Cociente categórico

En geometría algebraica , dada una categoría C , un cociente categórico de un objeto X con acción de un grupo G es un morfismo que ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

(i) es invariante; es decir, donde es la acción del grupo dada y p ₂ es la proyección. ${\displaystyle \pi \circ \sigma =\pi \circ p_{2}}$ ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

(ii) satisface la propiedad universal: cualquier morfismo que satisfaga (i) se factoriza de manera única mediante . ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle \pi }$

Una de las principales motivaciones para el desarrollo de la teoría de invariantes geométricos fue la construcción de un cociente categórico para variedades o esquemas .

Nota no necesita ser sobreyectiva . Además, si existe, un cociente categórico es único hasta un isomorfismo canónico . En la práctica, se toma C como la categoría de variedades o la categoría de esquemas sobre un esquema fijo. Un cociente categórico es un cociente categórico universal si es estable bajo cambio de base: para cualquier , es un cociente categórico. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y'\to Y}$ ${\displaystyle \pi ':X'=X\times _{Y}Y'\to Y'}$

Un resultado básico es que los cocientes geométricos (por ejemplo, ) y los cocientes GIT (por ejemplo, ) son cocientes categóricos. ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle X/\!/G}$

Referencias

• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Teoría de la invariante geométrica . Tercera edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Resultados en matemáticas y áreas afines (2)), 34. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xiv+292 págs. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4 

Véase también

• Cociente por una relación de equivalencia
• Pila de cocientes