Álgebra de operadores de vértices

Álgebra utilizada en teorías de campos conformes 2D y teoría de cuerdas

En matemáticas, un álgebra de operadores de vértices ( VOA ) es una estructura algebraica que desempeña un papel importante en la teoría de campos conforme bidimensionales y la teoría de cuerdas . Además de las aplicaciones físicas, las álgebras de operadores de vértices han demostrado ser útiles en contextos puramente matemáticos, como el monstruoso moonshine y la correspondencia geométrica de Langlands .

La noción relacionada de álgebra de vértices fue introducida por Richard Borcherds en 1986, motivado por una construcción de un álgebra de Lie de dimensión infinita debido a Igor Frenkel . En el curso de esta construcción, se emplea un espacio de Fock que admite una acción de operadores de vértice asociados a elementos de un retículo . Borcherds formuló la noción de álgebra de vértices axiomatizando las relaciones entre los operadores de vértice del retículo, produciendo una estructura algebraica que permite construir nuevas álgebras de Lie siguiendo el método de Frenkel.

El concepto de álgebra de operadores de vértices fue introducido como una modificación del concepto de álgebra de vértices por Frenkel, James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, como parte de su proyecto para construir el módulo Moonshine . Observaron que muchas álgebras de vértices que aparecen "en la naturaleza" conllevan una acción del álgebra de Virasoro y satisfacen una propiedad de acotación inferior con respecto a un operador de energía . Motivados por esta observación, añadieron la acción de Virasoro y la propiedad de acotación inferior como axiomas.

Ahora tenemos una motivación post-hoc para estas nociones de la física, junto con varias interpretaciones de los axiomas que no se conocían inicialmente. Físicamente, los operadores de vértice que surgen de inserciones de campos holomorfos en puntos en la teoría de campos conforme bidimensional admiten expansiones de producto de operadores cuando las inserciones colisionan, y estas satisfacen precisamente las relaciones especificadas en la definición de álgebra de operadores de vértice. De hecho, los axiomas de un álgebra de operadores de vértice son una interpretación algebraica formal de lo que los físicos llaman álgebras quirales (que no deben confundirse con la noción más precisa con el mismo nombre en matemáticas) o "álgebras de simetrías quirales", donde estas simetrías describen las identidades de Ward satisfechas por una teoría de campos conforme dada , incluida la invariancia conforme. Otras formulaciones de los axiomas del álgebra de vértices incluyen el trabajo posterior de Borcherds sobre anillos conmutativos singulares , álgebras sobre ciertos operados en curvas introducidas por Huang, Kriz y otros, objetos teóricos del módulo D llamados álgebras quirales introducidos por Alexander Beilinson y Vladimir Drinfeld y álgebras de factorización , también introducidas por Beilinson y Drinfeld.

Ejemplos básicos importantes de álgebras de operadores de vértice incluyen las VOA de red (que modelan teorías de campos conformes de red), las VOA dadas por representaciones de álgebras de Kac-Moody afines (del modelo WZW ), las VOA de Virasoro, que son VOA correspondientes a representaciones del álgebra de Virasoro , y el módulo de luz de luna V ^♮ , que se distingue por su simetría monstruosa . Ejemplos más sofisticados como las W-álgebras afines y el complejo de De Rham quiral en una variedad compleja surgen en la teoría de la representación geométrica y la física matemática .

Definición formal

Álgebra de vértices

Un álgebra de vértices es una colección de datos que satisfacen ciertos axiomas.

Datos

• un espacio vectorial , llamado espacio de estados. El campo subyacente se considera típicamente el de los números complejos , aunque la formulación original de Borcherds permitía un anillo conmutativo arbitrario . ${\displaystyle V}$
• un elemento de identidad , a veces escrito para indicar un estado de vacío. ${\displaystyle 1\in V}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle \Omega }$
• un endomorfismo , llamado "traducción". (La formulación original de Borcherds incluía un sistema de potencias divididas de , porque no suponía que el anillo fundamental era divisible). ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle T}$
• una función de multiplicación lineal , donde es el espacio de todas las series formales de Laurent con coeficientes en . Esta estructura tiene algunas presentaciones alternativas: ${\displaystyle Y:V\otimes V\rightarrow V((z))}$ ${\displaystyle V((z))}$ ${\displaystyle V}$
  • como una colección infinita de productos bilineales donde y , de modo que para cada , existe un tal que para . ${\displaystyle \cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle u_{n}\in \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{n}v=0}$ ${\displaystyle n<N}$
  • como un mapa de multiplicación por la izquierda . Este es el mapa "estado-campo" de la llamada correspondencia estado-campo. Para cada , la distribución formal valorada por endomorfismo se denomina operador de vértice o campo, y el coeficiente de es el operador . En el contexto de las álgebras de vértices, un campo es más precisamente un elemento de , que se puede escribir de manera que para cualquier para suficientemente pequeño (que puede depender de ). La notación estándar para la multiplicación es ${\displaystyle V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle z^{-n-1}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle v\in V,A_{n}v=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.}$$

Axiomas

Estos datos son necesarios para satisfacer los siguientes axiomas:

• Identidad. Para cualquier y . ^[a] ${\displaystyle u\in V\,,\,Y(1,z)u=u}$ ${\displaystyle \,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]}$
• Traducción. , y para cualquier , ${\displaystyle T(1)=0}$ ${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle [T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v}$

• Localidad (identidad de Jacobi o identidad de Borcherd). Para cualquier , existe un entero positivo N tal que: ${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle (z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).}$

Formulaciones equivalentes del axioma de localidad

El axioma de localidad tiene varias formulaciones equivalentes en la literatura, por ejemplo, Frenkel–Lepowsky–Meurman introdujo la identidad de Jacobi:

${\displaystyle \forall u,v,w\in V:\qquad z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,}$

donde definimos la serie delta formal por:

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

Borcherds ^[1] utilizó inicialmente las dos identidades siguientes: para cualquier vector u , v y w , y números enteros m y n tenemos

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

y

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$.

