Gerbe

Construir en matemáticas

En matemáticas , una gerbe ( / dʒɜːr b / ; francés: [ʒɛʁb] ) es una construcción en álgebra homológica y topología . Las gerbes fueron introducidas por Jean Giraud (Giraud 1971) siguiendo las ideas de Alexandre Grothendieck como una herramienta para la cohomología no conmutativa en grado 2. Pueden verse como un análogo de los haces de fibras donde la fibra es la pila clasificadora de un grupo. Las gerbes proporcionan un lenguaje conveniente, aunque altamente abstracto, para tratar con muchos tipos de preguntas de deformación , especialmente en la geometría algebraica moderna . Además, los casos especiales de gerbes se han utilizado más recientemente en topología diferencial y geometría diferencial para dar descripciones alternativas a ciertas clases de cohomología y estructuras adicionales adjuntas a ellas.

"Gerbe" es una palabra francesa (e inglesa arcaica) que literalmente significa gavilla de trigo .

Definiciones

Gerbes en un espacio topológico

Una gerbe en un espacio topológico ^{[1] : 318} es una pila de grupoides sobre que no es localmente vacía (cada punto tiene un vecindario abierto sobre el cual la categoría de sección de la gerbe no está vacía) y transitiva (para cualesquiera dos objetos y de para cualquier conjunto abierto , existe una cobertura abierta de tal que las restricciones de y a cada una están conectadas por al menos un morfismo). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U_{p})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Un ejemplo canónico es el gerbe de fibrados principales con un grupo de estructura fijo : la categoría de sección sobre un conjunto abierto es la categoría de fibrados principales sobre un conjunto abierto con isomorfismo como morfismos (por lo tanto, la categoría es un grupoide). Como los fibrados principales se pegan entre sí (satisfacen la condición de descendencia), estos grupoides forman una pila. El fibrado trivial muestra que se satisface la condición de no vacío local y, finalmente, como los fibrados principales son localmente triviales, se vuelven isomorfos cuando se restringen a conjuntos abiertos suficientemente pequeños; por lo tanto, también se satisface la condición de transitividad. ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\times H\to X}$

Gerbes en un sitio

La definición más general de gerbes se define sobre un sitio . Dado un sitio, un -gerbe ^{[2] [3] : 129} es una categoría fibrilada en grupoides tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$

1. Existe un refinamiento ^[4] tal que para cada objeto la categoría fibrada asociada no está vacía ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')}$ ${\displaystyle G_{S}}$
2. Por cada dos objetos cualesquiera en la categoría de fibra, hay isomorfos localmente. ${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle G_{S}}$

Nótese que para un sitio con un objeto final , una categoría fibrada en grupoides es una -gerbe admite una sección local, lo que significa que satisface el primer axioma, si . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Ob}}(G_{e})\neq \varnothing }$

Motivación para gerbes en un sitio.

Una de las principales motivaciones para considerar gerbes en un sitio es considerar la siguiente pregunta ingenua: si el grupo de cohomología de Cech para una cobertura adecuada de un espacio da las clases de isomorfismo de los fibrados principales sobre , ¿qué representa el funtor de cohomología iterado? Es decir, estamos pegando los grupos a través de algún cociclo. Los gerbes son una respuesta técnica para esta pregunta: dan representaciones geométricas de elementos en el grupo de cohomología superior . Se espera que esta intuición se mantenga para gerbes superiores. ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {U}},G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(-,H^{1}(-,G))}$ ${\displaystyle H^{1}(U_{i},G)}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathcal {U}},G)}$

Clasificación cohomológica

Uno de los principales teoremas relativos a las gerbes es su clasificación cohomológica siempre que tengan grupos de automorfismos dados por un haz fijo de grupos abelianos , ^{[5] [2]} llamado banda. Para una gerbe en un sitio , un objeto y un objeto , el grupo de automorfismos de una gerbe se define como el grupo de automorfismos . Nótese que esto está bien definido siempre que el grupo de automorfismos sea siempre el mismo. Dado un recubrimiento , hay una clase asociada ${\displaystyle {\underline {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))}$ ${\displaystyle L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}}(U)}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}}$

