definida como Nótese que la definición se da de tal manera que, si y , entonces y .

Al grupo de bisecciones se le puede dar la topología compacta-abierta , así como una estructura (de dimensión infinita) de variedad de Fréchet compatible con la estructura del grupo, convirtiéndolo en un grupo de Fréchet-Lie.

Una bisección local se define de forma análoga, pero la multiplicación entre bisecciones locales, por supuesto, sólo está definida parcialmente.

Ejemplos

Casos triviales y extremos

Construcciones a partir de otros grupoides de Lie

Ejemplos de geometría diferencial

Clases importantes de grupoides de Lie

Tenga en cuenta que algunas de las siguientes clases ya tienen sentido en la categoría de grupoides topológicos o de teoría de conjuntos .

Grupoides transitivos

Un grupoide de Lie es transitivo (en la literatura antigua también llamado conexo) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

Los grupoides de calibración constituyen los ejemplos prototípicos de grupoides de Lie transitivos: de hecho, cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo al grupoide de calibración de algún fibrado principal, es decir, el -fibrado , para cualquier punto . Por ejemplo:

Como un ejemplo menos trivial de la correspondencia entre los grupoides de Lie transitivos y los fibrados principales, considere el grupoide fundamental de una variedad lisa (conexa) . Naturalmente, se trata de un grupoide topológico, que además es transitivo; se puede ver que es isomorfo al grupoide de calibración de la cubierta universal de . En consecuencia, hereda una estructura lisa que lo convierte en un grupoide de Lie.

Los grupoides de inmersión son un ejemplo de grupoides de Lie no transitivos, cuyas órbitas son precisamente las fibras de .

Una noción más fuerte de transitividad requiere que el ancla sea una inmersión sobreyectiva. Esta condición también se llama trivialidad local , porque se vuelve localmente isomorfa (como grupoide de Lie) a un grupoide trivial sobre cualquier abierto (como consecuencia de la trivialidad local de los fibrados principales). [6]

Cuando el espacio es numerable en segundo lugar, la transitividad implica trivialidad local. Por consiguiente, estas dos condiciones son equivalentes para muchos ejemplos, pero no para todos: por ejemplo, si es un pseudogrupo transitivo, su grupoide germen es transitivo, pero no trivial localmente.

Grupoides adecuados

Un grupoide de Lie se llama propio si es una función propia . Como consecuencia

Por ejemplo:

Como se ha visto anteriormente, la propiedad para los grupoides de Lie es el análogo "correcto" de la compacidad para los grupos de Lie. También se podrían considerar condiciones más "naturales", por ejemplo, pedir que la función fuente sea apropiada (en ese caso , se denomina s-propia ), o que todo el espacio sea compacto (en ese caso, se denomina compact ), pero estos requisitos resultan demasiado estrictos para muchos ejemplos y aplicaciones. [10]

Étala groupoids

Un grupoide de Lie se denomina étale si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

Como consecuencia de ello, también las fibras β, los grupos de isotropía y las órbitas se vuelven discretos.

Por ejemplo:

Grupos efectivos

Un grupoide de estrellas se denomina efectivo si, para dos bisecciones locales cualesquiera , la condición implica . Por ejemplo:

En general, cualquier grupoide étale efectivo surge como el grupoide germen de algún pseudogrupo. [11] Sin embargo, también se puede dar una definición (más compleja) de efectividad, que no asume la propiedad étale.

Grupoides conectados a la fuente

Un grupoide de Lie se denomina -conexo si todas sus -fibras están conexas . De manera similar, se habla de grupoides -simplemente conexos (cuando las -fibras están simplemente conexas ) o grupoides source-k-conexos (cuando las -fibras están k-conexas , es decir, los primeros grupos de homotopía son triviales).

Obsérvese que no se exige que todo el espacio de flechas satisfaga ninguna hipótesis de conectividad. Sin embargo, si es un grupoide de Lie conexo con la fuente sobre una variedad conexa, entonces él mismo es automáticamente conexo.