Más tarde dio una versión más amplia que es equivalente pero más fácil de usar: para cualquier vector u , v y w , y números enteros m , n y q tenemos

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

Finalmente, existe una versión de función formal de localidad: para cualquier , hay un elemento ${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

tales que y son las expansiones correspondientes de en y . ${\displaystyle Y(u,z)Y(v,x)w}$ ${\displaystyle Y(v,x)Y(u,z)w}$ ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$ ${\displaystyle V((z))((x))}$ ${\displaystyle V((x))((z))}$

Álgebra de operadores de vértices

Un álgebra de operadores de vértice es un álgebra de vértices equipada con un elemento conforme , de modo que el operador de vértice es el cuerpo de Virasoro de peso dos : ${\displaystyle \omega \in V}$ ${\displaystyle Y(\omega ,z)}$ ${\displaystyle L(z)}$

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

y satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$, donde es una constante llamada carga central o rango de . En particular, los coeficientes de este operador de vértice dotan de una acción del álgebra de Virasoro con carga central . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle L_{0}}$actúa de forma semisimple con valores propios enteros que están acotados por debajo. ${\displaystyle V}$
• Bajo la gradación proporcionada por los valores propios de , la multiplicación de es homogénea en el sentido de que si y son homogéneos, entonces es homogénea de grado . ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{n}v}$ ${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$
• La identidad tiene grado 0 y el elemento conforme tiene grado 2. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$.

Un homomorfismo de álgebras de vértices es un mapa de los espacios vectoriales subyacentes que respeta la identidad adicional, la traslación y la estructura de multiplicación. Los homomorfismos de álgebras de operadores de vértices tienen formas "débiles" y "fuertes", según respeten o no los vectores conformes.

Álgebras de vértices conmutativas

Un álgebra de vértices es conmutativa si todos los operadores de vértices conmutan entre sí. Esto es equivalente a la propiedad de que todos los productos se encuentran en , o que . Por lo tanto, una definición alternativa para un álgebra de vértices conmutativa es una en la que todos los operadores de vértices son regulares en . ^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle Y(u,z)v}$ ${\displaystyle V[[z]]}$ ${\displaystyle Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle z=0}$

Dada una álgebra de vértices conmutativa, los términos constantes de multiplicación dotan al espacio vectorial de una estructura de anillo conmutativo y asociativo, el vector de vacío es una unidad y es una derivación. Por lo tanto, el álgebra de vértices conmutativa se dota de la estructura de un álgebra unitaria conmutativa con derivación. Por el contrario, cualquier anillo conmutativo con derivación tiene una estructura de álgebra de vértices canónica, donde establecemos , de modo que se restringe a una función que es la función de multiplicación con el producto del álgebra. Si la derivación se anula, podemos establecer para obtener un álgebra de operadores de vértices concentrada en grado cero. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle u\mapsto u\cdot }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Cualquier álgebra de vértices de dimensión finita es conmutativa.

Por lo tanto, incluso los ejemplos más pequeños de álgebras de vértices no conmutativas requieren una introducción significativa.

Propiedades básicas

El operador de traducción en un álgebra de vértices induce simetrías infinitesimales en la estructura del producto y satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle \,Y(u,z)1=e^{zT}u}$
• ${\displaystyle \,Tu=u_{-2}1}$, por lo que está determinado por . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}}$
• ${\displaystyle \,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)}$
• (simetría oblicua) ${\displaystyle Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u}$

Para un álgebra de operadores de vértices, los demás operadores de Virasoro satisfacen propiedades similares:

• ${\displaystyle \,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)}$
• ${\displaystyle \,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})}$
• (cuasi-conformidad) para todos . ${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$ ${\displaystyle m\geq -1}$
• (Asociatividad, o propiedad de Cousin): Para cualquier , el elemento ${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

dado en la definición también se expande a en . ${\displaystyle Y(Y(u,z-x)v,x)w}$ ${\displaystyle V((x))((z-x))}$

La propiedad de asociatividad de un álgebra de vértices se deriva del hecho de que el conmutador de y es aniquilado por una potencia finita de , es decir, se puede expandir como una combinación lineal finita de derivadas de la función delta formal en , con coeficientes en . ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle Y(v,z)}$ ${\displaystyle z-x}$ ${\displaystyle (z-x)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Reconstrucción: Sea un álgebra de vértices y sea un conjunto de vectores, con cuerpos correspondientes . Si está abarcado por monomios en los coeficientes de peso positivos de los cuerpos (es decir, productos finitos de operadores aplicados a , donde es negativo), entonces podemos escribir el producto de operadores de dicho monomio como un producto ordenado normalmente de derivadas de potencias divididas de cuerpos (aquí, el orden normal significa que los términos polares de la izquierda se mueven a la derecha). Específicamente, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J_{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