${\displaystyle c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})}$

que representa la clase de isomorfismo de la gerbe con bandas por . Por ejemplo, en topología, se pueden construir muchos ejemplos de gerbes considerando gerbes con bandas por el grupo . Como el espacio de clasificación es el segundo espacio de Eilenberg-Maclane para los enteros, se construye un fibrado de gerbe con bandas por en un espacio topológico a partir de una clase de homotopía de funciones en ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]}$,

que es exactamente el tercer grupo de homología singular . Se ha encontrado ^[6] que todas las gerbes que representan clases de cohomología de torsión en están representadas por un fibrado de álgebras de dimensión finita para un espacio vectorial complejo fijo . Además, las clases que no son de torsión se representan como fibrados principales de dimensión infinita del grupo proyectivo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita fijo . Nótese que esto está bien definido porque todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos al espacio de secuencias sumables al cuadrado . La interpretación de la teoría de homotopía de las gerbes proviene de observar la fibra de homotopía cuadrada. ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}}$

Análogo a cómo un haz de líneas surge del cuadrado de la fibra de homotopía.

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}}$

donde , dando como grupo de clases de isomorfismo los fibrados lineales en . ${\displaystyle BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Álgebras C*

Existen ejemplos naturales de Gerbes que surgen del estudio del álgebra de funciones complejas soportadas de manera compacta en un espacio paracompacto ^{[7] pág} . 3. Dada una cubierta de existe el grupoide de Cech definido como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{\coprod _{i,j}U_{ij}\rightrightarrows \coprod U_{i}\right\}}$

con mapas de origen y destino dados por las inclusiones

${\displaystyle {\begin{aligned}s:U_{ij}\hookrightarrow U_{j}\\t:U_{ij}\hookrightarrow U_{i}\end{aligned}}}$

y el espacio de flechas componibles es solo

${\displaystyle \coprod _{i,j,k}U_{ijk}}$

Entonces, una clase de cohomología de grado 2 es solo un mapa. ${\displaystyle \sigma \in H^{2}(X;U(1))}$

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{ijk}\to U(1)}$

Podemos entonces formar un C*-álgebra no conmutativa , que está asociada al conjunto de funciones complejas soportadas y compactas del espacio ${\displaystyle C_{c}({\mathcal {G}}(\sigma ))}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod _{i,j}U_{ij}}$

Tiene un producto no conmutativo dado por

${\displaystyle a*b(x,i,k):=\sum _{j}a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma (x,i,j,k)}$

donde la clase de cohomología tuerce la multiplicación del producto del álgebra estándar. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C^{*}}$

Geometría algebraica

Sea una variedad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , un grupo algebraico , por ejemplo . Recordemos que un G -torsor sobre es un espacio algebraico con una acción de y una función , tal que localmente en (en topología étale o topología fppf ) es un producto directo . Un G -gerbe sobre M puede definirse de manera similar. Es una pila de Artin con una función , tal que localmente en M (en topología étale o fppf) es un producto directo . ^[8] Aquí denota la pila clasificadora de , es decir, un cociente de un punto por una -acción trivial. No hay necesidad de imponer la compatibilidad con la estructura del grupo en ese caso ya que está cubierta por la definición de una pila. Los espacios topológicos subyacentes de y son los mismos, pero en cada punto está equipado con un grupo estabilizador isomorfo a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi |_{U}:G\times U\to U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [*/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle G}$

A partir de complejos de dos términos de haces coherentes

Todo complejo de dos términos de haces coherentes

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]}$

en un esquema tiene un haz canónico de grupoides asociado a él, donde en un subconjunto abierto hay un complejo de dos términos de -módulos ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)}$

dando un grupoide. Tiene objetos dados por elementos y un morfismo está dado por un elemento tal que ${\displaystyle x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)}$ ${\displaystyle x\to x'}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)}$