Por ejemplo

Otros conceptos relacionados

Acciones y paquetes principales

Recordemos que una acción de un grupoide sobre un conjunto a lo largo de una función se define mediante una colección de aplicaciones para cada morfismo entre . En consecuencia, una acción de un grupoide de Lie sobre una variedad a lo largo de una aplicación suave consiste en una acción de grupoide donde las aplicaciones son suaves. Por supuesto, para cada hay una acción suave inducida del grupo de isotropía sobre la fibra .

Dado un grupoide de Lie , un fibrado principal consiste en un espacio y una inmersión sobreyectiva invariante tal que es un difeomorfismo. Se pueden dar definiciones equivalentes (pero más complejas) utilizando cociclos con valores o trivializaciones locales.

Cuando un grupoide de Lie se encuentra sobre un punto, se recuperan, respectivamente, las acciones estándar del grupo de Lie y los fibrados principales .

Representaciones

Una representación de un grupoide de Lie consiste en una acción de grupoide de Lie sobre un fibrado vectorial , de modo que la acción es lineal a lo largo de toda la fibra, es decir, cada biyección es un isomorfismo lineal. De manera equivalente, una representación de sobre puede describirse como un morfismo de grupoide de Lie de al grupoide lineal general .

Por supuesto, cualquier fibra se convierte en una representación del grupo de isotropía . En términos más generales, las representaciones de los grupoides de Lie transitivos están determinadas únicamente por las representaciones de sus grupos de isotropía, a través de la construcción del fibrado vectorial asociado .

Algunos ejemplos de representaciones de grupoides de Lie incluyen los siguientes:

El conjunto de clases de isomorfismo de representaciones de un grupoide de Lie tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de fibrados vectoriales.

Cohomología diferenciable

La noción de cohomología diferenciable para los grupos de Lie se generaliza naturalmente también a los grupoides de Lie: la definición se basa en la estructura simplicial del nervio de , visto como una categoría.

Más precisamente, recordemos que el espacio consiste en cadenas de morfismos componibles, es decir

y considere el mapa .

Una cocadena diferenciable de con coeficientes en alguna representación es una sección suave del fibrado vectorial de pullback . Se denota por el espacio de tales cocadenas y se considera el diferencial , definido como

Entonces se convierte en un complejo de cocadena y su cohomología, denotada por , se llama cohomología diferenciable de con coeficientes en . Nótese que, dado que la diferencial en grado cero es , uno siempre tiene .

Por supuesto, la cohomología diferenciable de como grupoide de Lie coincide con la cohomología diferenciable estándar de como grupo de Lie (en particular, para grupos discretos se recupera la cohomología de grupo habitual ). Por otra parte, para cualquier grupoide de Lie propio , se puede demostrar que para cada . [12]

El algebroide de Lie de un grupoide de Lie

Cualquier grupoide de Lie tiene asociado un álgebroide de Lie , obtenido con una construcción similar a la que asocia un álgebra de Lie a cualquier grupo de Lieː

La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie se generaliza hasta cierto punto también a los grupoides de Lie: los dos primeros teoremas de Lie (también conocidos como el teorema de subgrupos-subálgebras y el teorema de homomorfismos) se pueden adaptar fácilmente a este contexto.

En particular, como en la teoría de Lie estándar, para cualquier grupoide de Lie s-conexo existe un único grupoide de Lie s-simplemente conexo (salvo isomorfismo) con el mismo algebroide de Lie de , y un difeomorfismo local que es un morfismo de grupoide. Por ejemplo,

Sin embargo, no existe un análogo del tercer teorema de Lie ː mientras que varias clases de álgebroides de Lie son integrables, hay ejemplos de álgebroides de Lie, por ejemplo relacionados con la teoría de foliación , que no admiten un grupoide de Lie integrante. [13] Las obstrucciones generales a la existencia de tal integración dependen de la topología de . [14]

Equivalencia de Morita

Como se ha comentado anteriormente, la noción estándar de (iso)morfismo de los grupoides (considerados como funtores entre categorías ) se limita naturalmente a los grupoides de Lie. Sin embargo, existe una noción más burda de equivalencia, denominada equivalencia de Morita, que es más flexible y útil en las aplicaciones.