De manera más general, si se da un espacio vectorial con un endomorfismo y un vector , y se asigna a un conjunto de vectores un conjunto de campos que son mutuamente locales, cuyos coeficientes de peso positivos generan , y que satisfacen las condiciones de identidad y traducción, entonces la fórmula anterior describe una estructura de álgebra de vértices. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle J^{a}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle V}$

Expansión de productos para operadores

En la teoría del álgebra de vértices, debido a la asociatividad, podemos abusar de la notación para escribir, por Esta es la expansión del producto del operador . De manera equivalente, Dado que la parte ordenada normal es regular en y , esto se puede escribir más en línea con las convenciones de la física como donde la relación de equivalencia denota equivalencia hasta términos regulares. ${\displaystyle A,B,C\in V,}$ $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$ $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ ${\displaystyle \sim }$

OPE de uso común

Aquí se registran algunos OPE que se encuentran frecuentemente en la teoría de campos conforme. ^[3]

Ejemplos de álgebras de Lie

Los ejemplos básicos provienen de álgebras de Lie de dimensión infinita.

Álgebra de operadores de vértices de Heisenberg

Un ejemplo básico de un álgebra de vértices no conmutativa es el bosón libre de rango 1, también llamado álgebra de operadores de vértices de Heisenberg. Es "generada" por un único vector b , en el sentido de que al aplicar los coeficientes del campo b ( z ) := Y ( b , z ) al vector 1 , obtenemos un conjunto generador. El espacio vectorial subyacente es el anillo polinomial de variable infinita , donde para positivo , actúa obviamente por multiplicación, y actúa como . La acción de b ₀ es la multiplicación por cero, produciendo la representación de Fock de "momento cero" V ₀ del álgebra de Lie de Heisenberg (generada por b _n para enteros n , con relaciones de conmutación [ b _n , b _m ]= n δ _n,–m ), inducida por la representación trivial del subálgebra generadora por b _n , n ≥ 0. ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{-n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$

El espacio de Fock V ₀ se puede convertir en un álgebra de vértices mediante la siguiente definición del mapa de operadores de estado sobre una base con cada , ${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$ ${\displaystyle j_{i}<0}$

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

donde denota el ordenamiento normal de un operador . Los operadores de vértice también pueden escribirse como funcionales de una función multivariable f como: ${\displaystyle :{\mathcal {O}}:}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

Si entendemos que cada término en la expansión de f está ordenado normalmente.

El bosón libre de rango n se obtiene tomando un producto tensorial n -vez del bosón libre de rango 1. Para cualquier vector b en un espacio n -dimensional, se tiene un campo b ( z ) cuyos coeficientes son elementos del álgebra de Heisenberg de rango n , cuyas relaciones de conmutación tienen un término de producto interno adicional: [ b _n , c _m ]= n (b,c) δ _n,–m .

El álgebra de operadores de vértices de Heisenberg tiene una familia de vectores conformes de un parámetro con parámetros de vectores conformes dados por ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

con carga central . ^[4] ${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$

Cuando , existe la siguiente fórmula para el carácter Virasoro : ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Esta es la función generadora de particiones , y también se escribe como q ^1/24 veces el peso −1/2 forma modular 1/η (el recíproco de la función eta de Dedekind ). El bosón libre de rango n tiene entonces una familia de parámetros n de vectores de Virasoro, y cuando esos parámetros son cero, el carácter es q ^{n /24} veces el peso − n /2 forma modular η ^{− n} .

Álgebra del operador de vértice de Virasoro

Las álgebras de operadores de vértices de Virasoro son importantes por dos razones: primero, el elemento conforme en un álgebra de operadores de vértices induce canónicamente un homomorfismo a partir de un álgebra de operadores de vértices de Virasoro, por lo que desempeñan un papel universal en la teoría. Segundo, están íntimamente conectados con la teoría de representaciones unitarias del álgebra de Virasoro, y estos desempeñan un papel importante en la teoría de campos conformes . En particular, los modelos mínimos unitarios de Virasoro son cocientes simples de estas álgebras de vértices, y sus productos tensoriales proporcionan una forma de construir combinatoriamente álgebras de operadores de vértices más complicadas.

El álgebra de operadores de vértices de Virasoro se define como una representación inducida del álgebra de Virasoro : si elegimos una carga central c , hay un módulo unidimensional único para la subálgebra C [z]∂ _z + K para la cual K actúa por c Id, y C [z]∂ _z actúa trivialmente, y el módulo inducido correspondiente está abarcado por polinomios en L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z cuando n varía sobre números enteros mayores que 1. El módulo entonces tiene función de partición.

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Este espacio tiene una estructura de álgebra de operadores de vértices, donde los operadores de vértices se definen por:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

y . El hecho de que el campo de Virasoro L(z) sea local respecto de sí mismo se puede deducir de la fórmula de su autoconmutador: ${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

donde c es la carga central .

Dado un homomorfismo de álgebra de vértices de un álgebra de vértices de Virasoro con carga central c a cualquier otra álgebra de vértices, el operador de vértice asociado a la imagen de ω satisface automáticamente las relaciones de Virasoro, es decir, la imagen de ω es un vector conforme. Por el contrario, cualquier vector conforme en un álgebra de vértices induce un homomorfismo de álgebra de vértices distinguido a partir de algún álgebra de operadores de vértices de Virasoro.

