Anillo de formas modulares

En matemáticas, el anillo de formas modulares asociado a un subgrupo $Γ$ del grupo lineal especial $SL(2, Z)$ es el anillo graduado generado por las formas modulares de $Γ$ . El estudio de los anillos de formas modulares describe la estructura algebraica del espacio de formas modulares.

Definición

Sea $Γ$ un subgrupo de $SL(2, Z) que es de$ índice finito y sea $M k (Γ)$ el espacio vectorial de formas modulares de peso $k$ . El anillo de formas modulares de $Γ$ es el anillo graduado . ^[1] ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _ {k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$

Ejemplo

El anillo de formas modulares del grupo modular completo $SL(2, Z)$ se genera libremente mediante las series de Eisenstein $E 4$ y $E 6$ . En otras palabras, $M k (Γ)$ es isomorfo como un -álgebra a , que es el anillo polinomial de dos variables sobre los números complejos . ^[1] $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}[E_{4},E_{6}]$

Propiedades

El anillo de formas modulares es un álgebra de Lie graduada ya que el corchete de Lie de las formas modulares $f$ y $g$ de pesos respectivos $k$ y $ℓ$ es una forma modular de peso $k$ $+$ $ℓ$ $+ 2$ . ^[1] Se puede definir un corchete para la derivada $n$ -ésima de las formas modulares y dicho corchete se denomina corchete de Rankin-Cohen . ^[1] $[f,g]=kfg'-\ell f'g$

Subgrupos de congruencia de SL(2, Z)

En 1973, Pierre Deligne y Michael Rapoport demostraron que el anillo de formas modulares $M(Γ)$ se genera finitamente cuando $Γ$ es un subgrupo de congruencia de $SL(2, Z)$ . ^[2]

En 2003, Lev Borisov y Paul Gunnells demostraron que el anillo de formas modulares $M(Γ)$ se genera en peso como máximo 3 cuando es el subgrupo de congruencia del nivel primo $N$ en $SL(2,$ $Z$ $)$ utilizando la teoría de formas modulares tóricas . ^[3] En 2014, Nadim Rustom extendió el resultado de Borisov y Gunnells para a todos los niveles $N$ y también demostró que el anillo de formas modulares para el subgrupo de congruencia se genera en peso como máximo 6 para algunos niveles $N$ . ^[4] ${\estilo de visualización \Gamma}$ $\Gamma _{1}(N)$ $\Gamma _{1}(N)$ $\Gamma _{0}(N)$

En 2015, John Voight y David Zureick-Brown generalizaron estos resultados: demostraron que el anillo graduado de formas modulares de peso par para cualquier subgrupo de congruencia $Γ$ de $SL(2, Z)$ se genera en peso como máximo 6 con relaciones generadas en peso como máximo 12. ^[5] Sobre la base de este trabajo, en 2016, Aaron Landesman, Peter Ruhm y Robin Zhang demostraron que los mismos límites se cumplen para el anillo completo (todos los pesos), con los límites mejorados de 5 y 10 cuando $Γ$ tiene alguna forma modular de peso impar distinto de cero. ^[6]

Grupos fucsias generales

Un grupo fuchsiano $Γ$ corresponde al orbifold obtenido a partir del cociente del semiplano superior . Por una generalización apilada del teorema de existencia de Riemann , existe una correspondencia entre el anillo de formas modulares de $Γ$ y un anillo de sección particular estrechamente relacionado con el anillo canónico de una curva apilada . ^[5] $\Gamma \barra invertida \mathbb {H}$ $\mathbb {H}$

Existe una fórmula general para los pesos de los generadores y las relaciones de los anillos de formas modulares debido al trabajo de Voight y Zureick-Brown y al trabajo de Landesman, Ruhm y Zhang. Sean los órdenes estabilizadores de los puntos apilados de la curva apilada (equivalentemente, las cúspides del orbifold ) asociados a $Γ$ . Si $Γ$ no tiene formas modulares de peso impar distinto de cero, entonces el anillo de formas modulares se genera en peso como máximo y tiene relaciones generadas en peso como máximo . ^[5] Si $Γ$ tiene una forma modular de peso impar distinto de cero, entonces el anillo de formas modulares se genera en peso como máximo y tiene relaciones generadas en peso como máximo . ^[6] $Estilo de visualización e_i$ $\Gamma \barra invertida \mathbb {H}$ $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $2\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$

Aplicaciones

En la teoría de cuerdas y la teoría de gauge supersimétrica , la estructura algebraica del anillo de formas modulares se puede utilizar para estudiar la estructura de los vacíos de Higgs de las teorías de gauge de cuatro dimensiones con supersimetría N = 1. ^[7] Los estabilizadores de superpotenciales en la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 son anillos de formas modulares del subgrupo de congruencia $Γ(2)$ de $SL(2, Z)$ . ^[7]^[8]

Referencias

^ abcd Zagier, Don (2008). "Formas modulares elípticas y sus aplicaciones" (PDF) . En Bruinier, Jan Hendrik ; van der Geer, Gerard; Harder, Günter ; Zagier, Don (eds.). El 1-2-3 de las formas modulares . Universitext. Springer-Verlag. págs. 1–103. doi :10.1007/978-3-540-74119-0_1. ISBN . 978-3-540-74119-0.
^ Deligne, Pierre ; Rapoport, Michael (2009) [1973]. "Los esquemas de módulos de corrientes elípticas". Funciones modulares de una variable, II . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 349. Saltador. págs. 143–316. ISBN 9783540378556.
^ Borisov, Lev A.; Gunnells, Paul E. (2003). "Formas modulares tóricas de mayor peso". J. Reine Angew. Matemáticas. 560 : 43–64. arXiv : math/0203242 . Código Bibliográfico :2002math......3242B.
^ Rustom, Nadim (2014). "Generadores de anillos graduados de formas modulares". Revista de teoría de números . 138 : 97–118. arXiv : 1209.3864 . doi :10.1016/j.jnt.2013.12.008. S2CID 119317127.
^ abc Voight, John; Zureick-Brown, David (2015). El anillo canónico de una curva apilada . Memorias de la American Mathematical Society . arXiv : 1501.04657 . Código Bibliográfico :2015arXiv150104657V.
^ ab Landesman, Aarón; Ruhm, Peter; Zhang, Robin (2016). "Girar anillos canónicos de curvas apiladas de troncos". Anales del Instituto Fourier . 66 (6): 2339–2383. arXiv : 1507.02643 . doi :10.5802/aif.3065. S2CID 119326707.
^ ab Bourget, Antoine; Troost, Jan (2017). "Permutaciones de vacíos masivos" (PDF) . Journal of High Energy Physics . 2017 (42): 42. arXiv : 1702.02102 . Bibcode :2017JHEP...05..042B. doi :10.1007/JHEP05(2017)042. ISSN 1029-8479. S2CID 119225134.
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