Acción de esquema de grupo

En geometría algebraica , una acción de un esquema de grupo es una generalización de una acción de grupo a un esquema de grupo . Precisamente, dado un grupo S -esquema G , una acción izquierda de G en un S -esquema X es un S -morfismo

${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

tal que

• (asociatividad) , ¿dónde está la ley del grupo? ${\displaystyle \sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})}$ ${\displaystyle m:G\times _{S}G\to G}$
• (unitalidad) , donde es la sección identidad de G . ${\displaystyle \sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}}$ ${\displaystyle e:S\to G}$

Una acción correcta de G sobre X se define de manera análoga. Un esquema equipado con una acción izquierda o derecha de un esquema de grupo G se llama esquema G. Un morfismo equivariante entre G -esquemas es un morfismo de esquemas que entrelaza las respectivas G -acciones.

De manera más general, también se puede considerar (al menos algún caso especial de) una acción de un funtor de grupo : viendo G como un funtor, una acción se da como una transformación natural que satisface condiciones análogas a las anteriores. ^[1] Alternativamente, algunos autores estudian la acción grupal en el lenguaje de un grupoide ; una acción de esquema grupal es entonces un ejemplo de esquema grupoide .

Construcciones

Las construcciones habituales para una acción grupal , como las órbitas, se generalizan a una acción de esquema grupal. Sea una acción de esquema de grupo dada como se indicó anteriormente. ${\displaystyle \sigma }$

• Dado un punto con valor T , el mapa de órbita se da como . ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T}$ ${\displaystyle (\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})}$
• La órbita de x es la imagen del mapa de órbita . ${\displaystyle \sigma _{x}}$
• El estabilizador de x es la fibra del mapa. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle (x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.}$

Problema de construir un cociente.

A diferencia de una acción grupal basada en la teoría de conjuntos, no existe una forma sencilla de construir un cociente para una acción grupal de esquema. Una excepción es el caso cuando la acción es libre, el caso de un haz de fibras principal .

Existen varios enfoques para superar esta dificultad:

• Estructura de niveles : quizás el enfoque más antiguo, reemplaza un objeto para clasificar por un objeto junto con una estructura de niveles.
• Teoría invariante geométrica : descarta las órbitas malas y luego toma un cociente. El inconveniente es que no existe una forma canónica de introducir la noción de "órbitas malas"; la noción depende de una elección de linealización . Véase también: cociente categórico , cociente GIT .
• Construcción de Borel : este es un enfoque esencialmente de topología algebraica; este enfoque requiere que uno trabaje con un espacio de dimensiones infinitas .
• Enfoque analítico, la teoría del espacio de Teichmüller.
• Pila de cocientes : en cierto sentido, esta es la respuesta definitiva al problema. En términos generales, un "preapilamiento de cociente" es la categoría de órbitas y se apila (es decir, la introducción de la noción de torsor) para obtener un apilamiento de cociente.

Dependiendo de las aplicaciones, otro enfoque sería desviar el enfoque de un espacio hacia cosas en un espacio; por ejemplo, topos . Así pues, el problema pasa de la clasificación de órbitas a la de objetos equivariantes.

Ver también

• esquema grupoide
• teorema de sumihiro
• gavilla equivariante
• Teorema del punto fijo de Borel

Referencias

1. En detalles, dada una acción de esquema de grupo , para cada morfismo , determina una acción de grupo ; es decir, el grupo actúa sobre el conjunto de puntos T. Por el contrario, si para cada uno existe una acción grupal y si esas acciones son compatibles; es decir, forman una transformación natural , luego, según el lema de Yoneda , determinan una acción de esquema grupal . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle X(T)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. SEÑOR  1304906.