Las álgebras de operadores de vértice de Virasoro son simples, excepto cuando c tiene la forma 1–6( p – q ) ² / pq para enteros coprimos p , q estrictamente mayores que 1 – esto se sigue de la fórmula del determinante de Kac. En estos casos excepcionales, uno tiene un ideal maximal único, y el cociente correspondiente se llama modelo minimal. Cuando p = q +1, las álgebras de vértice son representaciones unitarias de Virasoro, y sus módulos se conocen como representaciones de series discretas. Juegan un papel importante en la teoría de campos conforme en parte porque son inusualmente manejables, y para p pequeño, corresponden a sistemas de mecánica estadística bien conocidos en criticidad, por ejemplo, el modelo de Ising , el modelo de Ising tricrítico, el modelo de Potts de tres estados , etc. Por el trabajo de Weiqang Wang ^[5] sobre las reglas de fusión , tenemos una descripción completa de las categorías tensoriales de los modelos mínimos unitarios. Por ejemplo, cuando c = 1/2 (Ising), hay tres módulos irreducibles con el menor peso L ₀ 0, 1/2 y 1/16, y su anillo de fusión es Z [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ).

Álgebra de vértices afines

Al reemplazar el álgebra de Lie de Heisenberg con un álgebra de Lie de Kac–Moody afín no retorcida (es decir, la extensión central universal del álgebra de bucles en un álgebra de Lie simple de dimensión finita ), se puede construir la representación del vacío de la misma manera que se construye el álgebra de vértices de bosones libres. Esta álgebra surge como el álgebra actual del modelo de Wess–Zumino–Witten , que produce la anomalía que se interpreta como la extensión central.

Concretamente, retirando la prolongación central

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

a lo largo de la inclusión se obtiene una extensión dividida, y el módulo de vacío se induce a partir de la representación unidimensional de este último sobre el que actúa un elemento de base central mediante alguna constante elegida llamada "nivel". Dado que los elementos centrales se pueden identificar con productos internos invariantes en el álgebra de Lie de tipo finito , normalmente se normaliza el nivel de modo que la forma de Killing tenga un nivel dos veces el número dual de Coxeter . De manera equivalente, el nivel uno da el producto interno para el que la raíz más larga tiene norma 2. Esto coincide con la convención del álgebra de bucles , donde los niveles se discretizan mediante la tercera cohomología de grupos de Lie compactos simplemente conexos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Al elegir una base J ^a del álgebra de Lie de tipo finito, se puede formar una base del álgebra de Lie afín utilizando J ^a _n = J ^a t ⁿ junto con un elemento central K . Por reconstrucción, podemos describir los operadores de vértice mediante productos ordenados normales de derivadas de los campos

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Cuando el nivel no es crítico, es decir, el producto interno no es menos la mitad de la forma de Killing, la representación del vacío tiene un elemento conforme, dado por la construcción de Sugawara . ^[b] Para cualquier elección de bases duales J ^a , J _a con respecto al producto interno de nivel 1, el elemento conforme es

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

y produce un álgebra de operadores de vértice cuya carga central es . En el nivel crítico, la estructura conforme se destruye, ya que el denominador es cero, pero se pueden producir operadores L _n para n ≥ –1 tomando un límite cuando k se acerca a la criticidad. ${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$

Módulos

Al igual que los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo o representación. Los módulos desempeñan un papel importante en la teoría de campos conforme, donde a menudo se los llama sectores. Una suposición estándar en la literatura de física es que el espacio de Hilbert completo de una teoría de campos conforme se descompone en una suma de productos tensoriales de sectores que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

Es decir, una teoría de campo conforme tiene un álgebra de operadores de vértice de simetrías quirales que se mueven hacia la izquierda, un álgebra de operadores de vértice de simetrías quirales que se mueven hacia la derecha, y los sectores que se mueven en una dirección dada son módulos para el álgebra de operadores de vértice correspondiente.

Definición

Dada un álgebra de vértices V con multiplicación Y , un V -módulo es un espacio vectorial M equipado con una acción Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), que satisface las siguientes condiciones:

(Identidad) Y ^M (1,z) = Id _M

(Asociatividad o identidad de Jacobi) Para cualquier u , v ∈ V , w ∈ M , hay un elemento

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

de manera que Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w y Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w son las correspondientes expansiones de en M (( z ))(( x )) y M (( x ))(( z – x )). De manera equivalente, se cumple la siguiente " identidad de Jacobi ": ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Los módulos de un álgebra de vértices forman una categoría abeliana . Cuando se trabaja con álgebras de operadores de vértices, a la definición anterior a veces se le da el nombre de módulo débil ${\displaystyle V}$ , y los V -módulos genuinos deben respetar la estructura conforme dada por el vector conforme . Más precisamente, se requiere que satisfagan la condición adicional de que L ₀ actúa de manera semisimple con espacios propios de dimensión finita y valores propios acotados por debajo en cada clase lateral de Z. El trabajo de Huang, Lepowsky, Miyamoto y Zhang ^{[ cita requerida ]} ha demostrado en varios niveles de generalidad que los módulos de un álgebra de operadores de vértices admiten una operación de producto tensorial de fusión y forman una categoría tensorial trenzada . ${\displaystyle \omega }$