En primer lugar, una función Morita (también conocida como equivalencia débil o equivalencia esencial) entre dos grupoides de Lie y consiste en un morfismo de grupoide de Lie de G a H que además es completamente fiel y esencialmente sobreyectivo (adaptando estas nociones categóricas al contexto suave). Decimos que dos grupoides de Lie y son equivalentes a Morita si y solo si existe un tercer grupoide de Lie junto con dos funciones Morita de G a K y de H a K .

Una descripción más explícita de la equivalencia de Morita (por ejemplo, útil para comprobar que se trata de una relación de equivalencia ) requiere la existencia de dos inmersiones sobreyectivas y, junto con una acción izquierda y una acción derecha, conmutando entre sí y formando un bifibrado principal. [15]

Invariancia de Morita

Muchas propiedades de los grupoides de Lie, por ejemplo, ser propio, ser Hausdorff o ser transitivo, son invariantes de Morita. Por otro lado, ser étale no es invariante de Morita.

Además, una equivalencia de Morita entre y conserva su geometría transversal , es decir, induce:

Por último, las cohomologías diferenciables de dos grupoides de Lie equivalentes de Morita son isomorfas. [12]

Ejemplos

Un ejemplo concreto del último ejemplo es el siguiente. Sea M una variedad suave y una cubierta abierta de . Su grupoide de Čech está definido por las uniones disjuntas y , donde . La función fuente y destino se definen como las incrustaciones y , y la multiplicación es la obvia si leemos los como subconjuntos de M (los puntos compatibles en y en realidad son los mismos en y también se encuentran en ). El grupoide de Čech es, de hecho, el grupoide de pullback, bajo la inmersión obvia , del grupoide unidad . Como tal, los grupoides de Čech asociados a diferentes cubiertas abiertas de son equivalentes de Morita.

Pilas lisas

La investigación de la estructura del espacio de órbitas de un grupoide de Lie conduce a la noción de una pila lisa. Por ejemplo, el espacio de órbitas es una variedad lisa si los grupos de isotropía son triviales (como en el ejemplo del grupoide de Čech), pero no es lisa en general. La solución es invertir el problema y definir una pila lisa como una clase de equivalencia de Morita de grupoides de Lie. Los objetos geométricos naturales que viven en la pila son los objetos geométricos de los grupoides de Lie invariantes bajo la equivalencia de Morita: un ejemplo es la cohomología de grupoides de Lie.

Dado que el concepto de pila lisa es bastante general, obviamente todas las variedades lisas son pilas lisas. Otras clases de ejemplos incluyen orbifolds , que son (clases de equivalencia de) grupoides de Lie étale propios, y espacios de órbitas de foliaciones.

Referencias

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  2. ^ Ehresmann, Charles (1959). "Catégories topologiques et groups différentiables" [Categorías topológicas y categorías diferenciables] (PDF) . Colloque de Géométrie différentielle globale (en francés). CBRM, Bruselas: 137-150.
  3. ^ Ehresmann, Charles (1963). "Catégories structurées" [Categorías estructuradas]. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés). 80 (4): 349–426. doi : 10.24033/asens.1125 .
  4. ^ Pradinas, Jean (1966). "Théorie de Lie pour les groupoïdes dif́férentiables. Relations entre propriétés locales et globales" [Teoría de la mentira para grupoides diferenciables. Relaciones entre propiedades locales y globales. CR Acad. Ciencia. París (en francés). 263 : 907–910 - vía Gallica .
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  6. ^ ab Mackenzie, K. (1987). Grupoides de Lie y álgebroides de Lie en geometría diferencial. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511661839. ISBN 978-0-521-34882-9.
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