${\displaystyle dy+x=x'}$

Para que esta pila sea una gerbe, el haz de cohomología debe tener siempre una sección. Esta hipótesis implica que la categoría construida anteriormente siempre tiene objetos. Nótese que esto se puede aplicar a la situación de comodulos sobre Hopf-algebroides para construir modelos algebraicos de gerbes sobre pilas afines o proyectivas (proyectividad si se utiliza un Hopf-algebroides graduado ). Además, los espectros de dos términos de la estabilización de la categoría derivada de comodulos de Hopf-algebroides con plano sobre dan modelos adicionales de gerbes que no son estrictos . ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle (A,\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Pila de módulos de haces estables sobre una curva

Considérese una curva proyectiva suave sobre de género . Sea la pila de módulos de fibrados vectoriales estables sobre de rango y grado . Tiene un espacio de módulos grueso , que es una variedad cuasiproyectiva . Estos dos problemas de módulos parametrizan los mismos objetos, pero la versión apilada recuerda los automorfismos de fibrados vectoriales. Para cualquier fibrado vectorial estable, el grupo de automorfismos consiste únicamente en multiplicaciones escalares, por lo que cada punto en una pila de módulos tiene un estabilizador isomorfo a . Resulta que la función es de hecho una -gerbe en el sentido anterior. ^[9] Es una gerbe trivial si y solo si y son coprimos . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M_{r,d}^{s}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Aut(E)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

Pilas de raíces

Otra clase de gerbes se puede encontrar utilizando la construcción de pilas de raíces. De manera informal, la -ésima pila de raíces de un haz de líneas sobre un esquema es un espacio que representa la -ésima raíz de y se denota ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L\to S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}.\,}$^{[10] pág. 52}

La pila raíz -ésima de tiene la propiedad ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L}$

como gerbes. Se construye como la pila

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }$

enviando un -scheme a la categoría cuyos objetos son paquetes de líneas de la forma ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}}$

y los morfismos son diagramas conmutativos compatibles con los isomorfismos . Esta gerbe está delimitada por el grupo algebraico de raíces de la unidad , donde sobre una cubierta actúa sobre un punto permutando cíclicamente los factores de en . Geométricamente, estas pilas se forman como el producto de fibras de pilas ${\displaystyle \alpha _{M}}$ ${\displaystyle \mu _{r}}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle (M\to T,\alpha _{M})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{\otimes r}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}}$

De donde proviene el mapa vertical de la secuencia de Kummer ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle 1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1}$

Esto se debe a que es el espacio de módulos de los fibrados lineales, por lo que el fibrado lineal corresponde a un objeto de la categoría (considerado como un punto del espacio de módulos). ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle L\to S}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(S)}$

Pilas de raíces con secciones

Existe otra construcción relacionada de pilas raíz con secciones. Dados los datos anteriores, sea una sección. Entonces la pila raíz -ésima del par se define como el 2-functor laxo ^{[10] [11]} ${\displaystyle s:S\to L}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (L\to S,s)}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }$

enviando un -scheme a la categoría cuyos objetos son paquetes de líneas de la forma ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\\&t\in \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}}$

y los morfismos se dan de manera similar. Estas pilas se pueden construir de manera muy explícita y se entienden bien para esquemas afines. De hecho, forman los modelos afines para pilas raíz con secciones. ^{[11] : 4} Localmente, podemos suponer que y el fibrado de líneas es trivial, por lo tanto, cualquier sección es equivalente a tomar un elemento . Entonces, la pila está dada por el cociente de pila ${\displaystyle S={\text{Spec}}(A)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\in A}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]}$^{[11] : 9}

con

${\displaystyle B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}}$

Si entonces esto da una extensión infinitesimal de . ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]}$

Ejemplos a lo largo de la geometría algebraica

Estos y otros tipos más generales de gerbes surgen en varios contextos tanto como espacios geométricos como herramientas de contabilidad formal:

• Álgebras de Azumaya
• Deformaciones de engrosamientos infinitesimales
• Formas retorcidas de variedades proyectivas
• Functores de fibra para motivos

Geometría diferencial

• ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$y -gerbes: el enfoque de Jean-Luc Brylinski ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$

Historia

Las gerbes aparecieron por primera vez en el contexto de la geometría algebraica . Posteriormente, Brylinski las desarrolló en un marco geométrico más tradicional (Brylinski 1993). Se puede pensar en las gerbes como un paso natural en una jerarquía de objetos matemáticos que proporcionan realizaciones geométricas de clases de cohomología integral .