Cuando la categoría de V -módulos es semisimple con un número finito de objetos irreducibles, el álgebra de operadores de vértice V se llama racional. Se sabe que las álgebras de operadores de vértice racionales que satisfacen una hipótesis de finitud adicional (conocida como condición de C ₂ -cofiniteness de Zhu) se comportan particularmente bien y se denominan regulares . Por ejemplo, el teorema de invariancia modular de Zhu de 1996 afirma que los caracteres de los módulos de un VOA regular forman una representación con valores vectoriales de . En particular, si un VOA es holomorfo , es decir, su categoría de representación es equivalente a la de los espacios vectoriales, entonces su función de partición es -invariante hasta una constante. Huang demostró que la categoría de módulos de un VOA regular es una categoría tensorial modular y sus reglas de fusión satisfacen la fórmula de Verlinde . ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

Módulos del álgebra de Heisenberg

Los módulos del álgebra de Heisenberg se pueden construir como espacios de Fock para los cuales se inducen representaciones del álgebra de Lie de Heisenberg , dadas por un vector de vacío que satisface para , , y sobre el que actúan libremente los modos negativos para . El espacio se puede escribir como . Todo módulo irreducible, graduado, del álgebra de Heisenberg con gradación acotada por debajo tiene esta forma. ${\displaystyle \pi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v_{\lambda }}$ ${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$ ${\displaystyle b_{-n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Estos se utilizan para construir álgebras de vértices en red, que como espacios vectoriales son sumas directas de módulos de Heisenberg, cuando la imagen de se extiende apropiadamente a los elementos del módulo. ${\displaystyle Y}$

La categoría de módulo no es semisimple, ya que se puede inducir una representación del álgebra de Lie abeliana donde b ₀ actúa mediante un bloque de Jordan no trivial . Para el bosón libre de rango n , se tiene un módulo irreducible V _λ para cada vector λ en el espacio complejo de n dimensiones. Cada vector b ∈ C ⁿ produce el operador b ₀ , y el espacio de Fock V _λ se distingue por la propiedad de que cada uno de esos b ₀ actúa como multiplicación escalar por el producto interno ( b , λ).

Módulos retorcidos

A diferencia de los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo torcido unido a un automorfismo. Para un automorfismo σ de orden N , la acción tiene la forma V ⊗ M → M (( z ^1/N )), con la siguiente condición de monodromía : si u ∈ V satisface σ u = exp(2π ik / N ) u , entonces u _n = 0 a menos que n satisfaga n + k / N ∈ Z (hay cierto desacuerdo sobre los signos entre los especialistas). Geométricamente, los módulos torcidos pueden unirse a puntos de ramificación en una curva algebraica con una cubierta de Galois ramificada . En la literatura de teoría de campos conforme, los módulos torcidos se denominan sectores torcidos , y están íntimamente conectados con la teoría de cuerdas sobre orbifolds .

Ejemplos adicionales

Álgebra de operadores de vértice definida por una red par

La construcción del álgebra de vértices en red fue la motivación original para definir las álgebras de vértices. Se construye tomando una suma de módulos irreducibles para el álgebra de Heisenberg correspondientes a vectores de red, y definiendo una operación de multiplicación especificando operadores de entrelazamiento entre ellos. Es decir, si Λ es una red par (si la red no es par, la estructura obtenida es en cambio una superálgebra de vértices), el álgebra de vértices en red V _Λ se descompone en módulos bosónicos libres como:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Las álgebras de vértices en red se asocian canónicamente a las cubiertas dobles de redes integrales pares , en lugar de a las redes mismas. Si bien cada una de estas redes tiene un álgebra de vértices en red única hasta el isomorfismo, la construcción del álgebra de vértices no es funcional, porque los automorfismos en red tienen una ambigüedad en la elevación. ^[1]

Las dobles cubiertas en cuestión están determinadas de forma única hasta el isomorfismo por la siguiente regla: los elementos tienen la forma ±e _α para vectores reticulares α ∈ Λ (es decir, hay una función para Λ que envía e _α a α que olvida los signos), y la multiplicación satisface las relaciones e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . Otra forma de describir esto es que dada una red uniforme Λ , existe un ciclo normalizado único (hasta colímite) ε ( α , β ) con valores ±1 tales que (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , donde la condición de normalización es que ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 para todos α ∈ Λ . Este cociclo induce una extensión central de Λ por un grupo de orden 2, y obtenemos un anillo de grupo retorcido C _ε [Λ] con base e _α ( α ∈ Λ) , y regla de multiplicación e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} – la condición del cociclo en ε asegura la asociatividad del anillo. ^[6]

El operador de vértice asociado al vector de menor peso v _λ en el espacio de Fock V _λ es

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

donde z ^λ es una abreviatura de la función lineal que lleva cualquier elemento del espacio α-Fock V _α al monomio z ^{( λ , α )} . Los operadores de vértice para otros elementos del espacio de Fock se determinan entonces mediante reconstrucción.

Como en el caso del bosón libre, uno tiene una elección de vector conforme, dada por un elemento s del espacio vectorial Λ ⊗ C , pero la condición de que los espacios de Fock adicionales tengan valores propios enteros L ₀ restringe la elección de s : para una base ortonormal x _i , el vector 1/2 x _i,1 ² + s ₂ debe satisfacer ( s , λ ) ∈ Z para todo λ ∈ Λ , es decir, s se encuentra en la red dual.

