Álgebra quiral

En matemáticas, un álgebra quiral es una estructura algebraica introducida por Beilinson y Drinfeld (2004) como una versión rigurosa del concepto bastante vago de álgebra quiral en física. En Álgebras quirales, Beilinson y Drinfeld introdujeron la noción de álgebra quiral, que se basa en la categoría pseudotensorial de D-módulos . Proporcionan una noción "independiente de las coordenadas" de álgebras de vértices , que se basan en series de potencias formales . Las álgebras quirales sobre curvas son esencialmente álgebras de vértices conformes .

Definición

Un álgebra quiral ^[1] en una curva algebraica suave es un D-módulo recto , equipado con un homomorfismo de D-módulo en y con una incrustación , que satisface las siguientes condiciones ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}{\mathcal {A}}}$$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle \Omega \hookrightarrow {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle \mu =-\sigma _{12}\circ \mu \circ \sigma _{12}}$( Simetría oblicua )
• ${\displaystyle \mu _{1\{23\}}=\mu _{\{12\}3}+\mu _{2\{13\}}}$( Identidad de Jacobi )
• El mapa unitario es compatible con el homomorfismo ; es decir, el siguiente diagrama conmuta ${\displaystyle \mu _{\Omega }:\Omega \boxtimes \Omega (\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}\Omega }$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\Omega \boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\rightarrow &{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\\&\downarrow &&\downarrow \\&\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\rightarrow &\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\\\end{array}}}$$Donde, para haces en , el haz es el haz en cuyas secciones hay secciones del producto tensorial externo con polos arbitrarios en la diagonal: es el fibrado canónico , y la 'extensión diagonal por funciones delta' es ${\displaystyle {\mathcal {M}},{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )=\varinjlim {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(n\Delta ),}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Delta _{!}}$ $${\displaystyle \Delta _{!}{\mathcal {M}}={\frac {\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}(\infty \Delta )}{\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}}}.}$$

Relación con otras álgebras

Álgebra de vértices

La categoría de álgebras de vértices tal como la definen Borcherds o Kac es equivalente a la categoría de álgebras quirales en equivariante con respecto al grupo de traslaciones . ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle T}$

Álgebra de factorización

Las álgebras quirales también pueden reformularse como álgebras de factorización .

Véase también

• Homología quiral
• Álgebra de Lie quiral

Referencias

• Beilinson, Alexander ; Drinfeld, Vladimir (2004), Álgebras quirales, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 51, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3528-9, Sr.  2058353

1. Ben-Zvi, David; Frenkel, Edward (2004). Álgebras de vértices y curvas algebraicas (segunda edición). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pág. 339. ISBN 9781470413156.

Lectura adicional

• Francis, John; Gaitsgory, Dennis (2012). "Dualidad quiral de Koszul". Sel. Matemáticas . Nueva serie. 18 (1): 27–87. arXiv : 1103.5803 . doi :10.1007/s00029-011-0065-z. S2CID  : 8316715.