Murray introdujo una noción más especializada de gerbe y la llamó gerbes de haz . En esencia, son una versión suave de las gerbes abelianas que pertenecen más a la jerarquía que comienza con los fibrados principales que con los haces. Las gerbes de haz se han utilizado en la teoría de calibre y también en la teoría de cuerdas . El trabajo actual de otros está desarrollando una teoría de gerbes de haz no abelianos.

Véase también

• Gavilla retorcida
• Álgebra de Azumaya
• Teoría K retorcida
• Pila algebraica
• Manojo de gerbe
• Grupo de cuerdas

Referencias

1. Teoría básica de haces e invariantes de K-cohomología. Husemöller, Dale. Berlín: Springer. 2008. ISBN 978-3-540-74956-1.OCLC 233973513  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
2. "Sección 8.11 (06NY): Gerbes—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
3. Giraud, J. (Jean) (1971). Cohomologie non abelienne. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-05307-7.OCLC 186709  .
4. "Sección 7.8 (00VS): Familias de morfismos con objetivo fijo: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
5. "Sección 21.11 (0CJZ): Segunda cohomología y gerbes: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
6. Karoubi, Max (12 de diciembre de 2010). "Haces retorcidos y teoría K retorcida". arXiv : 1012.2512 [math.KT].
7. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (9 de enero de 2009). "Dualidad de Mukai para gerbes con conexión". arXiv : 0803.1529 [math.QA].
8. Edidin, Dan; Hassett, Brendan; Kresch, Andrew; Vistoli, Angelo (2001). "Grupos de Brauer y pilas de cocientes". American Journal of Mathematics . 123 (4): 761–777. arXiv : math/9905049 . doi :10.1353/ajm.2001.0024. S2CID  16541492.
9. Hoffman, Norbert (2010). "Pilas de módulos de fibrados vectoriales sobre curvas y la prueba de racionalidad de King-Schofield". Enfoques cohomológicos y geométricos para problemas de racionalidad : 133–148. arXiv : math/0511660 . doi :10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN : 978-0-8176-4934-0_5. 978-0-8176-4933-3.S2CID5467668  .​
10. Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo (13 de abril de 2008). "Teoría de Gromov-Witten de pilas de Deligne-Mumford". arXiv : math/0603151 .
11. Cadman, Charles (2007). "Uso de pilas para imponer condiciones de tangencia en curvas" (PDF) . Amer. J. Math . 129 (2): 405–427. arXiv : math/0312349 . doi :10.1353/ajm.2007.0007. S2CID  10323243.

• Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abelienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7.
• Brylinski, Jean-Luc (1993), Espacio de bucles, clases características y cuantificación geométrica , Birkhäuser Verlag , ISBN 0-8176-3644-7.

Enlaces externos

Artículos introductorios

• Construcciones con gerbes en paquete - Stuart Johnson
• Una introducción a Gerbes en Orbifolds , Ernesto Lupercio, Bernado Uribe.
• ¿Qué es una gerbe?, por Nigel Hitchin en Avisos de la AMS
• Paquete de gerbas , Michael Murray.
• Moerdijk, Ieke . "Introducción al lenguaje de pilas y gerbes" . Consultado el 20 de mayo de 2007 .

Gerbes en topología

• Teoría de homotopía de prehaces de grupoides simpliciales, Zhi-Ming Luo

Teoría K retorcida

• Teoría K torcida y teoría K de gerbes en haz
• Paquetes retorcidos y teoría K retorcida - Karoubi

Aplicaciones en la teoría de cuerdas

• Singularidades estables en la teoría de cuerdas: contiene ejemplos de gerbes en el apéndice que utilizan el grupo de Brauer
• Branas en variedades de grupos, condensados ​​de gluones y teoría K torcida
• Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales: una introducción muy práctica con aplicaciones a la simetría especular
• La gerbe básica sobre un grupo de Lie simple compacto: proporciona técnicas para describir grupos como el grupo de cuerdas como una gerbe