Si la red par Λ es generada por sus "vectores raíz" (aquellos que satisfacen (α, α)=2), y dos vectores raíz cualesquiera están unidos por una cadena de vectores raíz con productos internos consecutivos distintos de cero, entonces el álgebra de operadores de vértice es el único cociente simple del módulo de vacío del álgebra afín de Kac-Moody del álgebra de Lie simple simplemente enlazada correspondiente en el nivel uno. Esto se conoce como la construcción de Frenkel-Kac (o Frenkel – Kac – Segal ), y se basa en la construcción anterior de Sergio Fubini y Gabriele Veneziano del operador de vértice taquiónico en el modelo de resonancia dual . Entre otras características, los modos cero de los operadores de vértice correspondientes a los vectores raíz dan una construcción del álgebra de Lie simple subyacente, relacionada con una presentación originalmente debida a Jacques Tits . En particular, se obtiene una construcción de todos los grupos de Lie de tipo ADE directamente a partir de sus redes de raíces. Y esta se considera comúnmente la forma más sencilla de construir el grupo de 248 dimensiones E ₈ . ^{[6] [7]}

Álgebra de vértices de monstruos

El álgebra de vértices monstruosa (también llamada "módulo de luz de luna") es la clave para la prueba de Borcherds de las conjeturas de la luz de luna monstruosa . Fue construida por Frenkel, Lepowsky y Meurman en 1988. Es notable porque su carácter es el j-invariante sin término constante, , y su grupo de automorfismos es el grupo monstruo . Se construye orbifoldando el álgebra de vértices de red construida a partir de la red de Leech por el automorfismo de orden 2 inducido por la reflexión de la red de Leech en el origen. Es decir, se forma la suma directa de la red de Leech VOA con el módulo torcido, y se toman los puntos fijos bajo una involución inducida. Frenkel, Lepowsky y Meurman conjeturaron en 1988 que es la única álgebra de operadores de vértices holomorfa con carga central 24 y función de partición . Esta conjetura aún está abierta. ${\displaystyle V^{\natural }}$ ${\displaystyle j(\tau )-744}$ ${\displaystyle V^{\natural }}$ ${\displaystyle j(\tau )-744}$

Complejo quiral de Rham

Malikov, Schechtman y Vaintrob demostraron que mediante un método de localización, se puede unir canónicamente un sistema bcβγ (supercampo de bosones y fermiones) a una variedad compleja lisa. Este complejo de haces tiene una diferencial distinguida, y la cohomología global es una superálgebra de vértices. Ben-Zvi, Heluani y Szczesny demostraron que una métrica de Riemann en la variedad induce una estructura superconforme N = 1, que se promueve a una estructura N = 2 si la métrica es plana de Kähler y Ricci , y una estructura hiperkähler induce una estructura N = 4. Borisov y Libgober demostraron que se puede obtener el género elíptico de dos variables de una variedad compleja compacta a partir de la cohomología del complejo quiral de Rham. Si la variedad es Calabi–Yau , entonces este género es una forma débil de Jacobi . ^[8]

Álgebra de vértices asociada a un defecto superficial

Un álgebra de vértices puede surgir como un subsector de la teoría cuántica de campos de dimensiones superiores que se localiza en una subvariedad de dos dimensiones reales del espacio en el que se define la teoría de dimensiones superiores. Un ejemplo prototípico es la construcción de Beem, Leemos, Liendo, Peelaers, Rastelli y van Rees que asocia un álgebra de vértices a cualquier teoría de campos superconforme 4d N = 2. ^[9] Esta álgebra de vértices tiene la propiedad de que su carácter coincide con el índice de Schur de la teoría superconforme 4d. Cuando la teoría admite un límite de acoplamiento débil, el álgebra de vértices tiene una descripción explícita como una reducción BRST de un sistema bcβγ.

Superálgebras de operadores de vértice

Al permitir que el espacio vectorial subyacente sea un superespacio (es decir, un espacio vectorial Z /2 Z -graduado ) se puede definir una superálgebra de vértices con los mismos datos que un álgebra de vértices, con 1 en V ₊ y T un operador par. Los axiomas son esencialmente los mismos, pero se deben incorporar signos adecuados en el axioma de localidad, o una de las formulaciones equivalentes. Es decir, si a y b son homogéneos, se compara Y ( a , z ) Y ( b , w ) con ε Y ( b , w ) Y ( a , z ), donde ε es –1 si tanto a como b son impares y 1 en caso contrario. Si además hay un elemento de Virasoro ω en la parte par de V ₂ , y se satisfacen las restricciones de gradación habituales, entonces V se llama una superálgebra de operador de vértice . ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$

Uno de los ejemplos más simples es la superálgebra del operador de vértice generada por un único fermión libre ψ. Como representación de Virasoro, tiene carga central 1/2 y se descompone como una suma directa de módulos de Ising de menor peso 0 y 1/2. También se puede describir como una representación de espín del álgebra de Clifford en el espacio cuadrático t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ]( dt ) ^1/2 con apareamiento de residuos. La superálgebra del operador de vértice es holomorfa, en el sentido de que todos los módulos son sumas directas de sí misma, es decir, la categoría del módulo es equivalente a la categoría de los espacios vectoriales.

El cuadrado tensorial del fermión libre se denomina fermión cargado libre y, por la correspondencia bosón-fermión, es isomorfo a la superálgebra de vértices de red asociada a la red impar Z. ^[6] Esta correspondencia ha sido utilizada por Date–Jimbo–Kashiwara - Miwa para construir soluciones de solitones para la jerarquía KP de PDE no lineales.

Estructuras superconformes

El álgebra de Virasoro tiene algunas extensiones supersimétricas que aparecen naturalmente en la teoría de campos superconformes y la teoría de supercuerdas . Las álgebras superconformes N = 1, 2 y 4 son de particular importancia.

Las transformaciones superconformes holomórficas infinitesimales de una supercurva (con una coordenada local par z y N coordenadas locales impares θ ₁ ,...,θ _N ) son generadas por los coeficientes de un supertensor de tensión-energía T (z, θ ₁ , ..., θ _N ).

Cuando N = 1, T tiene una parte impar dada por un campo de Virasoro L ( z ), y una parte par dada por un campo

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

sujeto a relaciones de conmutación

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

Al examinar la simetría de los productos de operadores, se encuentra que hay dos posibilidades para el cuerpo G : los índices n son todos enteros, lo que da como resultado el álgebra de Ramond , o todos semienteros, lo que da como resultado el álgebra de Neveu-Schwarz . Estas álgebras tienen representaciones de series discretas unitarias en carga central

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

y representaciones unitarias para todos los c mayores que 3/2, con el peso más bajo h solo restringido por h ≥ 0 para Neveu–Schwarz y h ≥ c /24 para Ramond.

Un vector superconforme N = 1 en un álgebra de operadores de vértice V de carga central c es un elemento impar τ ∈ V de peso 3/2, tal que

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

G _−1/2 τ = ω, y los coeficientes de G ( z ) producen una acción del álgebra de Neveu–Schwarz N = 1 en la carga central c .

Para la supersimetría N = 2, se obtienen campos pares L ( z ) y J ( z ), y campos impares G ⁺ (z) y G ⁻ (z). El campo J ( z ) genera una acción de las álgebras de Heisenberg (descritas por los físicos como una corriente U (1)). Existen álgebras superconformes N = 2 de Ramond y Neveu–Schwarz, dependiendo de si la indexación en los campos G es integral o semientera. Sin embargo, la corriente U (1) da lugar a una familia de un parámetro de álgebras superconformes isomórficas que interpolan entre Ramond y Neveu–Schwartz, y esta deformación de la estructura se conoce como flujo espectral. Las representaciones unitarias se dan por series discretas con carga central c = 3-6/ m para enteros m al menos 3, y un continuo de pesos más bajos para c > 3.

Una estructura superconforme N = 2 en un álgebra de operadores de vértice es un par de elementos impares τ ⁺ , τ ⁻ de peso 3/2, y un elemento par μ de peso 1 tales que τ ^± genera G ^± (z), y μ genera J ( z ).

Para N = 3 y 4, las representaciones unitarias solo tienen cargas centrales en una familia discreta, con c = 3 k /2 y 6 k , respectivamente, a medida que k varía entre números enteros positivos.

Construcciones adicionales

• Subálgebras de puntos fijos: dada una acción de un grupo de simetría sobre un álgebra de operadores de vértices, la subálgebra de vectores fijos también es un álgebra de operadores de vértices. En 2013, Miyamoto demostró que dos importantes propiedades de finitud, a saber, la condición C ₂ de Zhu y la regularidad, se conservan cuando se toman puntos fijos bajo acciones de grupos resolubles finitos.
• Extensiones actuales: Dada una álgebra de operadores de vértice y algunos módulos de peso conforme integral, se puede, en circunstancias favorables, describir una estructura de álgebra de operadores de vértice en la suma directa. Las álgebras de vértice en red son un ejemplo estándar de esto. Otra familia de ejemplos son las VOA enmarcadas, que comienzan con productos tensoriales de modelos de Ising y agregan módulos que corresponden a códigos adecuadamente pares.
• Orbifolds: Dado un grupo cíclico finito que actúa sobre un VOA holomorfo, se conjetura que se puede construir un segundo VOA holomorfo mediante la unión de módulos torcidos irreducibles y tomando puntos fijos bajo un automorfismo inducido, siempre que esos módulos torcidos tengan un peso conforme adecuado. Se sabe que esto es cierto en casos especiales, por ejemplo, grupos de orden 3 como máximo que actúan sobre VOA reticulares.
• La construcción de clases laterales (debida a Goddard, Kent y Olive): dada una álgebra de operadores de vértice V de carga central c y un conjunto S de vectores, se puede definir la conmutante C ( V , S ) como el subespacio de vectores v estrictamente conmutativos con todos los campos provenientes de S , es decir, tales que Y ( s , z ) v ∈ V[[ z ]] para todo s ∈ S . Esto resulta ser una subálgebra de vértices, con Y , T e identidad heredadas de V . Y si S es una VOA de carga central c _S , la conmutante es una VOA de carga central c – c _S . Por ejemplo, la incrustación de SU (2) en el nivel k +1 en el producto tensorial de dos álgebras SU (2) en los niveles k y 1 produce la serie discreta de Virasoro con p = k +2, q = k +3, y esto se utilizó para demostrar su existencia en la década de 1980. Nuevamente con SU (2), la incrustación del nivel k +2 en el producto tensorial del nivel k y el nivel 2 produce la serie discreta superconforme N = 1.
• Reducción BRST: Para cualquier vector de grado 1 v que satisfaga v ₀ ² = 0, la cohomología de este operador tiene una estructura de superálgebra de vértice graduada. De manera más general, se puede utilizar cualquier cuerpo de peso 1 cuyo residuo tenga el cuadrado cero. El método habitual es el tensor con fermiones, ya que entonces se tiene una diferencial canónica. Un caso especial importante es la reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov aplicada a álgebras afines de Kac-Moody para obtener W -álgebras afines como cohomología de grado 0. Estas álgebras de W también admiten construcciones como subálgebras de vértice de bosones libres dadas por núcleos de operadores de cribado.

Estructuras algebraicas relacionadas

• Si se considera solo la parte singular de la OPE en un álgebra de vértices, se llega a la definición de un álgebra conforme de Lie . Dado que a menudo solo se preocupa uno por la parte singular de la OPE, esto hace que las álgebras conformes de Lie sean un objeto natural de estudio. Existe un funtor de las álgebras de vértices a las álgebras conformes de Lie que olvida la parte regular de las OPE, y tiene un adjunto izquierdo, llamado funtor del "álgebra de vértices universal". Los módulos de vacío de las álgebras afines de Kac-Moody y las álgebras de vértices de Virasoro son álgebras de vértices universales y, en particular, se pueden describir de forma muy concisa una vez que se desarrolla la teoría de fondo.
• Existen varias generalizaciones de la noción de álgebra de vértices en la literatura. Algunas generalizaciones suaves implican un debilitamiento del axioma de localidad para permitir la monodromía, por ejemplo, las álgebras entrelazadas abelianas de Dong y Lepowsky. Se pueden ver a grandes rasgos como objetos de álgebra de vértices en una categoría tensorial trenzada de espacios vectoriales graduados, de la misma manera que una superálgebra de vértices es un objeto de este tipo en la categoría de superespacios vectoriales. Las generalizaciones más complicadas se relacionan con las q -deformaciones y las representaciones de grupos cuánticos, como en el trabajo de Frenkel-Reshetikhin, Etingof-Kazhdan y Li.
• Beilinson y Drinfeld introdujeron una noción de álgebra quiral basada en la teoría de haces que está estrechamente relacionada con la noción de álgebra de vértices, pero se define sin utilizar ninguna serie de potencias visibles . Dada una curva algebraica X , un álgebra quiral sobre X es un D _X -módulo A equipado con una operación de multiplicación sobre X × X que satisface una condición de asociatividad. También introdujeron una noción equivalente de álgebra de factorización que es un sistema de haces cuasicoherentes sobre todos los productos finitos de la curva, junto con una condición de compatibilidad que implica pullbacks al complemento de varias diagonales. Cualquier álgebra quiral equivalente a la traslación sobre la línea afín se puede identificar con un álgebra de vértices tomando la fibra en un punto, y existe una forma natural de adjuntar un álgebra quiral sobre una curva algebraica suave a cualquier álgebra de operadores de vértices. ${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$

Véase también

• Álgebra de operadores
• Álgebra de Zhu

Notas

1. Este último axioma se puede utilizar para proporcionar un mapa "campo-estado" para la correspondencia estado-campo.
2. La historia de la construcción de Sugawara es complicada y fueron necesarios varios intentos para obtener la fórmula correcta.[1]

Citas

1. Borcherds 1986.
2. Frenkel y Ben-Zvi 2001.
3. Kac 1998, pág. 38.
4. Ben-Zvi, David; Frenkel, Edward (2004). Álgebras de vértices y curvas algebraicas (segunda edición). [Providence, Rhode Island]. pág. 45. ISBN 9781470413156.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Wang 1993.
6. Kac 1998.
7. Frenkel, Lepowsky y Meurman 1988.
8. Borisov y Libgober (2000).
9. Beem; Leemos; Liendo; Peelaers; Rastelli; van Rees (2015). "Simetría quiral infinita en cuatro dimensiones". Communications in Mathematical Physics . 336 (3): 1359–1433. arXiv : 1312.5344 . Código Bibliográfico :2015CMaPh.336.1359B. doi :10.1007/s00220-014-2272-x. S2CID  253752439.

Fuentes

• Borcherds, Richard (1986), "Álgebras de vértices, álgebras de Kac-Moody y el monstruo", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 83 (10): 3068–3071, Bibcode :1986PNAS...83.3068B, doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC  323452 , PMID  16593694
• Borisov, Lev A.; Libgober, Anatoly (2000), "Géneros elípticos de variedades tóricas y aplicaciones a la simetría especular", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 453–485, arXiv : math/9904126 , Bibcode :2000InMat.140..453B, doi :10.1007/s002220000058, MR  1757003, S2CID  8427026
• Frenkel, Edward ; Ben-Zvi, David (2001), Álgebras de vértices y curvas algebraicas , Encuestas y monografías matemáticas, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
• Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Álgebras de operadores de vértices y el monstruo , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
• Kac, Victor (1998), Álgebras de vértices para principiantes , University Lecture Series, vol. 10 (2.ª ed.), American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1396-X
• Wang, Weiqiang (1993), "Racionalidad de las álgebras de operadores de vértice de Virasoro", International Mathematics Research Notices , 1993 (7): 197, doi : 10.1155/S1073792893000212
• Xu, Xiaoping (1998), Introducción a las superálgebras de operadores de vértice y sus módulos , Springer, ISBN 079235242-4